變工況下角接觸球軸承保持架穩(wěn)定性分析

姚廷強(qiáng), 王立華, 劉孝保, 黃亞宇

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,昆明　650093)

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變工況下角接觸球軸承保持架穩(wěn)定性分析

姚廷強(qiáng), 王立華, 劉孝保, 黃亞宇

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,昆明650093)

復(fù)雜變工況條件下旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中滾動軸承表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)特性，更容易產(chǎn)生故障或破壞;考慮間隙碰摩、潤滑拖動作用和多體動態(tài)接觸關(guān)系，探索了變工況下球軸承多體接觸動力學(xué)特性?；谔兹L道圓環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)方程，建立并實(shí)現(xiàn)了運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下鋼球和套圈的三維接觸力學(xué)模型和動態(tài)接觸力的預(yù)測搜索算法;考慮鋼球和保持架的三維動態(tài)間隙碰摩和潤滑拖動作用，保持架和引導(dǎo)套圈的等效短滑動軸承的潤滑拖動作用，建立球軸承多體接觸動力學(xué)模型;運(yùn)用廣義-α方法計(jì)算分析了變工況下角接觸球軸承的動力學(xué)特性和保持架運(yùn)動穩(wěn)定性，獲得變預(yù)緊量、變速度、變載荷等工況下球軸承的三維空間運(yùn)動軌跡、動態(tài)作用力、振動加速度及頻譜等動力學(xué)響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果表明：內(nèi)外圈均旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于啟動加速過程中的速度和載荷沖擊作用，球軸承存在較大的作用力和振動位移，穩(wěn)定后的主振頻率是自由旋轉(zhuǎn)套圈的轉(zhuǎn)速頻率;預(yù)緊量的增加，保持架的振動位移僅在內(nèi)圈受固定徑向力作用時(shí)明顯減小;旋轉(zhuǎn)徑向力作用時(shí)保持架中心的運(yùn)動軌跡是近似圓柱面的渦動運(yùn)動規(guī)律。

接觸動力學(xué)；變工況；保持架；滾動軸承；多體動力學(xué)

滾動軸承被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、工程機(jī)械等領(lǐng)域的旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)。這些關(guān)鍵系統(tǒng)通常在變速度、變加速度、變載荷等典型復(fù)雜變工況條件或極端工況條件下工作，表現(xiàn)出復(fù)雜的系統(tǒng)動力學(xué)特性，滾動軸承更容易產(chǎn)生故障或破壞。變工況下保持架和滾動體的間隙碰撞和摩擦潤滑的動力學(xué)作用關(guān)系復(fù)雜，對滾動軸承及其保持架的動力學(xué)特性和運(yùn)動穩(wěn)定性有著重要的影響[1-3]。變工況下滾動軸承及其保持架的動力學(xué)穩(wěn)定性問題是目前還處于探索階段和亟待深入研究的系統(tǒng)動力學(xué)關(guān)鍵問題，為復(fù)雜變工況條件下旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)分析和動態(tài)設(shè)計(jì)提供一種有效的新方法。

