內(nèi)邊界固定情況下環(huán)形薄板二維駐波的研究

方奕忠,沈　韓，王　鋼，崔新圖，廖德駒，馮饒慧

(中山大學(xué) 物理學(xué)院,廣東 廣州　510275)

物理實驗

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內(nèi)邊界固定情況下環(huán)形薄板二維駐波的研究

方奕忠,沈韓，王鋼，崔新圖，廖德駒，馮饒慧

(中山大學(xué) 物理學(xué)院,廣東 廣州510275)

通過極坐標(biāo)下對豎向(垂直板面方向)的小振動方程分離變量,解出環(huán)形薄板的小振動方程在內(nèi)邊界固定外邊界自由條件下解析解的簡正模式,并在理論上和實驗上對其二維駐波波節(jié)圖形(克拉尼圖形)進行了研究.實驗上觀察到僅有輻射狀波節(jié)線(不包含內(nèi)邊界)或輻射狀波節(jié)線與圓形波節(jié)線同時存在兩種簡正模式,進一步計算了此時薄板上的圓形駐波波節(jié)線的半徑和方程的本征值所滿足的規(guī)律以及薄板的彈性模量,并與實際測量值進行比較,發(fā)現(xiàn)理論結(jié)果跟實驗符合得很好.

駐波；m階貝塞爾函數(shù)；克拉尼圖形; 環(huán)形薄板

自從1787年克拉尼首先發(fā)現(xiàn)水平放置的撒有稀薄沙粒的薄金屬板上豎向小振動的二維駐波波節(jié)圖[1](現(xiàn)稱為克拉尼圖形)后,對克拉尼圖形的研究已有重要的進展和應(yīng)用[2-6].當(dāng)初克拉尼采用粗沙粒,發(fā)現(xiàn)沙粒聚集在波節(jié)線上形成規(guī)則且對稱的圖形,稱為正(或標(biāo)準)克拉尼圖形.若所用的沙粒很細很輕,此時細沙會聚集在波腹上而不是在波節(jié)上,稱為逆向克拉尼圖形或克拉尼堆[7],又稱法拉第堆[8].根據(jù)瑞利的記載[9],泊松計算了圓形薄板的低頻端克拉尼圖形的前幾個圓形波節(jié)線的解析解及半徑的理論值,薩伐爾在實驗上進行了一系列的測量,證實了理論跟實驗吻合得很好.上世紀90年代后期,宋力等人從純理論上研究了彈性地基上圓環(huán)形薄板的振動問題[10-12],但他們只是求出了低頻時振動方程的前幾個特征根,而沒有求出嚴格解的簡正模式及共振時各種頻率下的波節(jié)線的半徑,沒有給出薄板的彈性模量和二維駐波圖,也沒有實驗的驗證.到目前為止,對克拉尼圖形的研究除了本文作者之前的工作[13,14]以外,其他研究工作還有圓形薄板[9]、方形薄板[9,15]、體育場形狀薄板[6,16]和小提琴形薄板[16]等模型,且僅限于中低頻段[9,16],即f<6kHz.對薄板的彈性振動還有其他報道[17,18],但對內(nèi)邊界固支下環(huán)形薄板的高低頻段的克拉尼圖形的研究理論上或?qū)嶒炆暇形匆妶蟮?在通常的彈性力學(xué)或理論聲學(xué)教科書和參考書中[19,20],對薄板的小振動通常僅求解部分邊界固支、簡單支承或彈性支承的情形,對全部邊界懸空(即自由邊條件)的情形只指出求解方法而很少求解,這是因為該條件下求解比較困難,需要進行數(shù)值計算.

類似圓形薄板的情形[9,14],本文對環(huán)形薄板的小振動偏微分方程采用極坐標(biāo)系進行分離變量,把四階偏微分方程降為二階,求解內(nèi)邊界固定外邊界自由時環(huán)形薄銅板的解析解,并進行數(shù)值計算,將理論值與實際測量的結(jié)果進行比較.

