考慮油膜不確定性的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別

毛文貴， 李建華， 劉桂萍， 劉　杰

(1.湖南工程學(xué)院 機械工程學(xué)院，湖南省風(fēng)電裝備與電能變換協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 湘潭　411101；2. 湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院,長沙　410082)

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考慮油膜不確定性的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別

毛文貴1,2， 李建華1， 劉桂萍2， 劉杰2

(1.湖南工程學(xué)院 機械工程學(xué)院，湖南省風(fēng)電裝備與電能變換協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 湘潭411101；2. 湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院,長沙410082)

針對滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別過程中滑動軸承油膜特性系數(shù)的不確定性，提出了考慮油膜不確定性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量的識別方法。該方法考慮滑動軸承油膜特性系數(shù)為不確定因素，基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論和一階泰勒級數(shù)展開式的區(qū)間法將具有不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題轉(zhuǎn)化為兩類確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題；對于確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題根據(jù)滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行時不平衡量是以不平衡力的形式作用于主軸上，提出將不平衡力在時域內(nèi)用一系列的脈沖函數(shù)來表示，利用滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析方法來構(gòu)建正問題，結(jié)合正則化方法處理不平衡量識別中的病態(tài)問題，獲得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量的上邊界和下邊界。通過一轉(zhuǎn)子實驗臺檢驗了不平衡量識別方法的有效性和魯棒性。

滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng);不平衡量識別;不確定性;油膜特性系數(shù);區(qū)間法

滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高檔數(shù)控機床中得到了廣泛地應(yīng)用?；瑒虞S承油膜特性系數(shù)、主軸系統(tǒng)不平衡量等動力學(xué)關(guān)鍵特性參數(shù)與滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)之間存在著非常復(fù)雜的關(guān)系，直接影響著機床的加工精度。但對于主軸而言，由于制造、安裝誤差以及材料的不均勻性等因素，不平衡量的存在是必然的。在滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，不平衡量按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成不同的等級，并給出具體的動載荷表達形式，但由于結(jié)構(gòu)本身的動力特性是設(shè)計變量或控制參數(shù)的非線性函數(shù)，存在對動載荷的敏感性。因此，規(guī)范或標(biāo)準(zhǔn)中的設(shè)定載荷模式與結(jié)構(gòu)所受的實際的動態(tài)載荷有偏差時，進行結(jié)構(gòu)的動力特性分析和優(yōu)化設(shè)計就可能與實際情況存在較大的偏差。在未能給出不平衡量的確切值時，會給滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性優(yōu)化設(shè)計和健康監(jiān)測與故障診斷等問題的研究帶有一定的盲目性。因此，不平衡量的準(zhǔn)確獲取能為這些問題的研究提供確切的載荷條件，對結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性設(shè)計具有重要的實際意義。了解不平衡量對滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的影響，準(zhǔn)確識別不平衡量，是實現(xiàn)滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動平衡和動態(tài)性能優(yōu)化，降低回轉(zhuǎn)精度的關(guān)鍵。

然而由于加工條件和測試環(huán)境等一些復(fù)雜因素的影響，不平衡量的大小很難直接測量。而滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)(位移、速度和加速度等)的測量相對容易和準(zhǔn)確些，所以利用測量的響應(yīng)對不平衡量識別的研究是非常必要的。劉淑蓮等[1]基于全息譜分析的非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別，通過傅里葉展開和全息譜技術(shù)將油膜力和不平衡量的工頻的周期力分開來獲得轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速下的不平衡量。同時隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，人們也開始在不平衡量識別中注入遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和計算反求技術(shù)。利用不同的激勵通過實驗與理論計算來間接獲得剩余不平衡量[2-4]。TIWARI等[5]利用脈沖和不平衡響應(yīng)同時識別多自由度柔性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的剩余不平衡量和油膜特性系數(shù)。不平衡量在滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行時以力的形式作用在主軸結(jié)構(gòu)上，因此，不平衡量識別可轉(zhuǎn)化為不平衡力識別問題來研究[6]。而利用測量的響應(yīng)進行載荷求解的動載荷識別技術(shù)正日益成為工程實際中動載荷獲取的不可或缺的一種重要手段，對其研究在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動平衡控制、故障診斷和檢測等諸多技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用前景[7-8]。載荷識別問題作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)的第二類反問題，國內(nèi)外的研究雖然取得了一定的成果[9-10]，但上述方法識別不平衡量時一般都假定系統(tǒng)模型是確定的。然而滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量直接影響滑動軸承的油膜特性。理論上不平衡量變化時，滑動軸承軸頸處的作用力會發(fā)生變化，軸頸中心移動，從而油膜特性系數(shù)會發(fā)生變化。即滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)具有不確定性。因此，研究滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不確定結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題，正確客觀地估計和評價油膜不確定性因素對不平衡量識別反問題解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性等的影響，在學(xué)術(shù)研究上具有一定的理論研究價值。同時，如果能從區(qū)間角度對油膜不確定性進行度量，在此基礎(chǔ)上再進行不平衡量識別，則有望能在綜合考慮不確定性影響因素下給出滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所受不平衡量的統(tǒng)計特性的上、下邊界，這能更加合理地評價結(jié)構(gòu)的不平衡量，為滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動平衡研究提供可靠的輸入條件?；趨^(qū)間方法[11]提出一種基于區(qū)間的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別方法，考慮滑動軸承油膜特性系數(shù)為不確定變量時對不平衡量識別結(jié)果的影響。

