兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力的計(jì)算

楊天虎

(酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅省太陽(yáng)能發(fā)電系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 酒泉　735000)

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兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力的計(jì)算

楊天虎

(酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅省太陽(yáng)能發(fā)電系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 酒泉735000)

推導(dǎo)出了兩共軸帶電細(xì)圓環(huán)相互作用力的級(jí)數(shù)解，對(duì)其收斂性、誤差進(jìn)行了定量分析，并根據(jù)級(jí)數(shù)解用MATLAB編程計(jì)算繪制了相互作用力Fz的分布曲線.

共軸帶電圓環(huán)；相互作用力；級(jí)數(shù)解

文獻(xiàn)[1，2]對(duì)均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)分布及兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力給出了求解方法，但由于均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)分布函數(shù)不易直接求解，求解過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，不利于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，本文將對(duì)兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力求解過(guò)程進(jìn)行探討，給出一種更為直觀的級(jí)數(shù)解，容易在計(jì)算機(jī)上編程計(jì)算.

1　兩共軸帶電細(xì)圓環(huán)的相互作用力求解

圖1

取軸線為z軸，半徑為R的圓環(huán)圓心O為原點(diǎn)，由對(duì)稱性可知其電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度必以z軸對(duì)稱，兩共軸均勻帶電圓環(huán)在對(duì)方上產(chǎn)生的電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度Ez處處相等，相互作用力方向與z軸一致，要么相吸，要么相斥.

按照電勢(shì)疊加原理，圓環(huán)R在圓環(huán)r上P(r，0，z)點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為

(1)

令θ=π+2φ，代入式(1)，得

U(r，0，z)=

(僅R=r，z=0，即兩個(gè)大小一樣的圓環(huán)合二為一時(shí)，K2=1，其余0≤K2<1)，則有

(2)

通常稱定積分

(0≤K2sin2φ<1，n≥1)

(3)

(4)

因共軸均勻帶電細(xì)圓環(huán)在對(duì)方上產(chǎn)生的電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度Ez處處相等，相互作用力方向與z軸一致，所以相互作用力為

Fx=Fy=0

因

(5)

2　Fz的收斂性與誤差分析

設(shè)b0，b1，b2，…，bn為級(jí)數(shù)

(6)

的各項(xiàng)系數(shù)，則

因沃利斯(Wallis)公式[3]為

所以

對(duì)于級(jí)數(shù)F′(K)，若一直取到K2n項(xiàng)，則級(jí)數(shù)的余和為

當(dāng)0≤K2<1時(shí)，有

所以，F(xiàn)z有極值.

3　根據(jù)級(jí)數(shù)解用MATLAB編程計(jì)算繪制F′(K)、Fz的分布曲線

根據(jù)式(6)繪制的F′(K)曲線如圖2所示.

圖2

從圖上看出，F(xiàn)′(K)的曲線隨K增大而增大，接近1時(shí)無(wú)限增大，與理論計(jì)算結(jié)果一致，理論上僅R=r，z=0時(shí)，即兩個(gè)同樣大小的圓環(huán)合二為一時(shí)，K2=1，其余0≤K2<1.實(shí)際工程中，K不可能無(wú)限接近1，所以在實(shí)際應(yīng)用中F′(K)有很好的收斂性.

由式(5)可以看出，兩共軸帶電圓環(huán)相互作用力與所帶電量q和q′成正比，由式(5)得

(7)

當(dāng)R=0.01 m，r=0.01 m時(shí)，式(7)的分布如圖3所示.

圖3

當(dāng)R=0.01 m，r=0.02 m、0.03 m、0.04 m、0.05 m時(shí)，式(7)的分布如圖4所示.

圖4

4　結(jié)論

通過(guò)推導(dǎo)分析、編程計(jì)算可以看出，式(5)除R=r，z=0外的條件下具有良好的收斂性，F(xiàn)z的級(jí)數(shù)解表達(dá)式存在通項(xiàng)公式，容易在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)，根據(jù)需要計(jì)算結(jié)果可以達(dá)到任何精度，同時(shí)計(jì)算結(jié)果也得出了當(dāng)兩圓環(huán)大小越相近，F(xiàn)z的最大值越大，兩圓環(huán)大小越相遠(yuǎn)，F(xiàn)z的最大值越小，且極值越小越向右移.

[1]徐燕，陳浩. 兩共軸帶電圓環(huán)的相互作用能和作用力[J]. 大學(xué)物理，2007，26(6):26-27，31.

[2]周海英，陳浩. 均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)的一般分布[J]. 大學(xué)物理，2004，23(9):32-34.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001:226-227.

Calculation of the interaction of the two coaxial charged rings

YANG Tian-hu

(Key Laboratory for Photovoltaic Power Engineering System of Gansu Province，Jiuquan Vocational and Technical College， Jiuquan， Gansu 735000， China)

The series solution of the two coaxial charged rings is derived， whose convergence and terror are quantitatively analyzed. According to the series solution， the distribution curve of the interactionFzis calculated and drawn by the MATLAB programming.

coaxial charged rings; interaction; series solution

2015-05-27；

2016-01-08

甘肅省科技計(jì)劃(1309RTSF043)、甘肅省科技創(chuàng)新平臺(tái)專項(xiàng)(144JTCF256)資助

楊天虎(1970—)，男，酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事基礎(chǔ)物理與理論物理及大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)與研究工作.

O 441

A

1000-0712(2016)08-0029-03