多數(shù)文獻(xiàn)忽略變工況下軸承的瞬態(tài)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)特性和鋼球與保持架的碰撞摩擦作用，采用擬動力學(xué)方法研究軸承的力學(xué)特性，逐漸深入分析流體動力潤滑和波紋度等因素的影響。對于計(jì)及保持架間隙碰撞作用的變工況下球軸承的瞬態(tài)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)響應(yīng)的研究，還處于探索階段。鄧四二等[4]在滾動軸承動力學(xué)分析理論基礎(chǔ)上，建立含軸承零件工作表面波紋度的深溝球軸承動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，并以某型號低噪音深溝球軸承為例，對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)、工況參數(shù)及諧波參數(shù)下低噪音深溝球軸承的振動特性進(jìn)行了理論分析。陳小安等[5]應(yīng)用彈性力學(xué)和滾動軸承動力學(xué)理論，建立考慮內(nèi)圈彎曲變形影響的角接觸球軸承動剛度分析模型，探討不同工況下內(nèi)圈的徑向撓度及其對軸承動剛度的影響。方兵等[6]理論計(jì)算分析和實(shí)驗(yàn)測試了不同預(yù)緊力對軸承固有頻率的影響。姚廷強(qiáng)等[7]基于套圈滾道的三角網(wǎng)格模型，研究了平穩(wěn)工況條件下球軸承動力學(xué)特性。蔡力鋼等[8]針對定壓預(yù)緊下的角接觸球軸承在動態(tài)條件下的接觸狀態(tài)進(jìn)行動力學(xué)建模，通過預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速調(diào)整，測量軸承在不同工況下內(nèi)外圈的相對位移。ASHTEKAR等[9]以離散元方法建立了球軸承力學(xué)模型，數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)測試了不同轉(zhuǎn)速下渦輪增壓機(jī)軸承的動力學(xué)特性和保持架的穩(wěn)定性。UPADHYAY等[10]研究保持架磨損和不平衡力下滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性擬動力學(xué)特性。近年來，保持架的研究通常假設(shè)保持架和滾動體間僅存在干摩擦作用，這種假設(shè)難以反映軸承運(yùn)行中流體潤滑的動力學(xué)特性。劉秀海等[11]研究了滾子和保持架間的擬動力學(xué)特性和運(yùn)動穩(wěn)定性。陳渭等[12]在基于軸承渦動軌跡假設(shè)基礎(chǔ)上，建立渦動工況下的軸承滾動體運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型，分析不同外載荷、渦動半徑、渦動頻率等因素對軸承打滑的影響機(jī)理，完成擠壓油膜阻尼器軸承的打滑失效分析。梁建波等[13]運(yùn)用Fokker-Planck接觸振動方程，建立二維平面球軸承的等效接觸力學(xué)模型，仿真分析波紋度對保持架質(zhì)心的運(yùn)動穩(wěn)定性的影響。鄧四二等[14]在雙列角接觸球軸承動力學(xué)分析基礎(chǔ)上，建立雙列角接觸球軸承動剛度仿真分析模型，分析軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和工況參數(shù)對軸承動剛度的影響。姚廷強(qiáng)等[15]運(yùn)用ANSYS/DYNA仿真分析了平穩(wěn)工況下角接觸球軸承保持架的動態(tài)沖擊應(yīng)力和穩(wěn)定性。

從系統(tǒng)動力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，考慮間隙碰撞和潤滑摩擦作用，鋼球、套圈和保持架的三維動態(tài)接觸關(guān)系，建立角接觸球軸承多體接觸全動力學(xué)模型，計(jì)算分析變預(yù)緊量、變速度變加速和變載荷等工況下球軸承的動力學(xué)特性和保持架的運(yùn)動穩(wěn)定性。

1　角接觸球軸承動態(tài)接觸關(guān)系

為便于和簡化計(jì)算，對球軸承做以下假設(shè)：

① 設(shè)軸承各零件為剛體，忽略結(jié)構(gòu)變形，各剛體之間存在局部接觸變形；② 根據(jù)多剛體動力學(xué)理論和罰函數(shù)法，考慮等效Hertz接觸剛度，以剛體接觸對的滲透量來描述軸承各剛體之間的局部接觸變形；③ 根據(jù)軸承潤滑拖動原理，將鋼球和套圈滾道、保持架之間的潤滑作用，簡化為等效的潤滑拖動系數(shù)和拖動力作用。設(shè)保持架和套圈引導(dǎo)面之間為充分潤滑條件；④ 除內(nèi)外套圈同時(shí)旋轉(zhuǎn)工況外，假設(shè)軸承外圈與機(jī)架剛性固定連接，內(nèi)圈受載荷和轉(zhuǎn)速驅(qū)動作用，內(nèi)圈、鋼球和保持架具有6個(gè)空間自由度的運(yùn)動。

1.1廣義坐標(biāo)的選擇

(1)

q=[qiqoqbqc]T

(2)

