大壩沉降監(jiān)測的時間序列與預(yù)報

□裴　锫（山西水利水電勘測設(shè)計研究院）

大壩沉降監(jiān)測的時間序列與預(yù)報

□裴锫（山西水利水電勘測設(shè)計研究院）

基于平穩(wěn)性時間序列分析理論，對大壩沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列進行模式識別、參數(shù)估計，建立變形監(jiān)測分析與預(yù)報的A RM A模型。結(jié)合實例，運用該模型對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行動態(tài)分析和預(yù)報，將擬合和預(yù)報數(shù)據(jù)同原始數(shù)據(jù)進行比較分析，結(jié)果表明A RM A模型處理動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)是十分可行和有效的，具有重要的應(yīng)用價值。

平穩(wěn)序列；時間序列；變形監(jiān)測；分析和預(yù)報

0　引言

大壩的建設(shè)是利國利民的重大舉措，其安全性顯得尤為重要。隨著時間的推移，由于某些因素的影響大壩有可能發(fā)生沉降、傾斜等變形，而這種變形如果超過合理的限度，將會影響到它的正常使用，甚至對其安全造成威脅。為了避免這種變形可能造成的潛在威脅，需要對它們進行定期監(jiān)測，分析其變形規(guī)律并作出相應(yīng)的預(yù)報。目前，對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理的方法很多，有回歸分析、時間序列分析法、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。時間序列法是一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，利用觀測數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來描述監(jiān)測對象的變化規(guī)律與特征，并預(yù)測其未來的變化。文章采用時間序列方法對某大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理，取得了較好的擬合效果和較高的預(yù)測精度。

1　平穩(wěn)時間序列的模型建立與預(yù)報

1.1監(jiān)測數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理

大量地表監(jiān)測數(shù)據(jù)特征表明，沉降量序列是由沉降量趨勢項和沉降量平穩(wěn)序列兩部分組成。沉降量序列可表示為：

式中，{St}表示沉降量序列，{Ht}表示沉降量趨勢項，{Xt}表示沉降量平穩(wěn)序列。

現(xiàn)對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化處理，運用差分方法消除趨勢項。若設(shè)Ht=at+b，采用一階差分▽St=St-St-1=a+Xt-Xt-1=a+▽Xt，a為常數(shù)，將▽稱為差分算子。當(dāng)趨勢項是時間t的一次函數(shù)時，通過一階差分建立起平穩(wěn)時間序列{▽St}。同樣地，如果趨勢項Ht是時間t的二次函數(shù)時，設(shè)Ht=at2+bt+c,▽2St=▽St-▽St-1=▽2Xt，通過二階差分，就可建立起平穩(wěn)性時間序列{▽2St}。

1.2時間序列原理及模型

對于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列{Xt}，其取值不僅與前p個，取值Xt-1，Xt-2，L,Xt-p有關(guān)，而且還與前q步的各個干擾at-1，at-2，…，at-p有關(guān)，得到一般的ARMA模型：

式中，(i=1，2，L，p)稱為自回歸參數(shù)φi，(i=1，2，，q)稱為滑動平均參數(shù)，ai(i=t-q，，t-2，t-1，t)為白噪聲序列，同時a～N(0，б2)。式(2)稱為自回歸滑動平均模型，記為ARMA(p，q)。當(dāng)=0時，式(2)變成

式(3)稱為p階自回歸模型，記為AR(p)。當(dāng)φi=0時，式(2)變成

式(4)稱為q階滑動平均模型，記為MA(q)。

1.3模型類型與階數(shù)的確定

由于沉降量序列在消除了趨勢項后，就由非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，因而可選用自回歸AR(p)模型。設(shè)X1，X1，L，XN為零均值的時間序列{Xt}的其中一組樣本觀測值，下面以此樣本觀測值為例介紹AR(p)模型一般建模步驟。

