關(guān)于有理函數(shù)不定積分的問題綜述

袁群勇

【摘 要】有理函數(shù)的不定積分在數(shù)學(xué)分析中具有重要地位，求有理函數(shù)求不定積分的有很多方法和技巧，具有普遍意義的方法都是先對有理函數(shù)進(jìn)行各種因式分解，然后分別對每個分式求不定積分。本文將介紹貝努利算法（Bernoulli Algorithem）一般的教材都是采用這種算法;Hermite約化算法;奧斯特洛格拉得斯基（Horowitz-Ostrogradsky）算法;對于分母無平方的真分式的Rothstein-Trager算法，比較這些算法優(yōu)缺點，最后舉有理函數(shù)常用積分技巧的例子。

【關(guān)鍵詞】有理函數(shù)不定積分;部分分式分解;算法

一、有理函數(shù)不定積分算法主要理論簡介

設(shè)f∈R[X]是被積有理函數(shù)，則f可以寫成f= Q-D，Q，D∈R[X]，gcd（D，Q）=1，若有deg（Q）>deg（D），則可用帶余除法使得f= p+ Q-D，其中P，Q，D∈R[X]，deg（Q）

1.貝努利算法（Bernoulli Algorithem）

對于有理函數(shù)的不定積分，一般的高等數(shù)學(xué)教材中都有對貝努利算法介紹，這里簡單回顧：首先將f= Q-D的分母D在實數(shù)域內(nèi)不可約分解，，于是其中Aik，Bjk，Cjk∈R是待定的系數(shù)，對f的積分可歸結(jié)為以下兩種比較簡單有理真分式不定積分（1），（2）這里不詳述，此種算法有兩個難點，其一是分母的因式分解，目前還沒有普遍的方法，其二是因式分解后的真分式分成簡單部分分式的待定系數(shù)的確定。（確定待定系數(shù)簡易方法見參考文獻(xiàn)3）下面的算法都是對這兩個問題的改進(jìn)。

2.Hermite約化算法

設(shè)f= Q-D，其中，Q，D∈R[X]gcd（D，Q）=1，deg（Q）

，且deg（B）

進(jìn)一步可得：，

被積函數(shù)分母的次數(shù)降低，反復(fù)這個過程直到K=1.這時分母變成無平方的。無平方分解定義和算法的理論見參考文獻(xiàn)1，其主要思想是其基本思想是利求導(dǎo)運(yùn)算將不同次冪的不可約因子的次數(shù)變成某項前的系數(shù)， 利用系數(shù)的不同將這些因子一層一層“剝離”出來。

3.Horowitz-Ostrogradsky算法

由Hermite約化可知f最后可化f=g'+h，h是無平方的，記，所以，其中D2無平方的。在R[x]內(nèi)，所謂奧式方法是指將f= A-D的積分借助代數(shù)方法來分離成一個真分式與另一個真分式的和，使新的被積函數(shù)的分母是無平方的。首先將分母D分解成一次與二次類型的實因式D=（x-a）k…（x2+px+q）m其中k，…，m∈N，則，其中D1=（x-a）k-1…（x2+px+q）m-1，D2=（x-a）…（x2+px+q），A1，A2為比相應(yīng)的D1，D2更低的多項式，一般用待定系數(shù)法求導(dǎo)。下面舉例：

4.Rothstein-Trager算法

在Hermite約化后，考慮f= A-D其中deg（ A）

二、有理函數(shù)積分算法的聯(lián)系和區(qū)別、及特殊結(jié)構(gòu)的有理函數(shù)的積分常用技巧

貝努利算法是其它算法的基礎(chǔ)，其它算法是對它的改進(jìn)。有理函數(shù)分母在實數(shù)內(nèi)不可約分解沒有統(tǒng)一的方法。運(yùn)用代數(shù)知識，引入有統(tǒng)一算法的無平方分解后有了Hermite約化算法;有理函數(shù)分母無平方分解后，用待定系數(shù)分解真分式為部分分式困難。引入Horowitz-Ostrogradsky算法一定程度簡化了運(yùn)算。Rothstein-Trager算法給出了分母為無平方的真分式，在不分解分母情況下的方法。但要用到復(fù)變函數(shù)的知識。Bronstein和Salw為此給出一種有理算法來解決這一問題即Newton-Leibniz-Bernoulli算法。

上述都是先將有理函數(shù)分解簡單易積的部分分式，后對每個分式積分普遍的方法，實際不一定是最簡便的方法，對于一些具有特殊結(jié)構(gòu)的有理函數(shù)的積分則可以靈活采用其他積分方法如加（減）或乘（除）縮放配湊法（見參考文獻(xiàn)4）則更為簡便。

例2：求積分

參考文獻(xiàn)：

[1]謝冬梅.非線性波、符號積分及其應(yīng)用.大連理工大學(xué)碩士論文，2008年6月

[2]趙興華.超越函數(shù)初等積分存在性和機(jī)械化算法.大連理工大學(xué)碩士論文，2009年6月

[3]費(fèi)時龍，林永.有理函數(shù)作部分分式分解的一種巧妙方法.宿州學(xué)院學(xué)報Vol28.No12，2013

[4]范云曄.對一類有理真分式函數(shù)不定積分求解方法的簡略思考.Vol3.No1，2011年1月

[5]吉米多維奇分析習(xí)題集精選精解