1.2鋼球和套圈滾道圓環(huán)的三維動態(tài)接觸關(guān)系

運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下球軸承內(nèi)部存在鋼球與套圈滾道的圓環(huán)(Torus)的動態(tài)接觸關(guān)系，運(yùn)用Torus幾何結(jié)構(gòu)方程描述套圈滾道的結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而建立鋼球和套圈滾道表面的三維動態(tài)接觸關(guān)系。與套圈滾道的三角網(wǎng)格離散方法相比，套圈滾道的圓環(huán)方程直接描述方法可以改善數(shù)值計(jì)算精度，縮減動態(tài)接觸的計(jì)算規(guī)模，有利于系統(tǒng)動力學(xué)分析。根據(jù)套圈滾道表面的形成原理，球軸承套圈滾道表面是由一個(gè)Torus的部分表面構(gòu)成。由于套圈滾道直徑和滾道曲率半徑為常數(shù)，則套圈滾道上任意為位置矢量可以表示為圓環(huán)表面的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)方程為:

(3)

式中:*為i或o，s*p，s*r和s*t分別為套圈滾道表面任意點(diǎn)的位置矢量，套圈滾道曲率中心的位置矢量和局部圓環(huán)面的相對位置矢量。R′i=di/2+Ri，R′o=Do/2-Ro，di，Do分別為內(nèi)外套圈滾道直徑，Ri，Ro為內(nèi)外圈滾道曲率半徑， 0≤φ*≤2π,α≤γ*≤α2，φ，γ分別為鋼球方位角(公轉(zhuǎn)角)和內(nèi)外套圈的溝道角。ξi=-(Ri-(Dw/2))sinα，ξo=(Ro-(Dw/2))sinα為套圈滾道表面的偏置，Dw和α為鋼球直徑和公稱接觸角。

圖1為鋼球與內(nèi)、外圈的坐標(biāo)系關(guān)系示意圖。在慣性坐標(biāo)系下鋼球j與套圈中心的作用關(guān)系為:

(4a)

(4b)

圖1　球軸承坐標(biāo)系關(guān)系示意圖Fig.1　The coordinates of ball bearing

(5a)

(5b)

(6)

由罰函數(shù)法可得鋼球j與內(nèi)、外圈滾道的法向接觸力為:

(7)

考慮潤滑作用，鋼球和套圈滾道之間的摩擦力為潤滑油的拖動力[17]，可由潤滑拖動系數(shù)和法向接觸力來計(jì)算潤滑拖動力。

(8a)

(8b)

式中:step(v,0,0,vs,μs)為摩擦因數(shù)漸變曲線函數(shù)。vs，vd分別為黏滯靜摩擦和滑動摩擦的臨界速度，μs，μd分別為黏滯靜摩擦因數(shù)和滑動摩擦因數(shù)。

1.4鋼球和保持架的三維動態(tài)接觸關(guān)系

(9a)

(9b)

圖2　鋼球與保持架的接觸力學(xué)模型Fig.2　The contact model for balls and cage

對于圓柱型兜孔的保持架而言，在兜孔坐標(biāo)系下鋼球質(zhì)心與兜孔中心的位置矢量為:

(10)

角接觸球軸承中鋼球與圓柱型兜孔的間隙為:

(11)

(12)

因此在保持架體坐標(biāo)系下，鋼球與兜孔的法向接觸力和切向摩擦力為:

(13)

Fcbt=μcbFcb

(14)

式中：μcb為鋼球和保持架兜孔的摩擦因數(shù)，由于鋼球和保持架兜孔之間的滑動較大，μcb可取為常數(shù)。

在SHABERTH的第5代角接觸球軸承試驗(yàn)?zāi)Ｐ突A(chǔ)上引入Hertz接觸彈性變形量，可得角接觸球軸承中鋼球與兜孔的法向作用力。

(15)

1.5保持架和套圈的等效潤滑作用關(guān)系

假設(shè)保持架和套圈引導(dǎo)面間充分潤滑，不存在直接的Hertz接觸作用，采用等效短滑動軸承模型來描述套圈與保持架的相互作用。

則外圈與保持架之間的動態(tài)趨近量為:

hg=Cg-Δg

(16)

式中:hg為外圈引導(dǎo)面與保持架定心表面之間的動態(tài)趨近量，Cg為外圈與保持架的引導(dǎo)間隙的半徑量，Cg=(D2-Dc)/2，D2、Dc分別為外圈擋邊直徑和保持架外直徑。Δg為保持架中心的相對位置變化量。

保持架與套圈引導(dǎo)面之間僅存在流體動壓作用，而無Hertz接觸作用，可將引導(dǎo)面的流體動壓作用力等效為短滑動軸承作用力。

(17a)