1　不平衡量識別問題的描述

本文提出的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量的識別是在滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)分析的基礎(chǔ)上進行的。滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)方程見式(1)。

(1)

式中：q為轉(zhuǎn)子軸心位移；阻尼矩陣C包含了滑動軸承的阻尼系數(shù)CB；剛度矩陣K包含了滑動軸承的剛度系數(shù)KB；M為質(zhì)量矩陣。力矩陣F由質(zhì)心偏離幾何中心而產(chǎn)生的不平衡力組成。

即由可測知的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)，結(jié)合式(1)的瞬態(tài)響應(yīng)方程，建立包括不確定油膜特性系數(shù)的不平衡量識別方程。當(dāng)滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的滑動軸承油膜剛度和阻尼系數(shù)通過有限變分法[12]計算，而轉(zhuǎn)子軸心位移通過測量獲取，則式(1)中只有右邊的不平衡力是未知數(shù)。而不平衡力也可由式(2)表示。

A=mrω2

(2)

式中：t為時間；ω為角速度；A為不平衡量幅值；φ為不平衡量相位。m為不平衡質(zhì)量；r為不平衡質(zhì)量距軸中心的距離;fx,fy為不平衡力在x，y兩方向的分力。

由式(2)可知，根據(jù)不平衡力fx,fy可獲得不平衡量幅值A(chǔ)和相位φ，從而可以識別出不平衡量。

但滑動軸承油膜剛度和阻尼系數(shù)計算時，其大小與作用在軸頸上的外力有關(guān)，而滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量大小會影響作用在軸頸上的外力，從而影響滑動軸承油膜剛度和阻尼系數(shù)的大小。即滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別時，滑動軸承油膜特性系數(shù)具有不確定性。因此，滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別是具有不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題。

2　不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別方法

2.1考慮油膜特性系數(shù)不確定性區(qū)間法

目前對不確定變量的描述方法主要有區(qū)間法和概率法[13-16]，依據(jù)概率法進行不平衡量識別時，本案例中構(gòu)建滑動軸承油膜特性系數(shù)的概率密度函數(shù)需要大量的樣本數(shù)據(jù)，這在實際中不太現(xiàn)實。而根據(jù)經(jīng)驗，滑動軸承油膜特性系數(shù)大概的區(qū)間范圍還是可以確定的。因此，采用區(qū)間法，并基于一階泰勒級數(shù)展開式的區(qū)間法將具有滑動軸承油膜特性系數(shù)為不確定變量的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量識別方法轉(zhuǎn)化為滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中兩類滑動軸承油膜特性系數(shù)為確定變量的不平衡量識別問題，即不確定變量中點處的不平衡量識別和不平衡量對于油膜不確定性變量的梯度的識別。

以脈沖信號作為單元信號，將不平衡量表現(xiàn)的不平衡力在時域里表示為一系列脈沖函數(shù)的疊加。對于一個線性系統(tǒng)，在連續(xù)時間域內(nèi)當(dāng)只受單個不平衡力時，滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)能表示成式(3)所示的卷積分形式。

(3)

式中：q(t)為測點z處的瞬態(tài)響應(yīng)(位移、速度或加速度等);f(t)為作用在滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上的不平衡力的時間歷程;g(t)為相應(yīng)的由不平衡力作用點到瞬態(tài)響應(yīng)測點的Green函數(shù)。

