偏微分方程中常用的不等式及其證明

程建玲

(鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河南新鄭　451100)

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偏微分方程中常用的不等式及其證明

程建玲

(鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河南新鄭451100)

Young不等式和Holder不等式是偏微分方程中常用的不等式，這些不等式為解決對偶空間構(gòu)造、Sobolev定理等深刻結(jié)論的證明提供了重要的知識工具，對于促進現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用.本文證明了Young和Holder不等式的幾種常用形式.

Young不等式；Holder不等式； 證明①

0　引言

Young不等式、Holder不等式在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和應(yīng)用上有重要的作用，Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推廣，并對偏微分方程的發(fā)展起到了非常重要的作用[1-5].基本的Young不等式、Holder不等式出現(xiàn)多種變化的形式.它們的推廣是不等式的后續(xù)發(fā)展,這些不等式為偏微分方程的證明提供了重要的知識工具[6-9].

1　Young不等式

(1)

(2) 推廣的Young不等式

(2)

依次類推，可得(2)式.

(3)ε-Young不等式

(3)

(4) 卷積的Young不等式

(4)

2　Holder不等式

(5)

證明：用Young不等式來證明，

上式求和k=1,2,···n

(2)Holder不等式的定積分形式

(6)

(7)

若f1,f2,···fn>0,且f1,f2,···fn在Ω上可積，p1,p2,··pn>1,

(8)

(3) Lp空間的Holder不等式

(9)

證明：p=1,p=∞顯然成立,當1

(10)

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[責(zé)任編輯：房永磊]

Inequalities in Partial Differential Equations and Their Proofs

CHENG Jian-ling

(Zhengzhou Institute of Applied Technology, Xinzheng 451100,China)

Young inequality, holder inequality are partial differential equations commonly used inequality.To solve the proof of the structure of dual space, Sobolev theorem , these inequalities are the profound conclusion which provide an important tool for knowledge.To promote the development of modern mathematics, they play the very important role. In this paper, we describe some forms of Young inequality and Holder inequality which are commonly used in partial differential equations.

young inequality；holder inequality；prove

2016-09-01

程建玲(1981-)，女，河南省登封人，鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部講師，理學(xué)碩士，主要從事偏微分方程的研究.

O175.24

A

1004-7077(2016)05-0043-04