(17b)

(17c)

式中:Vg為保持架與外圈的相對速度，即為潤滑油的拖動速度;Lg為保持架定心表面的寬度，εgc=Δg/Cg為保持架中心的相對偏心率。

由球軸承各零件的動態(tài)作用力可以計(jì)算出在不同坐標(biāo)系下的作用力矩，由于篇幅限制，此處省略。

2　動力學(xué)模型和求解過程

(18)

式中:

(19a)

(19b)

(19c)

(19d)

首先確定軸承零件的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動條件的初始值，球軸承各零件由集中質(zhì)量和慣量描述，套圈滾道由圓環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)方程直接描述。通過各零件的相對位置及運(yùn)動參數(shù)的計(jì)算，獲得各零件的相互接觸時(shí)的相對滲透量表達(dá)式，由動態(tài)接觸關(guān)系式計(jì)算作用在各零件上的作用力和力矩。根據(jù)軸承的約束代數(shù)方程，運(yùn)用Matlab軟件編制動力學(xué)分析的廣義-α法[18]，計(jì)算約束雅可比矩陣和拉格朗日乘子，軸承零件的新位置和加速度等結(jié)果，對變工況下球軸承動力學(xué)的微分代數(shù)方程組進(jìn)行積分求解，得到各瞬時(shí)點(diǎn)的位置和運(yùn)動參數(shù)，可得變工況下球軸承的動力學(xué)結(jié)果。

3　球軸承動力學(xué)分析實(shí)例

3.1計(jì)算邊界條件

復(fù)雜變工況下保持架的穩(wěn)定性是高速球軸承突然失效的關(guān)鍵問題之一，可能引起高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中滾動軸承的動態(tài)性能和疲勞壽命相關(guān)的嚴(yán)重問題。以球軸承7010C為例，內(nèi)外圈滾道曲率半徑分別為4.65 mm和4.75 mm，節(jié)圓直徑為65 mm，鋼球直徑和數(shù)目為9 mm和18顆。保持架外徑為69.54 mm，內(nèi)徑為65.54 mm，外圈引導(dǎo)的保持架引導(dǎo)間隙值為1.4 mm，兜孔直徑為9.2 mm。鋼球與套圈的接觸剛度為Kci=9.31×105N/mm1.5，Kco=8.09×105N/mm1.5，阻尼參數(shù)為0.05 Ns/mm。潤滑油動力黏度η0為0.033 Pas，黏壓系數(shù)α為1.28×10-8Pa-1。計(jì)算分析球軸承在① 變速度；② 變預(yù)緊量；③ 變載荷等工況下的動力學(xué)特性和保持架的運(yùn)動穩(wěn)定性。由于篇幅限制，給出球軸承動力學(xué)的部分關(guān)鍵計(jì)算結(jié)果。

3.2變速度下球軸承動態(tài)特性

圖3～圖7分別為外圈中心受Fao=3 000 N預(yù)緊力和Fro=2 000 N旋轉(zhuǎn)徑向力，外圈自由旋轉(zhuǎn)no=step(time,0,0,0.1,7 200) r/min，內(nèi)圈固定旋轉(zhuǎn)ni= step(time,0,0,0.05,12 000) r/min下的計(jì)算結(jié)果。

圖3　保持架振動的質(zhì)心三維軌跡Fig.3　The 3-dimensional trajectory of cage’s center

圖4　外圈、保持架的質(zhì)心平面運(yùn)動軌跡和軸承內(nèi)部作用力Fig.4　The radial trajectory of outer and cage and internal force of ball baearing

圖5　外圈和保持架的振動加速度響應(yīng)和FFT頻譜Fig.5　The acceleration and FFT of vibration of outer and cage