1　理論模型及求解

下面考慮水平放置的一塊圓環(huán)形黃銅薄板,內(nèi)外半徑分別為a和b,其質(zhì)量分布均勻,厚度為2h(h<

假定薄板的體密度為ρ,彈性模量(即楊氏模量)為Y.本文取環(huán)的圓心為坐標(biāo)原點,設(shè)(x,y)點處t時刻的豎向振動小位移(小撓度)為η(x,y,t)(設(shè)靜止時的位移為零),由理論聲學(xué)[19]或彈性力學(xué)[21,22]方面的知識可知,在小撓度理論下η滿足以下方程:

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

由式(2)知Z可以是方程

(5)

或方程

(6)

的解,通常應(yīng)是兩者的線形組合.對方程式(5)和式(6)分離變量,分別求出其通解.得方程式(2)的解的簡正模式為

Z=H(r)Φ(θ)=[AJm(kr)+BYm(kr)+

CIm(kr)+DKm(kr)](Rcosmθ+Tsinmθ)

(7)

其中

H(r)=AJm(kr)+BYm(kr)+CIm(kr)+DKm(kr)

(8)

Φ(θ)=Rcosmθ+Tsinmθ

(9)

Jm(kr)、Ym(kr)、Im(kr)和Km(kr)分別為m階貝塞爾函數(shù)、m階諾埃曼函數(shù)、第一類m階變形(或虛宗量)貝塞爾函數(shù)和第二類m階變形(或虛宗量)貝塞爾函數(shù).Im(kr)和Km(kr)分別滿足Im(x)=i-mJm(ix),Km(x)=(π/2)im+1[Jm(ix)+iYm(ix)]，m=0,1,2,….式(8)和式(9)中的系數(shù)A、B、C、D、R、T待定.對于確定的簡正頻率f,若邊條件確定,則式(7)中的(B/A)、(C/A)、(D/A)及k和m可完全確定下來.

若將環(huán)形薄板的內(nèi)邊界夾入在支體上(即固支),則滿足邊條件[21]:

(10)

(11)

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

E是薄板的抗撓剛度，E=2hρc2；對于黃銅，泊松比μ=0.324.由式(7)和式(10)，得

AJm(ka)+BYm(ka)+CIm(ka)+DKm(ka)=0

(17)

由式(7)和式(11)，得

(18)

(19)

由式(13)、式(15)和式(16)可得

(20)

把方程式(2)的解式(7)代入式(19),得

α1(b)A+β1(b)B+γ1(b)C+δ1(b)D=0

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

(25)

把方程式(2)的解式(7)代入式(20),得

α2(b)A+β2(b)B+γ2(b)C+δ2(b)D=0

(26)

其中

(27)

(28)

(29)

(30)

注意式(17)、(18)、(21)和式(26)組成關(guān)于A、B、C、D的齊次線形方程組,要使式(8)中的H(r)不恒為零,則要求該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為零，即

(31)

式(31)決定了本征值k.而式(8)中的H(r)可表示為

(32)

顯然式(32)滿足式(8)所需滿足的所有方程及邊條件,且式(32)和式(8)可差一常數(shù)因子,該因子可并入式(9)中的系數(shù)R、T中.

河南省佛寺、道觀甚多，信眾數(shù)量巨大。各地佛寺、道觀擁有特權(quán)，存在著嚴重地租剝削和高利貸剝削現(xiàn)象。如，在歷史上的北朝佛教盛行時，寺院占有大量社會資產(chǎn)，僧尼享受免除租調(diào)和徭役的特權(quán)。一些大寺廟往往侵奪佃民，廣占田宅。此外，佛、道教勢力極大，如元代的佛教寺院經(jīng)濟實力雄厚，許多僧人被封有爵位，社會地位極高，連官府也不得不懼讓。元初，河南洛陽白馬寺住持、女真族僧人龍川被封為“扶宗宏教大師”“司空護法大師”等，并兼管江淮一帶僧務(wù)；少林寺方丈福裕為元世祖欽命，死后封“晉國公”。直至20世紀50年代初，河南省內(nèi)一些大寺院還有相當(dāng)?shù)漠a(chǎn)業(yè)。④

2　理論值與實驗結(jié)果對比

實驗時取a=4.0 cm，b=12 cm.由式(31)，通過數(shù)值計算，可求出k對應(yīng)于m的n個正根kmn，(n=0,1,2,…)，即可解出所有可能的kmn.為了方便，對所有的kmn從小到大排列，即km0

注意kmn的單位為cm-1.可見，對m=16，若令dm=9.288 cm，則有kmndm=πβmn，βmn≈n+(m/2)-(7/2)(當(dāng)n比較大時)，注意這規(guī)律僅近似對m=16成立，對不同的m有不同的dm取值和βmn表達式，可見對環(huán)形薄板，并沒有與圓形薄板相似的普適的克拉尼定律[9,23].表1中的底部幾行分別給出了通過數(shù)值計算得到的不同頻率fmn下dm的近似取值和βmn的近似表達式，并列出相應(yīng)的kmn的計算結(jié)果.

