對量綱法求分形物體轉動慣量的再思考

方　偉 ， 涂　泓 ， 馮　杰

(1. 上海師范大學 物理系，上?！?00234；2. 上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室，上海　200234)

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對量綱法求分形物體轉動慣量的再思考

方偉1，2， 涂泓1，2， 馮杰1

(1. 上海師范大學 物理系，上海200234；2. 上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室，上海200234)

指出數(shù)學上無窮階的分形與物理上可實現(xiàn)的有限階分形物體之間的差別.利用n階分形三角形與n-1階分形三角形的相似性，根據(jù)標度變換和量綱分析法，得到n階分形三角形轉動慣量的遞推公式，進而得到轉動慣量的最終表達式.該結果在n趨向無窮大時與無窮階分形物體的結果一致.

量綱分析；分形；轉動慣量；遞推法

求具有一定大小的規(guī)則物體的轉動慣量是大學物理力學剛體部分的重要內(nèi)容，其關鍵在于如何正確確定物體的線元、面元或體積元，進而利用微積分求得.但在學習微積分知識之前，采用這種方法求解具有一定的困難.文獻[1]利用量綱分析的方法，對諸如細棒、平面體(三角形、矩形、等腰梯形、正多邊形、扇形、圓形等)、長方體等具有一定對稱性且質(zhì)量分布均勻的物體進行標度變換，再結合平行軸定理，進而可以在不用微積分等繁雜運算的情況下求出該物體的轉動慣量.該方法思路簡單巧妙，物理圖像清晰，更重要的是能讓學生學著用物理學家的思考方式來考慮問題[2]，這對于培養(yǎng)學生的物理思維能力具有重要意義.

許佳敏等[5]將上述方法推廣至分形物體，利用分形物體的自相似特性，結合量綱分析、標度變換和平行軸定理分別求出了謝爾賓斯三角形(分形三角形，圖1 (a))、門格海綿(分形立方體，圖1 (b))、謝爾賓斯四面體(分形四面體，圖1 (c))等分形物體的轉動慣量.對于分形正三角形，繞通過其質(zhì)心且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量為mL2/12(L為分形三角形的邊長).對于分形立方體和分形正四面體，繞通過其質(zhì)心的對稱軸的轉動慣量分別為mL2/5和mL2/12(L為分形立方體或分形正四面體的邊長).

圖1

該方法物理動機明確、推廣巧妙、思路清晰、結果簡明.不過深入研究后不難發(fā)現(xiàn)，將此方法直接推廣至無限階分形物體產(chǎn)生了一個難以理解的問題，那就是對于無限階的分形三角形面積為0，對于無限階的分形立方體和分形四面體體積為0，因而它們?nèi)齻€分形物體的質(zhì)量m均為0，此時按照定義轉動慣量也應為0.下面我們以分形正三角形為例來具體說明該問題，然后給出解決方案，并證明在極限情況下，該方法給出的結果和文獻[5]的結論一致.

1　物理分形與數(shù)學分形的區(qū)別

2　遞推法求物理分形物體的轉動慣量

應該如何求解實際的分形物體的轉動慣量呢？我們首先定義n階的物理分形物體：如圖2所示，定義圖2 (b)為1階分形三角形，圖2 (c)、圖2 (d)分別為第2階和第3階分形三角形，圖2 (a)因而可以看成是第0階的分形三角形，n階的分形三角形可以依此類推.

如前所述，物理分形三角形(即n階的分形三角形)其部分與整體并不嚴格相似，如將圖2(d)中的A3B3C3線度放大為原來的兩倍之后，得到的圖形并不與圖2(d)本身重合，但是A3B3C3放大為原來的兩倍后卻與圖2 (c)重合.更進一步說，n階分形三角形的AnBnCn在線度翻倍后均與其上一階(即n-1階)的分形三角形重合，因而第n階的分形三角形可以看成是由三個n-1階的分形三角形在線度縮小一半之后拼出來的，于是就有可能通過上下兩階分形三角形的相似特性(注意：非n階分形三角形的自相似性)，結合量綱分析、標度變換和平行軸定理推導出n階分形三角形的遞推公式，最終求出n階分形三角形繞通過其質(zhì)心且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量.

設圖2 (a)是質(zhì)量為m，邊長為L的正三角形平板，它繞通過其質(zhì)心O且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量為I0.