圖3為保持架的質(zhì)心的三維運(yùn)動軌跡。圖4為外圈和保持架的質(zhì)心平面平面運(yùn)動軌跡和軸承內(nèi)部作用力。分析圖3可知，保持架中心的運(yùn)動軌跡在初始啟動階段的0～0.1 s加速過程中存在較大的軸向振動位移，穩(wěn)定后軸向振動位移較小，保持架質(zhì)心呈現(xiàn)為以0.078 mm為半徑的近似圓柱面三維運(yùn)動軌跡，軸向振動位移為0.005 mm的微幅波動。圖4(a)和圖4(b)為外圈和保持架的質(zhì)心平面運(yùn)動軌跡。由于啟動加速過程中速度和載荷的沖擊作用，外圈在初始時(shí)存在較大的徑向振動位移，穩(wěn)定后出現(xiàn)出以0.028 mm為半徑的近似平面圓周軌跡。圖4(c)和圖4(d)為球軸承的鋼球與套圈滾道的法向接觸力和鋼球與保持架之間的接觸碰撞力。由于旋轉(zhuǎn)徑向力、預(yù)緊力和離心力的影響，角接觸軸承的動態(tài)接觸力呈現(xiàn)出正弦函數(shù)的雙峰變化規(guī)律，有明顯的初始沖擊波動(最大值為1 148 N)。由球軸承的間隙碰撞和潤滑摩擦作用，穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下鋼球和保持架之間存在周期變化的拖動力(最大值為7.2N)，同時(shí)存在比拖動力大2倍左右的碰撞摩擦力(最大值14.6 N)，初始碰摩力的幅值較大。鋼球和套圈滾道的拖動系數(shù)和摩擦力矩是動態(tài)的變化規(guī)律，摩擦力矩(最大值為20.3 N·mm)對鋼球的自旋陀螺運(yùn)動和套圈滾道磨損有著重要的影響。分析表明啟動變速度過程、間隙碰撞和潤滑摩擦對球軸承內(nèi)部的動態(tài)作用力和保持架的運(yùn)行穩(wěn)定性有著重要的影響。

圖5為外圈和保持架的振動加速度響應(yīng)和FFT頻譜。外圈振動加速度幅值相對較小，存在949.8 Hz的高頻振動響應(yīng)。保持架振動加速度幅值相對較大，但較為平穩(wěn)。計(jì)算分析結(jié)果表明外圈和保持架的主振頻率均為自由旋轉(zhuǎn)套圈的驅(qū)動轉(zhuǎn)速頻率120 Hz(轉(zhuǎn)速為7 200 r/min)，對球軸承的動態(tài)響應(yīng)和運(yùn)行穩(wěn)定性有著重要的影響。驅(qū)動頻率的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果是一致的，說明本文軸承模型的計(jì)算精度較高。

圖6　球軸承內(nèi)部各角速度和保持架拖動力Fig.6　The rule of angular velocity and drag force of ball bearing

圖6為球軸承內(nèi)部各零件的角速度和保持架拖動力。球軸承轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，保持架的運(yùn)動角速度和套圈引導(dǎo)面的潤滑拖動力較為平穩(wěn)，保持架的轉(zhuǎn)速為9 315.3 r/min。保持架轉(zhuǎn)速的理論計(jì)算值為nc=[ni(dm-Db)+ne(dm+Db)]/2dm=9 267.7 r/min，數(shù)值計(jì)算結(jié)果的相對誤差為0.51%，說明本文軸承模型具有較好的計(jì)算精度。由于球軸承旋轉(zhuǎn)徑向力作用和內(nèi)外圈同向旋轉(zhuǎn)下，鋼球和套圈滾道、保持架兜孔之間存在間隙碰撞和潤滑摩擦的空間三維動力學(xué)作用關(guān)系，從而導(dǎo)致鋼球出現(xiàn)打滑現(xiàn)象，其自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)以±898 r/min波幅的周期變化規(guī)律，min=7 223.2 r/min，max=9 019.1 r/min，有效值RMS為7 666.4 r/min。分析可知，啟動加速度階段球軸承運(yùn)動存在較大的波動，保持架和套圈引導(dǎo)面之間存在較大的沖擊潤滑拖動力。隨著內(nèi)外轉(zhuǎn)速的增加，拖動力逐漸達(dá)到平衡的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)內(nèi)圈在0～0.05 s啟動加速至給定轉(zhuǎn)速后，外圈持續(xù)加速，拖動力逐漸緩慢增加；在外圈加速至0.1 s達(dá)到給定轉(zhuǎn)速時(shí)，拖動力存在較大的峰值波動變化，隨后重新達(dá)到動態(tài)平衡的周期穩(wěn)定變化規(guī)律。在內(nèi)外圈0～0.1 s的啟動加速過程中，鋼球自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速波動較大，球軸承的運(yùn)動穩(wěn)定性較差。

