求解貝塞爾類方程的推廣試探函數(shù)法

那仁滿都拉

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼　028043)

教學(xué)討論

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求解貝塞爾類方程的推廣試探函數(shù)法

那仁滿都拉

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼028043)

對(duì)本刊2014年第4期刊出的《求解貝塞爾類方程的試探函數(shù)法》一文給出的求解貝塞爾類方程的試探函數(shù)法做了進(jìn)一步推廣，給出了推廣試探函數(shù)法.該方法能夠求解更一般性的貝塞爾類方程.

貝塞爾類方程；推廣試探函數(shù)法

在文獻(xiàn)[1]中，我們給出了求貝塞爾類方程線性獨(dú)立解的一種簡(jiǎn)單、直接的試探函數(shù)方法.該方法借助數(shù)學(xué)軟件MAPLE或MATHEMATICA等，能夠求解多種類型的較復(fù)雜的貝塞爾類方程，如在文獻(xiàn)[1]中給出的虛宗量貝塞爾方程、球貝塞爾方程等等.但我們?cè)诤罄m(xù)的研究中發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[1]中給出的試探函數(shù)法無法求解如下一類更一般性的貝塞爾類方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

此類方程很多，這里只列出了4種，想更多了解可參閱文獻(xiàn)[2,3].方程式(1)—式(4)的共同特點(diǎn)是它們的系數(shù)都是任意未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成.因此，對(duì)這些方程的求解應(yīng)該是更加困難.

本文針對(duì)這類更一般的貝塞爾類方程，推廣試探函數(shù)法的應(yīng)用，將給出一種推廣的試探函數(shù)法.

1　推廣試探函數(shù)法

在文獻(xiàn)[1]給出的試探函數(shù)法中把貝塞爾類方程的試探解設(shè)為

y=f(x)Zν(λxk)

(5)

這里Zν(λxk)是柱函數(shù)，f(x)是任意待定函數(shù)，ν、λ(≠0)及k(≠0)是待定常數(shù).這種試探解對(duì)于像方程式(1)—式(4)這類的系數(shù)為任意未知函數(shù)的貝塞爾類方程很難使用，主要原因是試探解(5)中柱函數(shù)的宗量是自變量x的冪函數(shù)形式.針對(duì)這一不足，本文推廣了試探解的形式，使其假設(shè)為

y=p(x)Zν(q(x))

(6)

式中p(x)和q(x)是任意兩個(gè)待定函數(shù).把試探解(6)代入要求解的方程，利用數(shù)學(xué)軟件MAPLE或MATHEMATICA進(jìn)行計(jì)算和簡(jiǎn)化，并通過具體分析可確定待定函數(shù)p(x)、q(x)和待定常數(shù)ν，進(jìn)而得到所求解方程的線性獨(dú)立解.由于所求解方程式(1)—式(4)的復(fù)雜性，上述計(jì)算過程顯得非常復(fù)雜，但借助MAPLE或MATHEMATICA等性能優(yōu)良的計(jì)算軟件，可以容易完成這些計(jì)算任務(wù).下面通過舉例來展示推廣試探函數(shù)方法.

2　應(yīng)用例子

例1.求貝塞爾類方程式(1)的線性獨(dú)立解.

把方程式(1)的線性獨(dú)立解設(shè)為

y=p(x)Jν(q(x))

(7)

把式(7)代入方程式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，并令貝塞爾函數(shù)Jν(q(x))和Jν+1(q(x))的系數(shù)分別為零，可得

(8)

(9)

求解方程式(9)可得

(10)

上式中q(x)是任意函數(shù)，為了具體確定此任意函數(shù)并使式(10)變得簡(jiǎn)單，可選取q(x)=f(x)，則式(10)簡(jiǎn)化為

p(x)=f(x)μ

(11)

把式(11)代入式(8)，進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算可得

(12)

y=f(x)μJm(f(x))

(13)

例2.求貝塞爾類方程式(2)的線性獨(dú)立解.

把方程式(2)的線性獨(dú)立解設(shè)為

y=p(x)Jν(q(x))

(14)

把式(14)代入方程式(2)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，并令貝塞爾函數(shù)Jν(q(x))和Jν+1(q(x))的系數(shù)分別為零，可得

(15)

(16)

求解方程(16)可得

(17)

把任意函數(shù)q(x)選為q(x)=f(x)，則有

(18)

把式(18)代入式(15)，進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算可得

(19)

由式(19)可得ν=±m(xù).因此，貝塞爾類方程式(2)的線性獨(dú)立解為

(20)

例3.求貝塞爾類方程式(3)的線性獨(dú)立解.

把方程式(3)的線性獨(dú)立解設(shè)為

y=p(x)Jν(q(x))

(21)

把式(21)代入方程式(3)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，并令貝塞爾函數(shù)Jν(q(x))和Jν+1(q(x))的系數(shù)分別為零，可得到兩個(gè)方程.求解第二個(gè)方程(Jν+1(q(x))的系數(shù))可得

(22)

把任意函數(shù)選為q(x)=g(x)，則有

p(x)=f(x)g(x)μ

(23)

把式(23)代入第一個(gè)方程，進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算可得ν=±m(xù).故貝塞爾類方程式(3)的線性獨(dú)立解為

y=f(x)g(x)μJm(g(x))

(24)

例4.求貝塞爾類方程式(4)的線性獨(dú)立解.

把方程式(4)的線性獨(dú)立解設(shè)為

y=p(x)Jν(q(x))

(25)

把式(25)代入方程式(4)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，并令貝塞爾函數(shù)Jν(q(x))和Jν+1(q(x))的系數(shù)分別為零，可得到兩個(gè)方程.求解第二個(gè)方程可得

(26)

把任意函數(shù)選為q(x)=g(x)，則有

(27)

把式(27)代入第一個(gè)方程，進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算可得ν=±m(xù).故貝塞爾類方程式(4)的線性獨(dú)立解為

(28)

總之，本文對(duì)前文給出的求解貝賽爾類方程的試探函數(shù)法做了進(jìn)一步推廣，給出了推廣試探函數(shù)法.推廣的試探函數(shù)法能夠求解系數(shù)為任意未知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的更一般性的貝賽爾類方程.本方法的推出，對(duì)貝賽爾類復(fù)雜方程的求解與研究將起積極的促進(jìn)作用.

[1]那仁滿都拉.求解貝塞爾類方程的試探函數(shù)法[J].大學(xué)物理，2012,31(4):23-24.

[2]吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:北京大學(xué)出版社,1999:449-452.

[3]E.卡姆克.常微分方程手冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社,1977:515-517.

The extended trial function method for solving Bessel-like equations

Naranmandula

(College of Physics and Electronics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao,Inner Mongolia 028043,China)

Further extension of the trial function method proposed by earlier paper for solving linear independence solution of Bessel-like equations is presented and an extended trial function method is given. The extended trial function method can be used to solve more general type of Bessel-like equations.

Bessel-like equation; extended trial function method

那仁滿都拉(1963—),男，內(nèi)蒙古通遼人,內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院教授,博士,從事非線性物理與計(jì)算物理的教學(xué)與研究工作.

教學(xué)討論

O 441.1

A

1000- 0712(2016)06- 0008- 03