考慮空氣阻力時(shí)空竹的斜拋運(yùn)動(dòng)

郝成紅, 黃耀清, 王　歡,洪　炎, 李梓菁, 段俊生

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，上海　201418)

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考慮空氣阻力時(shí)空竹的斜拋運(yùn)動(dòng)

郝成紅, 黃耀清, 王歡,洪炎, 李梓菁, 段俊生

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，上海201418)

研究馬格努斯效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)拋體運(yùn)動(dòng)，考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向上的阻力作用，得到運(yùn)動(dòng)方程的嚴(yán)格解析解.

馬格努斯效應(yīng)；旋轉(zhuǎn)拋體；軌跡

“當(dāng)一個(gè)圓柱體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)并且有流體在垂直于該軸線方向流過時(shí)，它會(huì)受到一個(gè)垂直于流動(dòng)方向的橫向力，力的方向總是從來流方向與圓柱面上線速度是相反的那一邊指向是相同的那一邊”[1]，這種現(xiàn)象稱為馬格努斯(Magnus)效應(yīng). 文獻(xiàn)[1]討論了空竹的下落運(yùn)動(dòng)，但是沒考慮到空氣阻力的作用. 本文研究空竹在空氣中以某一出射角和初速度旋轉(zhuǎn)拋出，并考慮空氣對拋體運(yùn)動(dòng)的阻力作用，給出了運(yùn)動(dòng)方程的嚴(yán)格解析解.

1　旋轉(zhuǎn)拋體運(yùn)動(dòng)的理論計(jì)算

如圖1所示，建立Oxyz直角坐標(biāo)系，Oxy平面垂直地面，設(shè)旋轉(zhuǎn)拋體的自轉(zhuǎn)軸與Oz軸平行.

圖1

設(shè)ω是拋體旋轉(zhuǎn)的角速度，方向指向Oz軸正向，為簡化計(jì)算，將其設(shè)為常矢量. v是拋體質(zhì)心速度.μ是與流體性質(zhì)及物體大小、幾何形狀相關(guān)的常量.

旋轉(zhuǎn)拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到3個(gè)力的作用,即由馬格努斯效應(yīng)所產(chǎn)生的垂直于旋轉(zhuǎn)軸的橫向力F、空氣阻力F阻和重力FG作用.

根據(jù)馬格努斯效應(yīng)，橫向力F表示為

F=μ(ω×v)

(1)

F垂直于ω和v所確定的平面.

空氣阻力F阻為[2]

F阻=-kv

(2)

其中k是空氣阻力系數(shù).

重力FG為

FG=mg

(3)

其中m為旋轉(zhuǎn)拋體的質(zhì)量，g為重力加速度.

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，旋轉(zhuǎn)拋體的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

由式(4)中第1式解出

(5)

將式(5)代入式(4)第2式，得到

(6)

式(6)的齊次方程特征根方程為

(7)

方程的特征根是

(8)

(9)

設(shè)t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋體質(zhì)心的初速度為v0，方向與Ox軸的夾角為α.可以解得C1、C2分別為：

(10)

(11)

將式(10)、式(11)代入式(9)得

(12)

把式(12)代入式(4)第2式，得

(13)

為了簡化表達(dá)式，令

(14)

(15)

(16)

(17)

2　討論

給定式(16)、式(17)中各參量(v0、α、μ、ω、m、k)，并取g=10 m/s2.給出圖2—圖9各參量值(見表1).圖2—圖9是經(jīng)過數(shù)值計(jì)算得到的旋轉(zhuǎn)拋體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡.

表1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

1)k=0，ω≠0，即不考慮空氣阻力時(shí)，有

(18)

(19)

即文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.

2) 當(dāng)ω=0，k≠0，即當(dāng)物體不旋轉(zhuǎn)時(shí),有

(20)

(21)

得到文獻(xiàn)[4]的結(jié)果.

3) 當(dāng)ω=0，而k很小或趨近于零時(shí)，求式(20)、式(21)k→0時(shí)的極限，得

x(t)=(v0cosα)t

(22)

(23)

即為不考慮空氣阻力的斜拋運(yùn)動(dòng).

4) 其他參量不變，只改變v0的3種典型運(yùn)動(dòng)模式.

圖2、圖3和圖4所給出的運(yùn)動(dòng)軌跡是固定了初速度v0之外的其他參量，只改變v0的大小得到的3種典型的運(yùn)動(dòng)模式. 其中圖3是圖2中曲線最高點(diǎn)與回轉(zhuǎn)交叉點(diǎn)重合為一個(gè)點(diǎn)的臨界狀態(tài)，圖4則是速度減小，不能完成回旋而直接進(jìn)入下降狀態(tài).

6)A=0和B=0的兩種情況.

旋轉(zhuǎn)拋體的運(yùn)動(dòng)必須考慮到馬格努斯效應(yīng)的影響. 主要的因素是拋體旋轉(zhuǎn)角速度ω和拋體質(zhì)心線速度v，以及空氣的阻力. 本文的理論結(jié)果與旋轉(zhuǎn)拋體實(shí)際的軌跡會(huì)有一定的偏差, 其原因之一就是沒有考慮到角速度隨時(shí)間變化的情況，而實(shí)際拋體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度一定是時(shí)間t的函數(shù). 如果實(shí)驗(yàn)過程很短，可以認(rèn)為角速度ω的變化很小, 則偏差就會(huì)小一些.

[1]于鳳軍.馬格努斯效應(yīng)與空竹的下落運(yùn)動(dòng)[J].大學(xué)物理，2012，31(9)：19-21.

[2]郝成紅.考慮空氣阻力的拋體射程[J].大學(xué)物理，2008，27(12)：21-22.

[3]盛祥耀，胡金德，陳魁,等.數(shù)學(xué)手冊[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：243.

[4]馬文蔚.物理學(xué)教程：上冊[M]. 北京：高等教育出版社，2002：44.

The projectile motion of diabolo with air friction

HAO Cheng-hong, HUANG Yao-qing, WANG Huan,HONG Yan, LI Zi-jing, DUAN Jun-sheng

(School of Science, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China)

Considering the interaction of friction in motion direction of mass center of projectile body, we have studied the motion of rotating projectile on Magnus effect. There is an exact solution of motion locus to present.

Magnus effect; rotating projectile; locus

2015-07-29；

2015-09-30

上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院高校實(shí)驗(yàn)技術(shù)隊(duì)伍建設(shè)項(xiàng)目(1021NH153004008-2015)、上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院教師發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目(4521ZK140007111)資助

郝成紅(1960—)，男，黑龍江雙城堡人，上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)及研究工作.

黃耀清，E-mail:huangyaoqingsit@126.com

O 313.3

A

1000- 0712(2016)03- 0015- 03