光纖臺燈的包絡(luò)面

邱為鋼

(湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州　313000)

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光纖臺燈的包絡(luò)面

邱為鋼

(湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州313000)

由變分原理推導了重力場中彈性桿的形狀方程. 得到了豎直放置光纖開始彎曲時臨界長度的數(shù)值結(jié)果. 數(shù)值模擬給出了光纖末端形成的包絡(luò)曲面，并討論了它與光纖長度的關(guān)系.

彈性勢能；光纖；包絡(luò)面

晚上當你關(guān)上大部分燈，點亮光纖臺燈時，你會看到如圖1所示的景象.

圖1　光纖臺燈的包絡(luò)面

從側(cè)面看，所有光纖末端亮的點組成一個包絡(luò)面(圖1中的虛線).我們會問，這個曲面有無解析表達式呢？這個曲面與光纖的哪些物理參數(shù)和幾何參數(shù)有關(guān)呢？對于這些問題，假定光纖是一維彈性細桿，質(zhì)量均勻分布，在文獻[1]里可以找到解決問題的彈性桿的形狀方程. 但理解這個方程，需要不少彈性理論的基本知識，大部分師范院校的力學和理論力學課程都沒有深入闡述. 為讓學過變分法的學生知道這個形狀方程的由來，我們采用大家熟悉的能量法來推導[2].

彈性桿有兩部分勢能，一是重力場中的重力勢能，二是彎曲彈性勢能. 單位長度上的彈性勢能與桿的曲率dθ/ds平方成正比，勁度(比例)系數(shù)是k[2]. 這樣，彎曲光纖總勢能是

(2)

其中s1=l/l0. 由解析幾何知識可知

(3)

于是量綱歸一化后的總勢能V′為

(4)

假設(shè)切角θ(s)有變化，θ(s)→θ(s)+η(s)，其中變分η(s)滿足邊界條件η(0)=0. 忽略高階小量，總勢能式(4)有以下變化

(5)

對式(5)再次分部積分，得到

δV′=θ′(s1)η(s1)-θ′(0)η(0)+

(6)

對于任意的η(s)，式(6)為零，于是得到彎曲光纖的形狀方程：

(7)

還得到邊界條件θ′(s1)=0,即自由端曲率為零.

式(7)也與文獻[1]中利用彈性理論得到的公式一致.

實際數(shù)值計算中， 以光纖下端固定點為原點，起始條件是

θ(0)=θ0,θ′(0)=α

(8)

給定光纖長度s1，由起始條件式(8)，數(shù)值求解式(3)和式(7)，再由邊界條件θ′(s1)=0反過來確定式(8)中的參數(shù)θ0、α，就能確定光纖的形狀.

當勁度系數(shù)k固定時，光纖豎直正放，即θ0=0，長度至少達到多長(臨界長度lc)時，光纖才開始彎曲. 先定性分析，長度大而不彎曲，重力勢能大，彈性勢能為零；長度大而彎曲，重力勢能減小，但彈性勢能增大；所以光纖有一個臨界長度，超過這個臨界長度，豎直光纖開始彎曲，這也符合生活實踐.文獻[3]以圓木為例，半定量分析得到lc∝l0=(Yr2/ρg)1/3，其中Yr2相當于本文中的勁度系數(shù)k，但沒有給出具體的比例系數(shù)值[注:文獻[2] 85頁倒數(shù)第6行中的(2.28) 式應為(2.29)式]. 當llc時，取θ0=0，定義一個函數(shù)為F(α)=θ′(s1，α)，即曲率在光纖端點的值. 這個函數(shù)沒有解析式，只能通過數(shù)值求解微分方程組(3)和式(7)得到. 我們對比一下s1=3.0和s1=2.5時曲率端點值F(α)的圖像，如圖2(a)和圖2(b)所示.圖2中橫坐標α和縱坐標F都是量綱歸一化的數(shù)量，沒有物理單位.

(a) s1=3.0

(b) s1=2.5圖2　曲率端點值F(α)與初始曲率α的關(guān)系圖

由圖2看出，當s1=3.0，曲率初始值約為α=3.0；當s1=2.5，曲率初始值約為α=2.4. 當然，精確解可以通過數(shù)值求解F(α)=0. 它還有一個趨勢，光線長度s1越小，曲率初始值α越小. 當光纖長度趨向于臨界值時，曲率初始值α趨向于零. 數(shù)值計算得到的曲率初始值α與光纖長度s1的關(guān)系如圖3所示 .圖3中橫坐標s1和縱坐標α都是量綱歸一化的數(shù)量，沒有物理單位.

圖3　曲率初始值α與光纖長度s1關(guān)系圖

精確數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，臨界長度的定量結(jié)果是lc=1.9944l0.

當光纖斜放時，即θ0取不同的值，光線的末端組成一個包絡(luò)面. 讓我們對比一下光纖長度大于和小于臨界長度時包絡(luò)面的形狀. 光纖長度分別取s1=2.5和s1=1.5，最大傾斜角為θmax=0.9. 數(shù)值模擬如圖4所示.

(a) s1=2.5

(b) s1=1.5圖4　光纖末端的包絡(luò)面?zhèn)纫晥D

由圖4可以看出，當光纖的長度大于臨界值時，重力因素大于彈性因素，光纖在重力作用下大幅下彎，包絡(luò)面分為兩支；當光纖的長度小于臨界值時，重力因素小于彈性因素，光纖在重力作用下小幅下彎，包絡(luò)面為一個整體曲面.

把圖4(b)和圖1對比，可以看出實際包絡(luò)面和理論包絡(luò)面相似，這說明光纖的彈性桿理論模型合理，也說明圖1中光纖長度小于臨界值. 本文可以作為CUPT的候選題，有興趣的學生可以實際測量光纖的彈性系數(shù)、長度、光纖臺燈的包絡(luò)面，與本文的理論預言作對照.

[1]朗道，栗弗席茲. 彈性理論 [M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2011：80-82.

[2]劉建林. 細長桿彈性線模型的發(fā)展歷史[J] .自然雜志，2013，35(5)：372-377.

[3]趙凱華. 定性與半定量物理學 [M ]. 2版. 北京：高等教育出版社，2008：85-86.

The enveloping surface of optical fiber desk lamb

QIU Wei-gang

(School of Science,Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000, China)

The shape equation of elastic rod in the gravity field is derived from the variation principle. The numerical result of critical length is given for the vertical optical-fibre bend. The enveloping surface of optical fiber is simulated. Dependence on the fiber length is also discussed.

elastic potential; optical fiber; enveloping surface

2015-02-13；

2015-05-27

國家自然科學基金(11475062，11275067)、湖州師范學院中青年教師卓越教學能力培養(yǎng)計劃專題項目(2014ZYJH017)資助

邱為鋼(1975—), 男, 江蘇張家港人，湖州師范學院理學院副教授，博士，主要從事大學物理的教學和研究工作.

O 343.1;O 302

A

1000- 0712(2016)03- 0027- 03