電感頻率特性及在RLC串聯(lián)諧振電路中的應(yīng)用

陳國杰，陳　奎，周有平，李　斌

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，廣東 佛山　528000)

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電感頻率特性及在RLC串聯(lián)諧振電路中的應(yīng)用

陳國杰，陳奎，周有平，李斌

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，廣東 佛山528000)

分析了電感頻率特性對RLC串聯(lián)諧振的影響，介紹了一種快速估測諧振頻率的方法；導(dǎo)出了R和LC諧振曲線半高寬的數(shù)學(xué)式，討論了其適用條件.自制了高Q電感，實驗與理論相符.結(jié)果表明，電感的QL越大、rL越小，則諧振曲線半高寬越小，測量越準(zhǔn)；在負(fù)載R>0.64rL條件下，LC諧振曲線比R諧振曲線窄.

RLC電路；諧振；電感；頻率特性；品質(zhì)因數(shù)

RLC串聯(lián)諧振電路在手機(jī)等無線技術(shù)中廣泛用來對信號進(jìn)行選頻，也是電磁學(xué)的基本內(nèi)容.但是，實驗測得的電阻諧振曲線比理論曲線平坦，品質(zhì)因數(shù)比理論低，諧振頻率與理論存在較大偏差，并且諧振頻率越高，與理論偏差越大[1，2].有文獻(xiàn)提出改測LC諧振曲線[3，4]，但沒有給出適用條件. 深入分析發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生這些系統(tǒng)性偏差的主要原因是電感存在非線性頻率特性以及所用電感的品質(zhì)因數(shù)小.本文介紹電感的頻率特性，分析電感品質(zhì)因數(shù)和損耗電阻對RLC諧振曲線的影響，導(dǎo)出R和LC諧振曲線半高寬的數(shù)學(xué)式，介紹一種快速估測諧振頻率的方法.在E形鐵氧體磁芯上用多股漆包線自制高Q電感，測量諧振曲線，并與理論進(jìn)行比較.

1　電感的頻率特性

電感的主要特性是通直流、阻交流，通低頻、阻高頻.電感按工作頻率可分為高頻電感器、中頻電感器和低頻電感器.鐵心電感多數(shù)為低頻電感，磁芯電感一般為中頻或高頻電感.

實際的電感除了電感量L以外，還存在損耗電阻和分布電容，因此可等效為圖1(a)所示的LC并聯(lián)電路，其中L為理想電感，分布電容CL為電感線圈之間、絕緣層和骨架之間產(chǎn)生的電容.電感損耗電阻rL包括直流損耗電阻rDC和交流損耗電阻rAC，即rL=rDC+rAC.交流損耗電阻rAC包括線圈高頻趨膚損耗和磁芯高頻損耗；電流頻率越高，rAC就越大.用萬用表測得的電阻只是電感的直流電阻rDC，交流損耗電阻rAC需要實驗測量.

圖1　電感等效電路及頻率特性

電感阻抗ZL.隨工作頻率的變化特性如圖1(b)所示，其中虛線是理想電感的阻抗曲線(XL=2πfL). 實際電感由于存在分布電容和損耗電阻，因此其阻抗特性不再是理想電感的直線. 在圖1(a)所示的電感等效電路中，當(dāng)工作頻率f=fL0= 1/(2π(LCL)0.5)時，電感產(chǎn)生并聯(lián)諧振，電感呈阻性，阻抗最大，fL0稱為電感的諧振頻率；當(dāng)ffL0時，電感分布電容分流較大，電感呈容性，阻抗隨頻率的增加而變小. 因此，電感的工作頻率要遠(yuǎn)小于其諧振頻率fL0.

電感的品質(zhì)因數(shù)定義為電感儲存的能量與消耗的能量之比，用QL表示，QL=ωL/rL.磁芯損耗越小，導(dǎo)線直徑越大或?qū)Ь€股數(shù)越多，則rL就越小，QL就越大.由于磁芯的磁導(dǎo)率和損耗電阻隨頻率變化，故QL也隨頻率變化而變化.

2　電感QL對RLC串聯(lián)電路諧振曲線的影響

在中低頻時(1 MHz以下)，電感的分布電容可以忽略，故電感等效為理想電感L與損耗電阻rL的串聯(lián)，LRC串聯(lián)電路可等效為圖2所示，其中上方虛框為電感中低頻時等效電路，Ui為RLC電路的輸入電壓，C為電路電容，R為負(fù)載電阻，左邊虛框為信號源.