樣本自協(xié)方差函數(shù)為：

1.3.3模型參數(shù)的估計

平穩(wěn)時間序列{Xt}可用AR模型表示為：

式中YN=（Xp+1,Xp+2,L,XN）T，ФN=（φ1，φ2，L,φp）T,AN=（zp+1,zp+2, L,zn1）T

根據(jù)最小二乘理論，參數(shù)最小二乘估計為

求得參數(shù)φ1，φ1，L，φp后，就可以根據(jù)(3)式對樣本監(jiān)測數(shù)據(jù)進行預(yù)報。

2　實例計算與分析

以福建省某大壩部分監(jiān)測點的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，采用時間序列方法對其中ⅡR1-1、ⅡR1-3兩個點的沉降量進行變形分析與預(yù)測。提取監(jiān)測點的34期數(shù)據(jù)，用前29期數(shù)據(jù)建立時間序列模型，并對后5期進行沉降預(yù)測，同時與原始沉降量進行比較驗證。提?、騌1-1點的數(shù)據(jù)進行分析計算。

首先對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗，發(fā)現(xiàn)ⅡR1-1點呈明顯的下降趨勢，為不平穩(wěn)序列，因此需要進行平穩(wěn)化處理。采用二次差分的方式，得到的數(shù)據(jù)序列消除了逐漸下降的趨勢，可視為寬平穩(wěn)性時間序列，記為{Xt}，該序列滿足平穩(wěn)、零均值的條件。分別計算{Xt}的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，見表1。

表1　自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值表

利用平穩(wěn)序列{Xt}建立自回歸AR(p)模型，根據(jù)偏相關(guān)函數(shù)的截尾特性，確定階數(shù)為3σ。同原理，當(dāng)k>p時逐漸服從正態(tài)分布N(0，1/N)，對每個p>0分別計算+M,p+M，以此確定自回歸模型的階數(shù)為3。根據(jù)式(6)，運用最小二乘方法進行參數(shù)估計，求得φ1=-1.16，φ2=-0.93，φ3=-0.55。得到序列{Xt}的AR(3)模型：

由于序列{Xt}由{St}二次差分得到，由此得到

利用該模型求監(jiān)測點ⅡR1-1的前29期模型擬合值并與實測值進行比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)都比較吻合，相差都在1mm以內(nèi)，擬合精度較高。采用此AR(3)模型對該點后5期(30～34期)進行預(yù)報，預(yù)報殘差結(jié)果見表2。

表2　ⅡR1-1點預(yù)測結(jié)果比較表（單位：mm）

從表2可以看出，ⅡR1-1點的后5期預(yù)報效果比較滿意，精度較高，相差都在0.50mm以內(nèi)，可以比較準(zhǔn)確地反映出監(jiān)測點的沉降變化規(guī)律。為了更客觀地驗證該模型的準(zhǔn)確性，同時對ⅡR1-3點后5期沉降量進行預(yù)測，見表3。

表3?、騌1-3點預(yù)測結(jié)果比較表（單位：mm）

從表3看出，此模型對ⅡR1-3點的預(yù)報精度也比較高。因此可以看出，采用AR(3)模型對ⅡR1-1和ⅡR1-3監(jiān)測點進行擬合分析和短期預(yù)報都取得了比較理想的效果。

3　結(jié)論

對于平穩(wěn)性動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)，采用時間序列方法對其進行分析與預(yù)報是可行而且有效的，并且通過動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)建立的時間序列模型能夠準(zhǔn)確地反映動態(tài)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關(guān)系及監(jiān)測點的變化特征與規(guī)律。將時間序列方法應(yīng)用于大壩沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)序列，具有建模容易、計算方便簡單和預(yù)報快速、準(zhǔn)確的特點，同時采用時間序列模型對監(jiān)測點進行短期預(yù)報效果較好，隨著預(yù)測的步長增加，預(yù)測精度有所降低，因此應(yīng)盡量用時間序列進行短期預(yù)報。

（責(zé)任編輯：左英勇）

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