該圖進行一次分形后得到1階物理分形三角形(圖2 (b))，此1階分形三角形的質(zhì)量m1顯然等于3m/4.設圖2 (b)繞通過其質(zhì)心O且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量為I1.圖2 (b)可以看成三個線度為圖2 (a)一半的三角形A1B1C1繞質(zhì)心軸O的轉動慣量的疊加.三角形A1B1C1繞質(zhì)心軸O的轉動慣量則是A1B1C1繞自身質(zhì)心軸O’的轉動慣量再通過平行軸定理得到.根據(jù)量綱分析、標度變換和平行軸定理有

圖2

(1)

再次分形后得到2階分形三角形(圖2 (c))，此2階分形圖的質(zhì)量m2顯然等于(3/4)2m.設圖2 (c)繞通過其質(zhì)心O且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量為I2.圖2 (c)可以看成三個線度為圖2 (b)一半的1階分形三角形A2B2C2繞質(zhì)心軸O的轉動慣量的疊加.根據(jù)量綱分析、標度變換和平行軸定理有

(2)

同理，再次分形后得到3階分形三角形(圖2 (d))，此3階分形三角形的質(zhì)量m3等于(3/4)3m.設圖2 (d)繞通過其質(zhì)心O且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量為I3.圖2 (d)可以看成三個線度為圖2 (c)一半的2階分形三角形A3B3C3繞質(zhì)心軸O的轉動慣量的疊加.根據(jù)量綱分析、標度變換和平行軸定理有

(3)

由此類推，不難得到第n階物理分形三角形的質(zhì)量mn等于(3/4)nm.該分形三角形繞通過其質(zhì)心O且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量為In，可以看成三個線度為n-1階分形三角形An-1Bn-1Cn-1一半的分形三角形繞質(zhì)心軸O的轉動慣量的疊加.根據(jù)量綱分析、標度變換和平行軸定理有

(4)

為求n階分形三角形轉動慣量最終的表達式，將上式改寫為

(5)

(6)

當n→∞時，In=0，也即本文開篇所說的，對于數(shù)學分形三角形，其質(zhì)量為0，轉動慣量也等于0.

由于式(6)給出的n階分形三角形的質(zhì)量mn是以0階的分形三角形的質(zhì)量m來計算的，即mn=(3/4)nm.若第n階分形三角形的質(zhì)量為m，則最終的轉動慣量應為

(7)

3　小結及教學上的啟示

綜上所述，通過遞推的方法，仍然利用量綱分析、標度變換及平行軸定理，我們推導出了第n階分形三角形繞通過其質(zhì)心O且垂直于分形三角形平面的轉軸的轉動慣量 ，克服了文獻[5]中無窮階分形物體質(zhì)量趨于0的問題.本文的方法可以推廣到求諸如門格海綿、謝爾賓斯四面體等分形物體.

從課堂教學方面來說，文獻[5]推廣量綱分析法求分形物理的轉動慣量是非常好的想法，特別適合于教師在大學物理的力學課堂上嘗試，其一是可以讓學生用物理學家的思維來思考問題，避免繁瑣的數(shù)學積分，培養(yǎng)鍛煉學生的直覺思維和科學素養(yǎng)；其二是通過此問題可以讓一年級的學生接觸分形和分數(shù)維這樣一個奇妙的領域，提高學習物理的興趣.由于分形與混沌緊密相連，而混沌又可在力學課程中講到二體問題、三體問題時有所涉及，因而又會牽涉到一段有趣的物理學發(fā)展史，可以討論蝴蝶效應，討論確定性動力學系統(tǒng)的內(nèi)稟不確定性，如此環(huán)環(huán)相扣，不斷引領學生走向新的科學領域，這也應是優(yōu)秀教師所需完成的教學任務之一.

[1]RobertRabinoff.Momentsofinertiabyscalingarguments:howtoavoidmessyintegrals[J].AmJPhys, 1985, 53(5):501-502.

[2]RobertRabinoff，俞志毅. 用標度變換求轉動慣量: 如何避免繁雜的積分[J]. 大學物理，1987，6 (7) : 31-32.

[3]吳文旺. 用量綱分析法求解轉動慣量[J]. 石家莊鐵道學院學報，1993，6(3)，85-90.

[4]楊忠. 用量綱分析法求平面物體的轉動慣量[J]. 大學物理，1997，16 ( 4) : 45-46.

[5]許佳敏，邱為鋼. 分形物體轉動慣量的計算[J]. 大學物理，2011，30 ( 11) : 53-55.

Revisitonthedimensionanalysistocalculatethemomentofinertiaoffractalbody

FANGWei1,2，TUHong1,2，F(xiàn)ENGJie1

(1.DepartmentofPhysics,ShanghaiNormalUniversity，Shanghai200234,China；2.ShanghaiKeyLabforAstrophysics,Shanghai200234,China)

Thedifferencebetweenidealinfinite-orderfractalinmathematicalsenseandrealfinite-orderfractalinphysicalsenseisdistinguished.Usingscaletransformationanddimensionanalysis,therecurrenceformulaforthemomentofinertiaofn-orderfractaltriangleisobtained,whichleadstothefinalexpressionforthemomentofinertia.Whenntendstoinfinity,theresultofthisexpressionisinaccordancewithinfinite-orderfractalobjects.

dimensionanalysis;fractal;momentofinertia;recurrence

2015-01-23：

2015-12-30

方偉(1981—)，男，安徽桐城人，上海師范大學數(shù)理學院物理系副教授，博士，主要從事宇宙學暗能量方面的理論研究及與大學物理相關的教學、研究工作.

教學討論

O303；O411

A

1000- 0712(2016)08- 0018- 04