非線性日地物理學，非線性地學和地震拓撲學

張一方

(云南大學物理系，云南昆明　650091)

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非線性日地物理學，非線性地學和地震拓撲學

張一方

(云南大學物理系，云南昆明650091)

首先探索非線性日地物理學.其次討論磁暴.第三探討一般的非線性地學.然后重點研究地震的非線性動力學和各種新的發(fā)展方向，特別提出地震拓撲學.最后討論天文、地震和災害的關系.

非線性;日地物理學;地學;地震;拓撲;磁暴;天文;災害①

0　引言

1912-1915年偉大的德國科學家A.Wegener提出大陸漂移說，并為此獻身.1961-1962年H.H.Hess提出海底擴張說.1967-1968年D.P.Mchenzie, W.J.Morgen和X.Lepchon提出板塊運動說.由這些劃時代的偉大理論產(chǎn)生的板塊動力學成為整個地學、地球動力學的主要基礎.

筆者由非線性數(shù)學探討過一般的非線性科學，其包括非線性地學和天文學[1]，自然包含非線性日地物理學.非線性科學，特別其中的分形與混沌已經(jīng)被廣泛應用于地學的許多方面[2].我們討論了分形的推廣及某些應用，包括應用于社會科學和文學中；研究了分形中的若干基本問題，特別是分維、分形中量綱的奇異性，D維分形物體的量綱是不同的(cm)D；探索了宇觀-微觀分形、泛量子理論和對分形的展望等[3].

1　非線性日地物理學

眾所周知，地球對太陽具有密切的依賴關系.太陽風是引起地球上極光和地磁活動的主要原因.大量被地球磁場俘獲并禁錮的高能電子和質子的等離子體形成的Van Allen輻射帶，是地球磁場被太陽風壓縮成的一個區(qū)域.它形成兩個輻射帶：近的內輻射帶高能質子多，遠的外輻射帶高能電子多.其中帶電粒子沿磁力線運動到兩極附近就反射回來，而來回跳躍.

等離子體的特性是抗磁的，因此會排斥突然加到它邊界上的磁場.平衡狀態(tài)下，等離子體和磁場間在平面界面上的壓強平衡要求

(1)

其中n是離子數(shù)，k是Boltzmann常數(shù)，T是溫度，p=nkT.等離子體在磁場中沿表面產(chǎn)生逆磁電流(電子和離子此時的電流是相加的).這是拉莫爾轉動的疊加，磁場帶電粒子的拉莫爾轉動的電流I=eωH/2π，而ωH=eH/mc.

取rM=12rE,ρ=8×10-21kg/m3，速度v=400km/s，B=γ，則Um=5×1012瓦.但滲透進地磁場和地球大氣層的能量僅為總能的1%，所以Uc=Um/100=5×1010瓦，Uc/UE=6×10-7影響很小.Uc(極大)/UE(極小)=1.7×10-2.

場聯(lián)系于振動，則非線性振動導致非線性場(有非線性項)，其可以形成孤波.太陽發(fā)散能量的主要變動部分是太陽電磁輻射，太陽風及太陽宇宙射線[4].由等離子體的非線性電磁響應，可解釋電離層中無線電波傳播的“盧森堡”效應.勢能的最低階都是非線性項[5].方程可以有E2、E3項等非線性離子源項.鐵磁體具有非線性效應，如熱力學勢

(2)

其中H是磁場，M是磁化強度[6].

對等離子體自由能，關鍵是等離子帶和地磁場相互影響的方程，最主要的又是二者的相互作用項，即粒子數(shù)與H等的關系.變量可以是能量E或電磁場強度B或粒子數(shù)n.列出相應的方程，例如

(3)

其又與n相關，而H與B對稱.平衡時是(1)式；這說明T、n與B密切相關.此時非平衡是耗散結構，假設方程為

(4)

則可以發(fā)展為新模型.進而化為或直接假設是布魯塞爾振子，討論非線性相互作用項，即nB2(這是能量)或n2B.粒子數(shù)變化與能量成正比，B的變化

(5)

則B的變化應該與能量成正比.最佳選擇是T、B，但T2B、B2T令人費解[4].