表1　不同頻率fmn下圓形波節(jié)線半徑r的理論計算值

對于給定的m，解出所有可能的kmn后，就可根據(jù)式(3)確定容許的簡諧振動的頻率，即簡正頻率ωmn或fmn.把解出的kmn數(shù)值代回式(32)，再根據(jù)式(7)，即可得方程式(2)的簡諧振動解的特征函數(shù)為

Zmn(r,θ)=(Rmncosmθ+Tmnsinmθ)Hmn(r)

(33)

這里Z、H、R、T已加上與kmn相應(yīng)的下標(biāo)m、n.

令Zmn(r,θ)=0，解出的r(記為rmnl)和θ即為此頻率下的圓形波節(jié)線半徑及徑向波節(jié)線所在的角度,其中下標(biāo)l表征了r的大小.注意此時的克拉尼圖形除了有若干條圓形波節(jié)線外,還可有沿r方向的2m條均勻?qū)ΨQ的輻射狀波節(jié)線.在本文的邊條件下可以只有輻射狀波節(jié)線(不含內(nèi)邊界所在的波節(jié)線)或兩種波節(jié)線同時存在.

圖1　頻率為2.4581 kHz時的實測圖(m=9,n=1)

圖2　頻率為6.4779 kHz時的實測圖(m=17,n=1)

圖3　頻率為10.608 kHz時的實測圖(m=16,n=3)

圖4　m=16,n=3時的數(shù)值模擬圖(單位:m)

3　進一步的分析與結(jié)論

下面討論振源的影響.假定振源是集中在點(r0,θ0)以角頻率ω作簡諧振動的點源，則穩(wěn)態(tài)運動由格林函數(shù)G給出[19]，G是方程

(34)

的解.由文獻[19]中的5.3.12式知，若把G按式(33)的特性函數(shù)Zmn作廣義傅里葉展開，則G可表示為

(35)

總的來說,本文討論了內(nèi)邊界夾入在支體上外邊界懸空時環(huán)形薄銅板的二維振動解及其駐波模型:1) 振源頻率很小(只有幾百赫茲)時,只有徑向均勻分布的波節(jié)線而沒有圓形波節(jié)線(內(nèi)邊界所在的波節(jié)線除外).2)當(dāng)振源頻率達到并超過某一適當(dāng)頻率后,一般情況下,m≠0，兩種類型的波節(jié)線(包括圓形和輻射狀)通常都同時存在.無論哪種情況,只要振源位置及頻率確定(其中頻率可精細調(diào)節(jié)),則波節(jié)線位置和數(shù)目就可以完全確定下來,還可發(fā)現(xiàn)實驗值跟理論值相當(dāng)符合.由于薄板所受重力、內(nèi)摩檫力、板的不均勻性及細沙質(zhì)量等因素沒有考慮,而在有些頻率下某一半徑附近的振幅可能都很小，也會導(dǎo)致細沙的聚集，故部分圓形波節(jié)線的半徑的實驗值跟理論值稍微有些不同.用本文之方法確定式(3)中的常數(shù)c,以及式(34)中的kmn之取值,即可求出容許的共振頻率ωmn(或fmn)，其中最低共振頻率f00最為重要.因為共振現(xiàn)象在很多振動系統(tǒng)中(比如汽車之板件、飛機之機翼、大樓之樓蓋等)比較危險,容易對這些系統(tǒng)造成結(jié)構(gòu)破壞或斷裂.故為了安全起見需在設(shè)計時就避開這些共振頻率.

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Two-dimensional standing waves on annular plate as the inner boundary being cramped

FANG Yi-zhong, SHEN Han, WANG Gang, CUI Xin-tu, LIAO De-ju, FENG Rao-hui

(School of Physics, SunYat-sen University, Guangzhou, Guangdong 510275, China)

The two-dimensional standing wave figures of an annular plate (Chladni patterns) as the inner boundary is clamped, are investigated experimentally and theoretically. It is found that the Chladni patterns can be precisely controlled by adjusting the frequency and position of the vibration source. Two kinds of patterns have been observed, one kind only has radial nodal lines (excepting the inner boundary) and the other has both of radial nodal lines and circular nodal lines. Furthermore, the radii of the circular nodal lines, the change rules of the eigen values, and the elastic modulus of the thin plate have been obtained. The results of experiments are consistent with the analytical solutions.

standing waves;m-order Bessel functions; Chladni figures; annular plate

2015-05-26：

2015-12-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(11175268)、中山大學(xué)實驗教學(xué)研究(改革)基金項目(YJ201109)資助

方奕忠(1969—)，男，廣東開平人，中山大學(xué)物理學(xué)院工程師，博士，主要從事大學(xué)物理實驗教學(xué)與研究工作.

物理實驗

O 347.4+2; O4-33

A

1000- 0712(2016)06- 0015- 06