當(dāng)考慮不確定變量時，滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)方程式(3)變?yōu)槭?4)：

(4)

式中：λ為滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的不確定變量;核函數(shù)g(t,λ)為包容不確定變量λ的集合，因此，不平衡力不再是一個解，而是一個解集。基于區(qū)間分析方法，基于測量瞬態(tài)響應(yīng)的不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡力對于任一時刻不再是實數(shù)，而是一個與不確定變量一一對應(yīng)的有界區(qū)間，即：

f(t,λ)∈fI(t)=[fI(t),fR(t)]

(5)

式中：fI(t)為t時刻的不平衡力區(qū)間;其下邊界fL(t)和上邊界fR(t)為t時刻的不平衡力集合中的極小與極大值，表達如式(6)。

(6)

實際工程中關(guān)心的往往是這個解集的上下邊界，并不需要求解出所有的可能值。不確定變量的下邊界λL和上邊界λR可以用區(qū)間的中點λc和半徑λw來描述，即

λ∈λI=[λI,λR]=[λc-λw,λc+λw],

(7)

不確定變量λ也可用下式描述：

λ=λc+δλ,δλ∈[-1，1]λw,

(8)

引入?yún)^(qū)間不確定性水平：

(9)

當(dāng)不確定性水平較小時，將不平衡力在中點處進行一階泰勒級數(shù)展開，獲得式(10)如下

f(t,λ)=f(t,λc+δλ)≈

(10)

因此，在t時刻不平衡力上邊界fR(t)及下邊界fL(t)可顯式表達為:

(11)

(12)

2.2確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別

當(dāng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)是確定時，確定性結(jié)構(gòu)的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)式(3)在時間域內(nèi)用M個等間隔的采樣點進行離散，可轉(zhuǎn)化為方程式(13)所示的線性方程組。

(13)

用矩陣表達為式(14)。

q=G·F

(14)

式中：q為在時間域內(nèi)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng);G為Green函數(shù);F為待識別的不平衡力。

對于多個不平衡力作用時，可以用同單個不平衡力作用時一樣的方法，并離散化為線性方程組形式。由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理，可將多個不平衡力作用時的表達式轉(zhuǎn)化為式(15)的矩陣形式。

式(15)中N表示不平衡力的個數(shù)，對于多個不平衡力的識別，要求滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)測點的個數(shù)不應(yīng)小于不平衡力的個數(shù)，同時需要預(yù)先通過計算或?qū)嶒灥姆椒ǖ玫礁鱾€不平衡力Fi到滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各測點qj之間相應(yīng)的Green核函數(shù)矩陣Gij. 在瞬態(tài)響應(yīng)矩陣q和核函數(shù)矩陣G已知的情況下，計算不平衡力矩陣F。結(jié)合式(2)可識別出多個不平衡量。

(15)

2.3正則化

在線性時不變假設(shè)下，時域內(nèi)不平衡力可表示為一系列脈沖激勵核函數(shù)的疊加，而系統(tǒng)的響應(yīng)能夠通過核函數(shù)的響應(yīng)和不平衡力的卷積分得到。通過離散化卷積分，可以建立不平衡量識別的正向模型?；瑒虞S承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中由于滑動軸承油膜的非線性使得不平衡量識別問題往往是不適定的和非線性的[17-18]。同時，通過實驗獲取的響應(yīng)數(shù)據(jù)不可避免的存在測量噪聲，可能會使識別的不平衡量嚴(yán)重偏離真實解。不平衡量識別問題是不適定的。正則化方法能夠有效克服載荷識別過程中的病態(tài)性。只有不平衡量識別的穩(wěn)定性滿足，反求的不平衡量才有實際意義。

當(dāng)測量的響應(yīng)數(shù)據(jù)中有誤差或噪聲時，引入正則化方法[19-21]，為了分析不平衡量識別過程中解的穩(wěn)定性，需要考慮觀測數(shù)據(jù)中誤差或噪聲，所以將式(14)可以改寫成如下形式。

qδ=G·F+δ

(16)

式中:qδ為包含有噪聲的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng);F為理論上正確的不平衡力；δ為測量的瞬態(tài)響應(yīng)所包含的噪聲。