等離子體(電子、離子、中性粒子)的動力學方程是Boltzmann方程：

(6)

方程中最后一項是碰撞項.各種類型的碰撞在其中是相加的.分布函數(shù)F=n(r,t)f(v,r,t)，n是粒子密度，f是粒子速度分布函數(shù).方程類似非線性的流體力學方程.當電磁場可以略去，特別v=c時，方程簡化為

(7)

這類似Dirac方程.圖形是時間-振幅關系.磁層-電離層是等離子體；它把太陽風等的能量向地球傳輸.與太陽的相互作用產(chǎn)生非線性項相互作用.太陽強耀斑產(chǎn)生沖擊波撞擊磁層.

假設太陽風或太陽輻射是A.太陽風或太陽輻射

(8)

(9)

(10)

(11)

這樣可以獲得類似耗散結構理論的方程[7]：

(12)

(13)

其中k3≠k3'.這首先產(chǎn)生地磁場的變化.

此時量綱對X、Y的選擇有極大限制.因為

(14)

所以X～(相應于)Y～kX2Yt，kX2t無量綱.1)量綱條件X～Y，kX2t～無量綱.E～B2～kT.2)最好所有的量都無量綱，如B/B0，E/E0等，或ΔE/E0等.可以選擇T0,B0,E0,n0等是振蕩的平均值.

電離層的活動規(guī)律與太陽的活動有密切關系.活動劇烈時電離增強.A(太陽的各種因素)導致X(地磁場)；地磁變化與太陽風的效應相關性很好.X強時等離子電離者多，導致電磁場強，相應VanAllen帶能量高；由此確定二者必然影響地磁場.因為它們的機制基本可以確定.地磁場和電離層，VanAllen帶互相影響，即電磁場與等離子體互相作用，并由此確定非線性項.而且這些變化和溫度等變化具有關系.

其次，氣象的能量來源主要是地面吸收的太陽輻射，能流

(15)

rE是地球半徑，F(xiàn)是太陽常數(shù)，A是地球反照率.如A=0.5，UE=8.9×1016瓦[8].太陽風撞擊地球時所具有的總能流約為

(16)

rm是地磁層半徑，ρ是太陽風質量密度，v是粒子速度，B是行星際磁場強度.

地球是磁流體發(fā)電機，地磁場是有媒質(地球)的場，其可以是順、抗或鐵磁體.地球及氣候變化周期性的可能產(chǎn)生機制和確定的數(shù)學模型就相應于耗散結構理論.筆者具體討論了耗散結構理論和可能的發(fā)展方向，并研究了孤立系統(tǒng)的熵減及某些問題[9].

溫度、能量直接振蕩，則可以是蟲口方程

dT/dt=λT(1-T),

(17)

由此確定1)可能的機制，嚴格的數(shù)學模型及相應的結果.另一種是大氣化學成分，臭氧等的變化，聯(lián)系于溫室效應.2)數(shù)學上非線性方程除孤子解外，還可以有瞬子、扭子解等，及周期解(小周期相應黑子，隨黑子周期變化的各種結果都有相同的周期性)，極限環(huán)，混沌解(污染到一定程度)，突變等.3)上述X、Y的能量及唯象結果符合公式(17).

2　磁暴

已知太陽耀斑等產(chǎn)生的太陽風是引起磁暴的主要原因.這是日地關系的一個重要部分.基于磁暴起源的非線性機制，筆者討論過其4種孤子機制：1)已知的Alfven波及相應的變形KdV方程；2)Langmuir波及其方程與相關的非線性Schrodinger方程；3)一般的離子聲波和磁流體動力學的KdV方程；4)太陽風粒子密度的非線性Dirac方程.它們的非線性起因和脈沖性可以為磁暴的預報提供一種理論機制[10].

