q-調(diào)和數(shù)的求和公式

韓聰聰

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

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q-調(diào)和數(shù)的求和公式

韓聰聰

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

針對q-調(diào)和數(shù)求和的問題,部分分式分解法是一個很好的方法.使用部分分式分解法得到兩個組合等式.然后使用這些組合等式得到了q-調(diào)和數(shù)的求和公式. 應(yīng)用這些結(jié)果給出了一些常用的關(guān)于q-調(diào)和數(shù)的求和公式.

調(diào)和數(shù); 部分分式分解法; 求和公式

1　預(yù)備知識

調(diào)和數(shù)和q-調(diào)和數(shù)在組合數(shù)學(xué)中應(yīng)用很廣泛,很多復(fù)雜的求和公式都能表示成一些簡單的包含調(diào)和數(shù)和q-調(diào)和數(shù)的公式.許多學(xué)者對調(diào)和數(shù)和q-調(diào)和數(shù)進行了深入研究，初文昌在這方面取得了很大的成就，得到了很多常用的關(guān)于調(diào)和數(shù)的等式及其證明[1-4].本文給出了兩個關(guān)于q-調(diào)和數(shù)的等式，通過代入特殊值的方法得到了一些常用的結(jié)果.通常的q-調(diào)和數(shù)為[5]

相應(yīng)的q-交錯調(diào)和數(shù)為

符號Dx表示通常的導(dǎo)數(shù)算子[6]

2　q-調(diào)和數(shù)的求和

引理1[7]972若p,m是自然數(shù)，x是未知數(shù)，則

引理2[7]976若p,m是自然數(shù)，x是未知數(shù)，則

定理1若n,p,m為正整數(shù)，則

應(yīng)用引理1的結(jié)果,上面式子中的和可以表示為

定理得證.

應(yīng)用上面的定理,當(dāng)m=1,2，p=1,2,3時,能得到

定理2若n,p,m為正整數(shù)，則

應(yīng)用引理2的結(jié)果,上式中的和可以表示為

定理得證.

應(yīng)用上面的定理,當(dāng)m=1,2，p=1,2,3時,得到

[1]Chu W. A binomial coefficient identity associated with Beukers' conjecture on Apery numbers[J]. Electron J Comb.， 2004,11(1):N15.

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[7]XiaoxiaWang,YiQu.Somegeneralizedq-harmonicnumberidentities[J].InteralTransformsandSpecialFunction,2015,26(12):971-984.

The summation formula about q-harmonic number

HAN Congcong

(School of Mathematics Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

For questions about the q-harmonic number, partial fraction decomposition method is a very good method.We can get two combined by using it, then we can obtain some summation formula about q-harmonic number. Application of these results we shows some intresting summation formula about q-harmonic number.

q-harmonic number; partial fraction decomposition method；summation formula

2016-02-28;

2016-05-04

重慶市自然科學(xué)基金(No.CSTC2011JJA00024);重慶市教委自然科學(xué)基金(No.KJ120625)

韓聰聰(1989- ),男,河南鄧州人,研究生,主要從事代數(shù)組合研究.

O157.1

A

1671-9476(2016)05-0033-03

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.008