然后，對核函數(shù)G進行如式(17)所示的奇異值分解(Singular Value Decom-Position,SVD)。

(17)

式中：U=[u1,u2,…,uk] 為G的左奇異向量和V=[v1,v2,…,vk] 為G的右奇異向量，是兩個標(biāo)準(zhǔn)化正交矩陣，Ω=diag(σi)為含有非負(fù)奇異值的對角矩陣。如果矩陣G的逆存在，利用式(17)可得估計的不平衡力F為[22-23]。

(19)

當(dāng)濾波函數(shù)f(α,σi)采用如式(20) 濾波算子[24]為：

(20)

式(19)化為：

(GTG+αI)-1GTqδ

(21)

至此，結(jié)合式(21)和式(2)考慮噪聲的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量可穩(wěn)定識別。通過區(qū)間法可將考慮不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題轉(zhuǎn)化為考慮確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別問題。通過正則化方法處理測量中的噪聲引起的不平衡量識別的病態(tài)問題。將不平衡力在時域內(nèi)用一系列的脈沖函數(shù)來表示，結(jié)合正則化方法穩(wěn)定實現(xiàn)這兩類確定性變量的不平衡量識別問題的求解，并利用區(qū)間運算方法實現(xiàn)具有不確定性變量的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量上下邊界的確定?；瑒虞S承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別流程見圖1。

為避免識別問題的病態(tài)性，經(jīng)常增加測點的數(shù)目(測點數(shù)不小于待識別參數(shù)的個數(shù))或選擇對待識別參數(shù)變化敏感的測點，即選擇相關(guān)性強的測點。后者測試成本較低。本文用數(shù)值仿真模擬尋找不平衡量識別相關(guān)性強的測點。確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別的具體步驟如下：

(1) 根據(jù)滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實際情況，確定不平衡量的位置和數(shù)量，運用數(shù)值計算方法選擇強相關(guān)性響應(yīng)測點的種類、位置和數(shù)量。建立滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析模型，施加不平衡量分析滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，找到響應(yīng)位移與所加不平衡量點有相關(guān)性強的響應(yīng)測點，且響應(yīng)測點的個數(shù)不能少于不平衡量的個數(shù)。

(2) 根據(jù)得到的響應(yīng)測點，對要進行不平衡量識別的轉(zhuǎn)子實驗臺布置測試響應(yīng)的傳感器。通過轉(zhuǎn)子實驗臺瞬態(tài)響應(yīng)實驗測量上述測點處的動態(tài)響應(yīng)qδ。

(3) 用滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)方法求解不平衡量作用點到響應(yīng)測點的核函數(shù)響應(yīng)，并建立核函數(shù)矩陣G。

圖1　滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不確定性結(jié)構(gòu)的不平衡量識別流程Fig.1　The identification method for the unbalance parameters of a rotor-bearing system

(4) 采用經(jīng)典的正則化方法選擇TiKhonov或截斷奇異值分解(Truncated SVD,TSVD)等正則化算子f(α,σ),利用廣義交叉驗證(Generalized Cross-Validation,GCV)準(zhǔn)則或L曲線方法確定合適的正則化參數(shù)α，將病態(tài)的核函數(shù)矩陣進行修正，記修正的核矩陣為Gα。

(6) 采用共軛梯度的LSQR方法進行迭代求解，從而獲得待識別的不平衡量，其中最佳的迭代次數(shù)可通過L曲線法來確定。

(7) 依據(jù)識別的實驗臺的不平衡量對實驗臺進行動平衡，比較實驗臺測點在動平衡前后的瞬態(tài)響應(yīng)振幅大小來檢驗不平衡量識別結(jié)果。

3　應(yīng)用實例

工程實際中對轉(zhuǎn)子進行動平衡時先要識別轉(zhuǎn)子不平衡量。動平衡的效果取決于不平衡量識別結(jié)果。本節(jié)用本文提出的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別方法應(yīng)用于轉(zhuǎn)子實驗臺的動平衡。

