Bernstein多項式于一重積分Wiener空間下的平均誤差

馬海騰，解 靜，許貴橋

（1.天津天獅學院 公共基礎教學部，天津301700；2.天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津300387）

1 引言及主要結(jié)果

設F是一個實可分的Banach空間，μ是定義在F的Borel子集上的概率測度.G是另一個范數(shù)為‖·‖ 的線性賦范空間，F(xiàn)連續(xù)嵌入到G.任意使得f→‖f－A（f）‖為可測映照的算子A：F→G被稱為一個逼近算子.算子A的p－平均誤差定義為

由于實際問題中的目標函數(shù)常常僅由函數(shù)在有限點的值給出，因此逼近算子A（f）常常僅由函數(shù)f在相應點的值給出.許多文章[1－4]都研究了這種算子在平均情形下的計算復雜性.考慮到Bernstein多項式是一類僅依賴于函數(shù)在有限點值的重要逼近工具，本研究考慮Bernstein多項式在一重積分Wiener測度下的平均誤差.

設F是由定義在[0，1]上的連續(xù)函數(shù)賦予最大范數(shù)所構(gòu)成的線性賦范空間，且f（0）＝0.Wiener測度ω由下列性質(zhì)唯一確定：對任意n≥1，B∈B（Rn）（B（Rn）表示Rn上所有Lebesgue可測子集構(gòu)成的集類）及0＝t0＜t1＜…＜tn≤1，

其中u0＝0.其關(guān)聯(lián)算子為

設f∈C1[0，1]，則函數(shù)f的n次Bernstein多項式的導數(shù)為[5]

定理 設B′n（f，x）如上定義，則有

這里及以下的A（n）≈B（n）表示存在不依賴于n的正常數(shù)C，使得A（n）／C≤B（n）≤CA（n），且不同式中的C可以不同.

2 引理

引理1[6]對于任意的0≤x1≤x2≤x3≤x4≤1，有

引理2[5]若則對于所有滿足不等式的k，漸近關(guān)系式

一致成立.

由式（2）容易計算得：

引理3 當xi≤xj時，有

3 定理的證明

先考慮I2，

分別考慮A1、A2、A3.先考慮A2，

由式（6）～式（8）知

再考慮A3，由式（2）易知

類似可得

由式（5）、式（9）～式（11）可得

再考慮I1，

由式（13）～式（16）可得

類似可得

下面考慮下界，由文獻[7]可得

易知

由式（19）～式（20）可得

由式（4）、式（12）、式（17）～式（18）、式（21）～式（22）可得定理結(jié)論.

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