圖2　LRC串聯(lián)等效電路

設(shè)正弦信號的角頻率為ω，則RLC串聯(lián)電路的電流為

(1)

當(dāng)ωL=1/ωC時，電流最大，產(chǎn)生串聯(lián)諧振.諧振頻率為

(2)

諧振電流為

(3)

由式(1)、式(3)，得歸一化諧振電流為

(4)

式(4)就是RLC串聯(lián)電路負(fù)載R諧振曲線的表達(dá)式.

由于電感器存在損耗電阻rL，故RLC電路的品質(zhì)因數(shù)修正為

(5)

其中Q理=ω0L/R(rL=0).式(5)表明，電感的QL越大、rL越小，則RLC電路Q理就越大，諧振曲線就越平坦.同時看到，RLC電路Q比理論Q理小，因此實驗測得的諧振曲線比理論曲線平坦；并且諧振頻率越高，rL就越大，諧振曲線就越平坦，測得的諧振頻率與理論值偏差就越大.諧振曲線的平坦度(寬窄)一般用諧振曲線的半高寬來定量描述.

由于磁材料的磁化曲線為非線性，rL一般不是常數(shù)，且隨頻率的增大而增大，故rL不等于萬用表測得的電阻值；通常通過諧振時測量電感電壓和負(fù)載電阻電壓來求得，即

(6)

2.1R諧振曲線及半高寬

由式(4)繪得負(fù)載R諧振曲線如圖3曲線UR所示，其中UR最大時對應(yīng)的頻率為諧振頻率f0.諧振曲線UR開口朝下，其半高寬定義為UR/UR0=0.7兩點(diǎn)間的頻率間隔[5]，設(shè)為Δf0.7.由式(4) 得

(7)

圖3　R和LC的諧振曲線

由式(7)可知，L/(R+rL)越大，Δf0.7越小，諧振曲線就越尖銳，諧振頻率越容易測準(zhǔn).但是，為了保證UR測量靈敏度，R不能太小，故在R一定時，只有通過增大L或減小rL， 即采用高QL(ωL/rL)電感來減少Δf0.7.然而，由式(5)可知，在增大L的同時要適當(dāng)減小C，以保持RLC電路較低的諧振頻率f0和較高的Q值.

2.2LC諧振曲線及半高寬

電感QL的提高有一定限度，高頻電感QL一般在80左右.如果QL較低，可通過改測LC諧振曲線來提高測量準(zhǔn)確度.在圖1中，L與C串聯(lián)的總端電壓為

(8)

諧振時ωL=1/ωC，由式(8)得到L與C串聯(lián)的總端電壓為最小值，即

(9)

由式(8)、(9)得歸一化的LC諧振電壓表達(dá)式為

(10)

由式(10)繪得的LC諧振曲線如圖3 曲線ULC所示.在諧振頻率f0附近，式(10)可變?yōu)?/p>

(11)

由圖3可見，LC諧振曲線開口向上，其半高寬是ULC比ULC0高30%的兩點(diǎn)之間的頻率間隔，設(shè)為Δf1.3.令ULC/ULCO=1.3，由式(11)得

(12)

為了比較，令Δf1.3=Δf0.7，得R= 0.64rL.由此知，如果R<0.64rL，則Δf1.3>Δf0.7；如果R>0.64rL，則Δf1.3<Δf0.7.在通常情況下，為使UR不致太小，實驗選取的負(fù)載電阻R>0.64rL.例如，設(shè)rL=10Ω，取R= 10Ω，則由式(12)得Δf1.3= 0.73Δf0.7，表明LC諧振曲線的半高寬比負(fù)載R的諧振曲線窄、尖銳.因此，在R>0.64rL條件下，通過測量LC諧振曲線來確定諧振點(diǎn)的準(zhǔn)確度比通過測量R諧振曲線的高.

由式(7)和式(12)知，要較準(zhǔn)確測量諧振頻率，不管是測諧振曲線UR，還是測諧振曲線ULC，盡量采用L大、rL小的高QL電感；同時采用金屬膜電容或聚脂膜類電容，以提高諧振穩(wěn)定性.