磁暴的爆發(fā)機制聯(lián)系于非線性相互作用及非線性方程.電磁波及玻色子是非線性Maxwell，Klein-Gordon(KG)方程等，荷電粒子是非線性Dirac方程，二者聯(lián)系于非線性Schrodinger方程，它們可以疊加或獨立相加.如sin-Gordon方程描述超短光脈沖傳播.從微觀到宏觀可以是1)密度方程.2)非線性波動方程勢是sinφ，cosφ及sin-Gordon方程、立方KG方程是：

φxx-φtt=fφ-bφ3,

(18)

孤子解為

(19)

孤子解可以展開為Fourier級數(shù)，然后取近似：

(20)

其中

(21)

大氣科學中已有非線性的混沌，即Lorenz模型[11].基于相同的非線性機制和流體力學方程，Lorenz模型可以推廣到等離子帶和地磁場.

3　非線性地學

更一般的非線性日地物理學聯(lián)系于非線性地球科學.由一般的非線性科學[1]可以結合非線性等離子體物理學、非線性光學和磁流體動力學等，并得到非線性的三次方項.由此可以1)解釋各種周期性.2)VanAllen帶的耗散.3)修改發(fā)展地磁場的發(fā)電機理論.

非線性可以是單個場或單種因素的非線性效應；各種場或因素的相互轉化，如地質波能與電磁場能的轉化.地球內部是磁流體力學方程，其變即磁場、速度等周期變化，在不同地點對它們的依賴不同，所以時間也不同.

非線性地球物理效應可以使1)地質介質里傳播的物理場發(fā)生非線性變化.2)與能量轉變有關的效應.3)轉變?yōu)榈厍蚧瘜W反應能有關的效應.總之，非線性地球科學可以廣泛應用.

石油的形成可以結合板塊結構，特別是其隕擊成因說，撞擊產(chǎn)生高溫，導致液化.石油主要分布地區(qū)為波斯灣、加勒比海、南洋群島、北極(后三者都是多島地區(qū)).石油和隕擊生成都發(fā)生于中生代和新生代時期.按古代海洋分布等確定石油、煤等的分布，具體對云貴川等地進行討論.云南根據(jù)古地質結構，有滇黔古海、古海洋生物化石，所以應該有石油.

已知火山形成頂平的海山，其主要是由液體巖漿受到海水的壓力或海浪作用而變平，對前者越深則越平，對后者則越淺越平.由地心的冷(或者熱)核聚變可能導致地下爆炸，由此引發(fā)地震、火山，并導致某些陸地下沉.

由類似地震的流體力學方程等導出、討論板塊運動，洋流和厄爾尼諾現(xiàn)象，火山等.這些在地球動力學中已作過探索.并且應該研究地球動力學、地震和地學中的電磁學和電磁廣義相對論[12,13].

4　非線性地震動力學和地震拓撲學

地震是一個非常復雜的非線性現(xiàn)象.在地震預報中可以應用非線性科學[14].基于一般的非線性地學[15]，1989年9月筆者由著名的Gutenberg-Richter(GR)頻度-震級公式近似導出并發(fā)表了地震震級-周期公式[16]為

T=T010(a0-a)-(b0M0-bM).

(22)

如果假設近似時參數(shù)a,b不變，則震級-周期公式簡化為

T=T010-b(M0-M).

(23)

由此就能定量預報地震.進一步筆者應用非線性流體力學方程[17-19]:

(24)

及葛羅米卡方程、Navier-Stokes方程等，討論此時的各種特例.在某些條件下當▽p=0時就只與速度有關，如方程(24)的一個簡化形式就是單變量速度V的非線性常微分方程：

(25)

以后一個簡化的非線性解結合Carlson-Langer模型也可以近似得到公式(23)[17-19].

地震可以完全用由流體力學非線性方程研究雙星形成的方法[20,21]，在平面上應用定性分析理論.由此得到的結果是確定單源地震或者雙源、多源地震.如果略去地球的旋轉，設

▽V=gV,▽(V2/2)=cV2,

(26)

則方程簡化為

(27)

(28)

由此可以討論地震的分岔點.此時以粘滯系數(shù)等作為參數(shù)對其求偏導數(shù)就可以討論分岔點及其理論.但對參數(shù)的線性關系，分岔點都是不變的原點(0,0).