3.1實驗臺的瞬態(tài)響應(yīng)分析

圖2為北京東方振動和噪聲技術(shù)研究所研制的實驗臺，由0～10 000 r/min直流電機驅(qū)動，由電機調(diào)速器數(shù)顯轉(zhuǎn)速，鍵相軸套產(chǎn)生鍵相信號，油膜滑動軸承2套，由油杯注油，圓盤直徑為80 mm,寬度為15 mm。轉(zhuǎn)軸為等截面軸，直徑為10 mm，軸長490.0 mm，轉(zhuǎn)子材料的密度為7 850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，剪切彈性模量為80 GPa，轉(zhuǎn)速設(shè)計為2 000 r/min，滑動軸承為圓柱軸承屬于各向異性軸承，每個滑動軸承有8個油膜特性系數(shù)Kxx，Kxy，Kyx，Kyy，Cxx，Cxy，Cyx，Cyy左右兩個滑動軸承共有16個油膜特性系數(shù)，其油膜特性系數(shù)如表1。圓盤直徑60 mm處沿周向分布16個孔，可配置螺釘來人為設(shè)置不平衡質(zhì)量，用光電傳感器測轉(zhuǎn)速，電渦流傳感器測位移。INV1612型轉(zhuǎn)子實驗臺，配合INV306U采集系統(tǒng)及INV1612 型多功能柔性轉(zhuǎn)子實驗系統(tǒng)軟件的可完成滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)實驗。

在轉(zhuǎn)速為2 000 r/min的情況下，通過渦流傳感器測得兩測點的位移瞬態(tài)響應(yīng)見圖3。

圖2　INV-1612型轉(zhuǎn)子實驗臺Fig.2　The test rig of INV-1612

表1　滑動軸承油膜剛度和阻尼系數(shù)

圖3　轉(zhuǎn)子實驗臺的位移響應(yīng)Fig.3　Displacement responses of the test rig

3.2不考慮不確定變量的實驗臺不平衡量識別結(jié)果

針對測試的位移響應(yīng)，用本文的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識別方法識別出實驗臺的不平衡量的力的表現(xiàn)形式見圖4，不平衡力一周期為0.03 s，可知與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速是吻合的。由圖4結(jié)合式(2)可獲得不平衡量在實驗臺圓盤30 mm半徑處，質(zhì)量為 1.232 1 g，相位為46.035 2°。

利用上述識別的不平衡量對實驗臺進行動平衡處理，對完成動平衡以后的實驗臺測試瞬態(tài)響應(yīng)來評價動平衡效果。在主軸圓盤30 mm半徑處，加一大小與識別的不平衡量質(zhì)量相同，施加的角度方向與識別出的相位角方向相反。即由識別出的相位角上減去180°或者加上180°獲得不平衡質(zhì)量施加的角度，類似于在動平衡圓盤上施加一個與識別不平衡量大小相等，方向相反的力。運行施加了不平衡量的轉(zhuǎn)子實驗臺，測試其瞬態(tài)響應(yīng)，并進行配重前后瞬態(tài)響應(yīng)對比。將測得的瞬態(tài)響應(yīng)與動平衡前進行比較。從圖5和表2可知，測點在動平衡前后的振動幅度有了很大的下降，從而動平衡的效果比較好。

圖4　轉(zhuǎn)子實驗臺上的識別的不平衡力Fig.4　The identified unbalance forces of the test rig

圖5　兩測點動平衡前后的瞬態(tài)響應(yīng)比較Fig.5　Experimental unbalance responses: before and after the balancing procedure

表2　動平衡前后的振幅結(jié)果比較

3.3考慮不確定變量的實驗臺不平衡量識別

前面實驗臺中識別不平衡量是假設(shè)滑動軸承油膜特性系數(shù)是一固定值，與不平衡量的大小無關(guān)，而實際上不平衡量的大小影響作用在軸頸處的力的大小，而此力影響滑動軸承油膜特性系數(shù)。本節(jié)考慮滑動軸承油膜特性系數(shù)為不確定變量時對不平衡量識別結(jié)果的影響。

滑動軸承油膜剛度系數(shù)kyx,阻尼系數(shù)cxx,cxy,cyx因不平衡量幅值的變化而變化，受不平衡量的影響較大，故選定前軸承油膜剛度系數(shù)kyx,阻尼系數(shù)cxx,cxy,cyx為不確定變量。其中點值和5%的不確定性水平下的區(qū)間見表3。不平衡量對應(yīng)不確定變量kyx,cxx,cxy,cyx的一階偏導(dǎo)數(shù)通過確定性不平衡量識別方法和中心差分有限元方法獲得，圖6～圖9顯示其對應(yīng)的敏感度關(guān)系曲線，由圖可知不平衡量對于kyx,cxx,cxy,cyx都比較敏感。