2.3諧振頻率的快速粗測

在測量諧振曲線時，要逐點(diǎn)改變信號頻率，同時要逐點(diǎn)調(diào)節(jié)信號源的幅度旋鈕，以保證RLC串聯(lián)電路的輸入電壓Ui不變[1-4]，這樣既繁瑣又費(fèi)時.其實，可用下列方法不需逐點(diǎn)調(diào)節(jié)信號源的幅度旋鈕先對諧振頻率進(jìn)行粗測，然后再進(jìn)行細(xì)測.

如圖2所示，設(shè)信號發(fā)生器的電勢和內(nèi)阻分別為US和rS，則RLC電路的輸入電壓Ui為

Ui=US-IrS

(13)

由式(13)可知，當(dāng)US、rS不變時，若I變化，則Ui就變化.在粗測諧振頻率時，保持信號源幅度旋鈕不變，即電勢US不變，從小到大調(diào)節(jié)信號頻率f，當(dāng)f朝接近于諧振頻率f0方向增大時，則由圖2知電流I變大，由式(13)知端電壓Ui變??；如果f朝遠(yuǎn)離于f0方向增大，則I變小，Ui變大，因此測得Ui最小值對應(yīng)的信號頻率就是諧振頻率f0.然后，在f0附近調(diào)小頻率步長，在保證Ui不變時對諧振曲線進(jìn)行細(xì)測，這樣簡單快捷.

3　實驗結(jié)果與分析

在“E”形鐵氧體磁芯上用多股漆包線自制一個高Q功率型電感，工作頻率60 kHZ，額定電流2 A，用電橋測出其電感量L=10.69 mH，用萬用表測出其直流電阻rDC= 0.7 Ω，諧振頻率9.6 MHz. 在下面實驗中，信號源采用TFG1005 DDS型函數(shù)信號發(fā)生器，頻率值由信號源直接讀出，電壓值由DF2172A交流毫伏表測量.

3.1諧振頻率的快速粗測

信號發(fā)生器輸出正弦信號，不接負(fù)載時測得信號發(fā)生器輸出電壓為0.20 V，即US=0.20 V.接上RLC電路，L=10.69 mH，C=0.106 μF，R= 9.5 Ω，從4 kHz開始逐步增大信號頻率，保持信號發(fā)生器的幅度旋鈕不變，即電勢US=0.20 V不變，測量數(shù)據(jù)如表1所示.

表1　諧振頻率快速估測實驗數(shù)據(jù)

由表1看出，當(dāng)f增大時，Ui先變小、后變大，當(dāng)f= 4.7 kHz～4.9 kHz時，Ui達(dá)到最小值區(qū)域，表明諧振頻率在4.8 kHz附近.這是因為在諧振頻率處，RLC電路電流I達(dá)到最大值，從而使信號發(fā)生器內(nèi)阻產(chǎn)生的壓降達(dá)到最大值，故Ui為最小值.這種粗測諧振頻率方法不需要逐點(diǎn)調(diào)節(jié)信號幅度旋鈕，因此簡單快捷.

3.2諧振曲線測量與分析

接上RLC電路，L=10.69 mH，R=9.5 Ω.首先取C=0.01 μF，從14 kHz開始測量，保持Ui=0.25 V，分別測量UR和ULC，測得的諧振曲線如圖4所示，其中實線為理論曲線，符號是實驗點(diǎn).

圖4　C= 0.01 μF時測得R和LC的諧振曲線

由圖4看出，負(fù)載R諧振曲線UR和LC諧振曲線ULC分別與其理論曲線吻合良好.從曲線UR和ULC測得，諧振頻率f0=15.4 kHz.諧振時，UR0≈0.11 V，ULC0≈ 0.15 V，UR+ULC=Ui，說明電路呈阻性.曲線UR半高寬Δf0.7≈0.35 kHz，與式(7)計算值相符；測得曲線ULC半高寬Δf1.3≈0.25 kHz比曲線UR半高寬Δf0.7窄30%，與式(12)計算值相符.根據(jù)式(6)，算得電感在15.4 kHz的損耗電阻rL≈12.9 Ω. 電感QL=ω0L/rL=79.5，為高Q電感. 由式(5)算得，RLC電路Q=44.6.