3.3變預(yù)緊量下保持架運(yùn)動穩(wěn)定性

圖7～圖9分別為球軸承外圈固定，內(nèi)圈中心受Fri=1 000 N旋轉(zhuǎn)徑向力或Fyi=1 000 N固定徑向力和不同預(yù)緊力或預(yù)緊位移方式，如圖7所示，內(nèi)圈自由旋轉(zhuǎn)ni= step(time,0,0,0.1,6 000) r/min下球軸承的計(jì)算結(jié)果。

圖7　球軸承軸向預(yù)緊量的階梯變化規(guī)律Fig.7　The rules of the axial preload conditions of ball bearing

圖8分別為不同預(yù)緊量下內(nèi)圈中心的三維運(yùn)動軌跡和徑向平面運(yùn)動軌跡。圖8(a)中預(yù)緊力的增加，內(nèi)圈中心的振動位移逐漸減小，呈現(xiàn)出逐漸上升的徑向平面運(yùn)動軌跡。當(dāng)內(nèi)圈中心受旋轉(zhuǎn)徑向力和不同預(yù)緊方式作用時(shí)，圖8(b)、圖8(c)、圖8(d)中內(nèi)圈中心的徑向平面運(yùn)動軌跡均呈現(xiàn)出近似圓臺面的不同變化規(guī)律。隨著預(yù)緊力或預(yù)緊位移的增加，內(nèi)圈中心的振動位移減小，呈現(xiàn)出逐從圓臺面的大端變?yōu)樾《说膱A周運(yùn)動軌跡。對比圖8(b)和圖8(c)可知，驅(qū)動轉(zhuǎn)速對內(nèi)圈中心運(yùn)動軌跡的圓臺面變化規(guī)律有一定的影響，低轉(zhuǎn)速下內(nèi)圈中心的運(yùn)動軌跡由大端向小端的變化趨勢相對緩慢，圓臺面的半徑相對較大些。

圖9分別為不同預(yù)緊量下保持架中心的三維運(yùn)動軌跡和徑向平面運(yùn)動軌跡。當(dāng)內(nèi)圈中心受方向不變的固定徑向力和不同預(yù)緊方式作用時(shí)(圖9(a)和圖9(b))，保持架中心的三維空間運(yùn)動軌跡和徑向平面運(yùn)動軌跡是近似圓柱面運(yùn)動軌跡，且在定位預(yù)緊下保持架的運(yùn)動穩(wěn)定性相對較差些。隨著預(yù)緊力增加，保持架中心的徑向平面振動位移明顯逐漸減小，而隨著預(yù)緊位移增加，徑向平面振動位移僅在預(yù)緊位移=-0.1 mm時(shí)減小較為明顯，其余預(yù)緊位移下變化不大，且運(yùn)動穩(wěn)定性變差。當(dāng)內(nèi)圈中心受旋轉(zhuǎn)徑向力和不同預(yù)緊方式作用時(shí)(圖9(c)和圖9(d))，在定壓預(yù)緊下保持架中心的三維空間運(yùn)動軌跡集中在三個(gè)近似圓周軌跡的運(yùn)動區(qū)域內(nèi)，而定位預(yù)緊方式下則是形成近似圓柱面的運(yùn)動軌跡。計(jì)算結(jié)果說明預(yù)緊力的增加達(dá)到一定程度后，對保持架中心的振動位移影響較小。隨著預(yù)緊力或預(yù)緊位移增加，保持架中心的徑向平面振動位移的幅值變化不大。在旋轉(zhuǎn)徑向力作用下內(nèi)圈的預(yù)緊量增加到一定程度會導(dǎo)致保持架的運(yùn)動穩(wěn)定性變差(圖9(c)和圖9(d))。

(a)固定徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊力Z1=200～1600N(b)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊力=200～1600N,低速ωi=1500r/min

(c)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊力Z1=200～1600N(d)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊位移Z1=0～0.1mm,低速ωi=1500r/min圖8 不同預(yù)緊下內(nèi)圈中心的徑向平面運(yùn)動軌跡Fig.8Theradialtrajectoryofinnerscenterunderdifferentpreloadconditions