三維地震的定性分析可以確定地震深度，或者是經(jīng)緯度及時間.而穩(wěn)定奇點說明地震將必然發(fā)生的地點.吸引子可以用于地震等的形成.

非線性微分方程存在多個定態(tài)解，所以非線性地震也存在多個周期，而不是唯一周期，最后還會導致混沌.由流體力學方程就可以得到一個混沌方程[19,22]，其中混沌相應于地震.在Webster大字典第三版中“混沌”有大裂縫、深淵(chasm,gulfandabyss)的意思，這正是地震的結果.它有助于揭示地震的本質，并顯示出地震的復雜性和內在的規(guī)律性.但這也給地震的長期精確預報投下了致命的陰影[17-19].

地震成因最主要的假說是斷層成因說，其時間分布具有輪回性，即“地震不是簡單地周期性重復發(fā)生，而是準周期地發(fā)生”[23].其中之一是“彈性反跳”.20世紀80年代末期，美國西布森提出“斷層閥”模式，能更好地解釋地震活動的周期性.近年Bak等探討了地震是自組織臨界(SOC)現(xiàn)象和相應的統(tǒng)一的標度定理[24].從Lorenz模型筆者也討論了來回跳躍的倍周期地震[19,22].而Lorenz模型可以由協(xié)同學定量導出[25,26].地震等對應于Lorenz吸引子，則其有自相似性，有分維.地震中有周期，可能還有倍周期，到周期3也許就意味混沌(周期任意).這又對應于T敏感地依賴于b.如此地震似乎有兩類：漸變(海城)，突變(唐山).相應的時間系列中也出現(xiàn)雙周期、多周期.

在(24)中如果F0包含某些周期性的相互作用，如太陽黑子、天體影響、地磁場變化、地殼運動、地球自轉等，地震作為一個敏感的非線性系統(tǒng)，可能出現(xiàn)相同的周期性，對地震的時空區(qū)域將有某些漲落.地震等各種周期都可應用布魯塞爾振子、極限環(huán)、蟲口方程等，并由此推廣導出周期.

混沌和地震、火山爆發(fā)等相關，可能還聯(lián)系于地磁暴.某些引發(fā)地震的原因，如火山、水庫、地下核爆炸、天體的影響等，只是系統(tǒng)的邊界條件或初始條件.但是由于地震系統(tǒng)服從非線性方程，因此其對初始條件極為敏感.

Fourier變換、小波變換、小波分析可以用于地震，及Navier-Stokes非線性方程與Slater到Lorenz模型.由此得出周期性和局部特性.引入地震函數(shù)

(29)

其是各種周期的疊加.周期又對應震級-周期公式.

從海岸線的分形幾何推廣到地形、地貌、地質、地震等應該是自然的.只要地質構造基本相同，地震等應該存在自相似性，分維D應相同；如構造不同，則D不同.假定地震對尺度r的分維為D，則rD=N是次數(shù)，范圍越大，次數(shù)越多.這應該類似星體分布.對時間t的分維為D1，則rD1=N，時間越長，次數(shù)越多.

進一步，筆者認為地震研究應該向下列方向發(fā)展：1)由計算機描述地震時空點，并進一步模擬.2)地震是隨機的，相應于混沌；但其中有自相似性(如對震級大小等)，有分維.3) Carlson-Langer模型用Toda方程導致孤子解及非線性理論、方程的各種孤子解.由此描述地震波.4)b發(fā)展為時間的函數(shù)b(t)，則周期T與時間t有關，隨其不同.而且N=C/T，C是函數(shù).5)由地震方程組解出定性分析的源、匯，理論上可以認為是地震中心.6)以中心為基礎，在一定范圍以時間間隔為坐標，研究其中存在的直線.可以T=250或300年及計算結果為周期在Shaw的相空間中探索其中的周期性.