由圖4看到，曲線ULC比曲線UR窄.諧振時，UR0

如果要使諧振曲線更窄，可在L和R不變時增大C，以減少諧振頻率，從而降低電感的損耗電阻.為了比較，取C= 0.1 μF(實測為0.106 μF)，其他元件參數(shù)不變.從4 kHz開始測量，保持Ui=0.22 V，測得諧振曲線如圖5所示.

圖5　C=0.1 μF時測得R和LC的諧振曲線

由圖5看出，諧振曲線UR和ULC分別與其理論曲線吻合良好.從曲線測得，諧振頻率f0=4.73 kHz.根據(jù)式(6)，電感在4.73 kHz的損耗電阻rL≈ 4.5 Ω.諧振時，UR0≈0.15 V，ULC0≈ 0.07 V，UR+ULC=Ui，說明電路呈阻性.曲線UR半高寬Δf0.7≈0.21 kHz，與式(7)計算值相符；曲線ULC半高寬Δf1.3≈0.06 kHz，比曲線UR半高寬Δf0.7窄71%，與式(12)計算值相符.由于負(fù)載R=2.1rL，故測LC諧振曲線來確定諧振點(diǎn)比測R諧振曲線更準(zhǔn)確. 由式(5)得，RLC電路Q=22.6.

比較圖4與圖5可知，C=0.1 μF的諧振曲線比C=0.01 μF的諧振曲線峰值更高、更窄，因此更容易測準(zhǔn)諧振頻率.這是因為C從0.01 μF增大到0.1 μF后，RLC電路的諧振頻率f0從15.4 kHz降到了4.73 kHz，從而使電感的損耗電阻rL從12.9 Ω降到了4.5 Ω，R諧振曲線的半高寬Δf0.7從0.35 kHz降到0.21 kHz，降低了40%；尤其是LC諧振曲線的半高寬Δf1.3從0.25 kHz降到了0.06 kHz，降低了76%.但是，C從0.01 μF增大到0.1 μF后，RLC電路的Q從44.6減到了22.6，減少了50%.這說明RLC電路的Q越大，諧振曲線并不越窄；諧振曲線的寬窄用半高寬Δf0.7(Δf1.3)才能定量描述.

3　結(jié)論

討論了電感頻率特性及其對RLC串聯(lián)諧振曲線的影響，推導(dǎo)了R和LC諧振曲線半高寬的數(shù)學(xué)式及適用條件，介紹了一種快速估測諧振頻率的方法.實驗表明，電感的工作頻率應(yīng)遠(yuǎn)小于其諧振頻率；快速粗測諧振頻率不需調(diào)節(jié)信號源的幅度旋鈕；電感的QL越大、rL越小，則諧振曲線的半高寬越小，諧振頻率測量越準(zhǔn)；在R>0.64rL條件下，測LC諧振曲線比測R諧振曲線的準(zhǔn)確度更高.

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InductorfrequencycharacteristicanditsapplicationinRLCseriesresonantcircuit

CHENGuo-jie，CHENKui，ZHOUYou-ping，LIBin

(SchoolofScience，F(xiàn)oshanUniversity，F(xiàn)oshan，Guangdong528000，China)

TheinfluenceofinductorfrequencycharacteristiconaRLCseriesresonantcircuitisanalyzed，andamethodofroughlymeasuringtheresonantfrequencyisintroduced.Theequationsoftheresonantcurvehalf-peakbandwidthsfortheloadresistorandLCcomponentarederived，andtheapplyingconditionsoftheequationsarealsodiscussed.Then，aninductorwithhighquantityfactorisfabricated，andtheexperimentalresultsareinagreementwiththetheoreticalanalysis.Theresultsshowthatthehighertheinductor’sQisandthesmallertherLis，thenarrowertheresonantcurvehalf-peakbandwidthisandthemoreaccuracythemeasurementis.Inaddition，theresonantcurveoftheloadresistanceisnarrowerthanthatofLCcomponentwhenRisgreaterthan0.64 rL.

RLCcircuit;resonance;frequencycharacteristic;quantityfactor

2015-08-31；

2015-11-12

“大學(xué)物理實驗”廣東省教學(xué)團(tuán)隊資助

陳國杰(1965—)，男，湖南祁東人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院理學(xué)院教授，博士，主要從事物理電子教學(xué)與研究工作.

O 353.5

A

1000- 0712(2016)06- 0029- 04