表3　不確定變量的中點和區(qū)間

圖6　不平衡力關(guān)于剛度系數(shù)kyx的敏感度曲線Fig.6　The sensitivity curve of the unbalance force to stiffness coefficient kyx

圖7　不平衡力關(guān)于阻尼系數(shù)cxx的敏感度曲線Fig.7　The sensitivity curve of the unbalance force to damping coefficient cxx

圖8　不平衡力關(guān)于阻尼系數(shù)cyx的敏感度曲線Fig.8　The sensitivity curve of the unbalance force to damping coefficient cyx

圖9　不平衡力關(guān)于阻尼系數(shù)cxy的敏感度曲線Fig. 9 The sensitivity curve of the unbalance force to damping coefficient cxy

利用不平衡量識別不確定性變量中點處的不平衡量、敏感度曲線和式(14)和式(15)，采用區(qū)間法計算可得到不平衡量在5%不確定性水平下的上下邊界，如圖10所示，圖10中顯示不確定變量對滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩徑向方向x，y的瞬態(tài)響應(yīng)，由圖10可知不確定變量對x向的不平衡量影響較大。

圖10　5%不確定性下不平衡力識別的邊界Fig.10　The bounds of the identified unbalance force at 5% uncertainty level

考慮滑動軸承油膜特性系數(shù)受不平衡量的大小的影響，基于不確定變量的不平衡量識別獲得滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量的區(qū)間如表4。當(dāng)滑動軸承油膜特性系數(shù)在一定范圍變化時，識別的不平衡量也在一定范圍里變化。當(dāng)缺少滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)樣本和滑動軸承油膜特性系數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)時,使用區(qū)間分析方法進行滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量分析是較為準(zhǔn)確的，是十分必要的。

表4　基于區(qū)間方法的實驗臺不平衡量識別結(jié)果

4　結(jié)　論

本文提出一種滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中不平衡量識別的方法。針對實際的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，在不平衡量識別過程中，滑動軸承油膜特性系數(shù)的取值對不平衡量的識別結(jié)果是有影響的。取滑動軸承的剛度系數(shù)kyx,阻尼系數(shù)cxx,cxy,cyx這四個值作為不確定變量，基于區(qū)間方法提出一種基于區(qū)間的不確定變量的不平衡量識別方法?；谝浑A泰勒級數(shù)展開式的區(qū)間法將具有不確定變量的結(jié)構(gòu)的不平衡量識別方法轉(zhuǎn)化為兩類確定變量的不平衡量識別問題，并通過正則化方法處理不平衡量識別中的病態(tài)問題，從而獲得滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量的上下邊界。最后運用本文方法獲得轉(zhuǎn)子實驗臺的不平衡量，動平衡轉(zhuǎn)子實驗臺，比較動平衡前后的位移幅值大小來檢驗此方法的有效性。

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Unbalance parameters identification for a sliding bearing-rotor system considering the uncertainty of parameters

MAO Wengui1,2, LI Jianhua1, LIU Guiping2, LI Jie2

(1. Hunan Province Cooperative Innovation Center for Wind Power Equipment and Energy Conversion, College of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China;2. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

An identification method considering the uncertainty of the dynamic parameters of bearings in a sliding bearing-rotor system was presented to identify the unbalance parameters of the system. In the method, the unbalance parameters identification was transformed into two deterministic inverse problems by using the interval analysis with the first order Taylor series expansion. Then, the unbalance forces, used as the unblance parameters, were expressed as a series of impulse functions in time domain and the discretized convolution integral of unbalance forces and the corresponding transient response functions of the sliding bearing-rotor system were adopted to construct a forward model. A regularization method was introduced to deal with the ill-posedness arising from the deconvolution and noisy responses, and then the upper and lower bounds of the unbalance parameters were easily obtained through the interval expanding operation. The efficiency and robustness of the proposed method were verified on a test rig.

sliding bearing-rotor systems; unbalance parameters identification; uncertainty; bearing dynamic parameters; interval analysis

高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20130161130001); 湖南省自然科學(xué)基金資助項目(2016JJ6026 )；湖南省教育廳資助科研項目(15B057);常州市科技支撐計劃(CE20140027)

2015-10-20修改稿收到日期：2016-05-09

毛文貴 女，博士，副教授，1975年生

TH113.1;O322

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.18.035