(a)固定徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊力Fzi=200～1600N (b)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊位移Z1=0～0.1mm

(c)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊力Fzi=200～1600N (d)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=1000N,預(yù)緊位移Z1=0～0.1mm圖9 不同預(yù)緊下保持架中心的徑向平面運(yùn)動軌跡Fig.9Theradialtrajectoryofcenterscenterunderdifferentpreloadconditions

3.4變載荷工況下動態(tài)特性

內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為ni=6 000 r/min；變載荷工況條件如下：① 固定徑向力Fyi=0～8 000 N；② 旋轉(zhuǎn)徑向力Fri=0～8 000 N；其中變徑向力以500 N為基礎(chǔ)，以step(…)函數(shù)實(shí)現(xiàn)等比2倍關(guān)系的階梯遞增(見圖10)。

圖10　球軸承徑向力的階梯變化規(guī)律Fig.10　The rules of the radial load conditions of ball bearing

圖11為變載荷對內(nèi)圈和保持架的中心振動位移的影響。圖12為內(nèi)圈中心的徑向平面位移和保持架的三維運(yùn)動軌跡。分析可知，受固定徑向力時(shí)(圖11(a)和圖12(a))，無初始徑向力和較小徑向力時(shí)，內(nèi)圈中心的振動位移相對較大些，穩(wěn)定性相對較差。隨著固定徑向力的增加，內(nèi)圈中心的振動位移先減小后在徑向載荷方向上增加。變旋轉(zhuǎn)徑向力時(shí)，內(nèi)圈中心的運(yùn)動軌跡是圓周運(yùn)動，且隨著徑向力的增加，圓周運(yùn)動的振動位移明顯增加，形成三維圓臺狀(圖11(c))或平面圓環(huán)狀(圖12(c))的運(yùn)動軌跡。徑向力的增加對保持架中心的振動位移幅值影響相對較小(圖11(b)和11(d))，形成近似三維圓柱面的運(yùn)動軌跡。受固定徑向力時(shí)(圖12(b))，保持架中心的空間三維運(yùn)動軌跡為近似圓柱面形態(tài)，軸向竄動較小，保持架的運(yùn)動較為穩(wěn)定。受旋轉(zhuǎn)徑向力時(shí)(圖12(d))，保持架中心的空間三維運(yùn)動軌跡為近似圓柱面形態(tài)，軸向竄動較大，說明存在頻繁的鋼球和保持架的間隙碰摩作用，保持架的運(yùn)動穩(wěn)定相對較差。

(a)內(nèi)圈振動位移,固定徑向力Fyi=0～8000N(b)保持架振動位移,固定徑向力Fyi=0～8000N

(c)內(nèi)圈振動位移,旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=0～8000N(d)保持架振動位移,旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=0～8000N圖11 變載荷對內(nèi)圈和保持架的中心振動位移的影響Fig.11Theruleofvibrationdisplacementsofinnerandcagescenterunderdifferentloads

圖13為變載荷對保持架和鋼球的拖動力的影響。保持架定心表面和外圈引導(dǎo)面之間存在較大的啟動加速階段的沖擊拖動力作用，受旋轉(zhuǎn)徑向力時(shí)的拖動力幅值(圖13(c)中最大值80.6 N)比受固定徑向力時(shí)(圖13(a)中最大值22.4 N)的要大近4倍，而穩(wěn)定后二者相差較小，同時(shí)隨著徑向力的增加，保持架的拖動力緩慢增加。鋼球和套圈滾道的拖動力也存在較大的啟動加速階段的沖擊拖動力作用，穩(wěn)定后受徑向力變化的影響較小，且幅值也相對較小。

(a)內(nèi)圈振動位移,固定徑向力Fyi=0～8000N(b)內(nèi)圈振動位移,固定徑向力Fyi=0～8000N

(c)內(nèi)圈振動位移,旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=0～8000N(d)內(nèi)圈振動位移,旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=0～8000N圖12 內(nèi)圈中心的徑向平面位移和保持架的三維運(yùn)動軌跡Fig.12Theruleofmotiontraceofinnerandcage