對地震，用x-y平面表示地震空間分布，奇點匯就是地震點.用x-z平面表示地震時間分布，峰值就是地震點.次數(shù)極多的(次級)地震也許可以用小波分析方法.1)可以在某個地區(qū)作震級-時間圖.2)或時-空-震級，即“時-空-強”三要素[23]的三維圖.3)更一般經(jīng)-緯-時-震級四維圖(理論上還可以加深度為五維，但對人類的影響主要是在地表的四維).其類似四維時空，可以用狹義或廣義相對論的方法.地震中有復數(shù)斷裂帶和復維.4)地震廣義相對論；經(jīng)-緯-時三維隨震級(對應質量，都是字母M)彎曲.可以用幾何方法.5)地震時空演化圖；以經(jīng)-緯為x-y軸，震級為z軸就出現(xiàn)一個三維立體圖.其隨時間改變就是演化圖.其在某個區(qū)域就是一個帶，它的周期性一目了然.6)地震發(fā)展為方程組，如Lorenz模型，Lotka-Volterra方程等；研究三維Lorenz模型在經(jīng)-緯-時三維中的意義，或在經(jīng)-緯-深度三維空間中的意義，及其二維截面的意義.7)Klein經(jīng)濟計量模型方法可用于地震，考慮越來越多的因素和方程.

混沌的動力學系統(tǒng)可以用拓撲學定義[29]，因此由地震的混沌意義自然聯(lián)系于地震拓撲學.還應該研究地震拓撲學及以下方面：1)地震是拓撲被張力拉破.2)不動點即地震區(qū)域.3)在二、三、四維空間中的拓撲性質.地震點是割點(靈敏點)，把它發(fā)展為一個小帽(即距離在一定范圍時作為同一點)，則不同區(qū)域是不同網(wǎng)絡.由此可以聯(lián)系于神經(jīng)網(wǎng)絡在地震研究中的應用[28].區(qū)域、小帽不同可能存在自相似性，對應分形、非標準分析.4)不同網(wǎng)絡形成一系列p0,p1,p2,...pk...由k(k個環(huán)柄的球面)定義地震頻率.同胚于圓盤、球面無地震.k可以是三維不變量，或是二維的k(t).由此引入曲面Q(某個平面或時空區(qū)域)的Euler示性數(shù)χ(Q)=V(頂點)-E(棱數(shù))+F(多邊形個數(shù))是拓撲不變量.對二、三維最簡單時χ=1,2.如果V(t)，則E(t)、F(t)都與時間t有關，但χ不變，其中空間取一定范圍，時間取一定時段.曲面分為小帽、長條(聯(lián)結地震帶)、心區(qū).5)也可以結合圖論[30].6)有k個洞的球面可以投影在平面上，即是有≤k 個洞的平面.筆者討論了一般的拓撲科學[31]，其中包括拓撲地震學.

聲探測器，特別是原理應可用于地震.已知很多動物都能感知地震前的各種波，制造新的儀器也應能如此.結合仿生學，可以全波段(包括各種電磁波、聲波等)探測地震.這對應于意念場，則某些人也能感知地震.筆者認為廣泛結合地震預報的各種方法，主要是可以發(fā)現(xiàn)各種地震前兆[23]的現(xiàn)代科學儀器，有用的科學理論和某些非常規(guī)方法這三方面[32,19,22]，就可以極大提高地震預報的精確度，特別是短臨預報能力.

5　天文、地震與災害

畢福志、袁又申提出全球氣候變化具有250年的明確周期.進而筆者提出太陽黑子、地殼運動、地磁場、地球自轉、氣候、地震等彼此相關[16]，由此還可以探索它們之間的各種關系.進一步，地震的各個周期T應與其他五種周期相關.此外，還可能與天象相關.1987年確定太陽異常活動(耀斑等)誘發(fā)地震.T約為22年的地震周期應與黑子周期相關.太陽黑子周期有11、60、250年.大地震與九星會聚、望朔、磁暴等天文現(xiàn)象有關.欒巨慶認為存在60及240(250)年的旱澇周期[33].這是天文氣象學.如此250年周期可以歸為天象.這是一種可能的解釋.20世紀30年代米蘭科維奇認為氣候變化與地球軌道參數(shù)變化的周期相同.10萬、4萬、2.3萬年三種周期與地球軌道偏心率、地軸傾角和歲差周期幾乎一致.而各種周期公式是彼此相似的，并且可以由相似的非線性機制導出.這應該是非線性日地物理學的一個重要的研究方向.

筆者認為最好的方案可能是：宇宙或太陽周期性導致地球氣候和地球自轉的周期性.由此可以修改不規(guī)則周期為250年.它近似是22年黑子周期的11倍.在不同地震帶，對地殼運動等的反應不同，所以周期、時間也不同.由于板塊運動有規(guī)律，因此地震應有準周期.

八大行星公轉周期的最小公倍數(shù)約為330年，所以330年一次八大行星的天象基本相同.除去海王星外的最小公倍數(shù)約為85年.再除去天王星約為59年；其4倍約為237年，1640和1877年黃河流域有特大干旱，相距237年.再除土星約為23年.再除木星約為11年.如此可能行星之間還存在一種特殊的周期性力場.對應于天體等泛量子理論[34～37]和宇宙量子理論(CQT)，這可能是量子幾率波場.

太陽活動具有各種周期：晝夜變化，27天，11年，500年.這些都應該對應于地震、天氣、疾病等的周期.如果日月食決定旱澇，則日月食周期也應決定旱澇周期.如沙羅19年周期.這又是一種不同于22年的新系列周期.

地球上各種災異現(xiàn)象具有多尺度的群發(fā)性，都出現(xiàn)在天文背景發(fā)生變化時.科學家發(fā)現(xiàn)凡是強盛的厄爾尼諾年，都出現(xiàn)全球性天氣異常.近800年太湖流域的旱澇變化與太陽黑子一樣具有11年周期，及雙波振動現(xiàn)象.這同太平洋副高強度、位置與太陽黑子相對數(shù)的相關關系一致.

解釋天文-氣象關系，應該有天文-磁暴、天文-地震等天文-災害關系，及天文與疾病流行.結合已知的非線性系統(tǒng)的蝴蝶效應，天文更會影響氣候等.具體有月地、日地氣象學、災害學等.各種災害又常常呈現(xiàn)出具有分形的特征.Michael Ghil應用分形分析的方法，對自然災害，甚至社會經(jīng)濟的突發(fā)事件進行預測.

進一步，250年的地震周期與《黃帝內經(jīng)》中醫(yī)用歷的輪回周期240年近似相等.這就是天地人的關系.筆者討論過協(xié)同學的中華傳統(tǒng)文化基礎；提出太極數(shù)學和循環(huán)；由協(xié)同學定量導出陰陽互變的Lorenz模型，由此說明生命、宇宙都在于混沌中的協(xié)同；總結并指出易和協(xié)同學的一致性[26].這樣現(xiàn)代科學就與中國傳統(tǒng)科學文化聯(lián)系起來.

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[責任編輯：閆昕]

Nonlinear Earth-Sun Physics, Nonlinear Earth Science and Seismic Topology

CHANG Yi-fang

(Department of Physics, Yunnan University, Kunming 650091, China)

First, the nonlinear Earth-Sun physics is researched. Next, the magnetic storm is discussed. Third, the general nonlinear Earth science is searched. Then the nonlinear dynamics of earthquakes and various new developed directions are investigated emphatically, and a seismic topology is proposed especially. Final, the relations among astronomy, earthquakes and calamities are discussed.

nonlinearity; earth-sun physics; earth science; earthquake; topology; magnetic storm; astronomy; calamity

2016-08-20

國家自然科學基金項目(項目編號:11164033).

張一方(1947-),男,云南昆明人,云南大學物理系教授,主要從事理論物理的研究.

P315

A

1004-7077(2016)05-0001-08