(a)固定徑向力Fyi=0～8000N(b)固定徑向力Fyi=0～8000N

(c)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=0～8000N(d)旋轉(zhuǎn)徑向力Fyi=0～8000N圖13 變載荷對保持架和鋼球的拖動力的影響Fig.13Theruleofdragforceofcageandballunderdifferentloads

4　結(jié)　論

變工況條件下考慮間隙碰撞、潤滑摩擦作用和多體動態(tài)接觸關(guān)系的球軸承三維全動力學(xué)模型更為真實(shí)地計(jì)算了軸承的動態(tài)特性和保持架的運(yùn)動穩(wěn)定性，為復(fù)雜工況下旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中滾動軸承動力學(xué)研究和動態(tài)設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。

(1) 內(nèi)外圈同向旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于啟動加速過程中的速度和載荷沖擊作用，球軸承存在較大的動態(tài)接觸力和保持架的拖動力，內(nèi)圈和保持架的振動位移。球軸承穩(wěn)定后自由旋轉(zhuǎn)套圈的振動加速度幅值相對較小，保持架的振動加速度幅值較大，二者的主振頻率均是自由旋轉(zhuǎn)套圈的轉(zhuǎn)速頻率。鋼球和保持架之間存在明顯的間隙碰撞作用，且間隙碰撞力明顯大于潤滑拖動力，穩(wěn)定后呈現(xiàn)周期的變化規(guī)律。

(2) 定壓預(yù)緊比定位預(yù)緊對振動位移的影響更顯著。預(yù)緊量的增加，內(nèi)圈中心的徑向運(yùn)動軌跡為圓臺面的變化規(guī)律，振動位移減小；保持架中心的徑向運(yùn)動軌跡為圓柱面的變化規(guī)律，振動位移僅在內(nèi)圈受固定徑向力作用時(shí)明顯減小。旋轉(zhuǎn)徑向力作用時(shí)保持架的運(yùn)動軌跡是渦動運(yùn)動規(guī)律，預(yù)緊量增加到一定程度會導(dǎo)致保持架的運(yùn)動穩(wěn)定性變差。

(3) 受固定徑向力時(shí)，內(nèi)圈中心的振動位移為窄帶的變化規(guī)律，且在較小徑向力的啟動加速過程中存在較大的波動。隨著旋轉(zhuǎn)徑向力增加，圓周運(yùn)動的振動位移明顯增加，形成三維圓臺狀或平面圓環(huán)狀的運(yùn)動軌跡。保持架中心的運(yùn)動軌跡在固定徑向力下比旋轉(zhuǎn)徑向力下要相對穩(wěn)定些，均呈現(xiàn)出圓柱面的運(yùn)動軌跡。

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Dynamic stability analysis on the cage of ball bearing under varying working environment

YAO Tingqiang, WANG Lihua, LIU Xiaobao, HUANG Yayu

(School of Mechanical and Electric Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China)

The dynamic characteristics of rolling bearings in rotating machinery under varying working environment are complex, to which failures and damages are susceptible. Considering the effects of clearance, impact and lubrication on the multibody dynamic contact, the multibody dynamics characteristics of ball bearings under varying working conditions were discussed. A three-dimensional contact dynamics model was established based on the geometric structural equations of ring races, and the searching algorithm for prediction of dynamic contact force was designed. A three-dimensional dynamic model of balls together with the cage was also established with consideration of the clearance, impact and lubrication and the relative action between the cage and guide ring was assumed to be equivalent to a short sliding bearing. Then the multibody contact dynamics model of angular contact ball bearings was constructed and solved by using generalized-α algorithms under varying working conditions. The three-dimensional motion trajectories, dynamic forces, vibration accelerations and FFT spectrums of ball bearings were achieved. In the starting stage, the forces and vibration displacements are larger because of the initial speed and load impact, when the inner and outer rings are both in rotating condition. In the stationary stage, the key vibration frequencies are the angular frequencies of the freely rotating rings. The displacement of cage’s center is deceasing only when the radial force on the inner ring keeps constant. The three-dimensional motion trajectories of cage’s center are approximately the whirling motion of an cylindrical surface.

contact dynamics; varying working environment; cage; rolling bearing; multibody dynamics

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11462008;11002062)；云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(KKSA20091026)

2015-06-08修改稿收到日期：2015-10-19

姚廷強(qiáng) 男,博士，副教授，1979年生

TB115

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.028