關(guān)于幾種數(shù)學(xué)證明方法的研究

杜君花，王立，王洪艷

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關(guān)于幾種數(shù)學(xué)證明方法的研究

杜君花1，王立2，王洪艷3

（1. 齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 浙江省永嘉中學(xué)，浙江 溫州 325100；3. 永嘉縣羅浮中學(xué)，浙江 溫州 325100）

數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)證明中最關(guān)鍵的內(nèi)容之一就是數(shù)學(xué)證明方法的研究與分析．研究了演繹法、歸謬法、構(gòu)造法、反例法、逐步逼近法及計(jì)算性證明法，并對(duì)各種證明方法的概念、分類(lèi)及應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)介紹．

數(shù)學(xué)證明；演繹法；歸謬法

隨著數(shù)學(xué)教育改革與發(fā)展的不斷深入，數(shù)學(xué)證明在教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)中的重要性日趨凸現(xiàn)，人們已經(jīng)越來(lái)越認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)證明方法的多樣性和復(fù)雜性．因此，數(shù)學(xué)證明方法的整理與研究是值得關(guān)注的問(wèn)題．論證能力是學(xué)生數(shù)學(xué)水平高低的基本標(biāo)準(zhǔn)之一，不斷提高論證能力成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本目的之一，研究數(shù)學(xué)證明方法的根本目的就在于此．通過(guò)對(duì)各種數(shù)學(xué)證明方法的研究，將使我們思路開(kāi)闊，在進(jìn)行論證時(shí)，就能合理地選用證明方法．通過(guò)研究已有的證明方法，注意在使用已有的證明方法中作進(jìn)一步改進(jìn)，久而久之，就能創(chuàng)造出新的證明方法，日積月累就會(huì)產(chǎn)生飛躍，從而不斷提高論證能力．Ahmed E E，Stefan G T，Robert J B探討了幾種數(shù)學(xué)證明方法[1]；Jeremy Avigad給出了若干數(shù)學(xué)的方法和證明[2]；Maria A等研究了數(shù)學(xué)證明在教學(xué)與認(rèn)識(shí)論觀(guān)點(diǎn)中的一些特殊問(wèn)題[3]；Philippe B H等運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)Landau-Peierls公式的證明進(jìn)行了研究[4]．?dāng)?shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，數(shù)學(xué)證明的方法是多樣的，而且用法也各不相同[5-9]．本文主要對(duì)幾種常用的數(shù)學(xué)證明方法：演繹法、歸謬法、構(gòu)造法、反例法、逐步逼近法及計(jì)算性證明法進(jìn)行了研究，對(duì)它們的定義、分類(lèi)及應(yīng)用作了具體的分析．

1　演繹法

演繹法又稱(chēng)演繹推理，是指從一般原理推導(dǎo)出個(gè)別結(jié)論的一種思維方法，或者說(shuō)從一般性前提出發(fā)推出其特殊情形的結(jié)論的推理方法．因此，演繹推理是一種必然性的推理．

演繹法是數(shù)學(xué)論證表述的基本方法，演繹法有多種形式，按因果求索關(guān)系可以把演繹法分為分析演繹法、綜合演繹法以及分析綜合演繹法．分析與綜合在演繹推理中具有特定的意義，是數(shù)學(xué)中2種最常用的推理論證方式．值得注意的是，它們與一般思維方法的分析法與綜合法是不同的．

1.1分析演繹法

所謂分析演繹法，又稱(chēng)執(zhí)果索因法，是指由結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的邏輯推理方式．“要使結(jié)論成立，只要條件具備”這一形式為分析演繹的基本形式．分析演繹法的思維過(guò)程可以表現(xiàn)為從命題的結(jié)論或所求問(wèn)題的解答出發(fā)，一步一步地探索使結(jié)論成立或問(wèn)題獲解的充分條件，直到與題設(shè)的已知條件相一致．

分析演繹法的應(yīng)用很多，在證明問(wèn)題時(shí)要靠多觀(guān)察、深思考、會(huì)比較、多實(shí)踐、多探索，逐步逐層地找出決定一結(jié)論成立的主要因素．

1.2綜合演繹法

綜合演繹法，又稱(chēng)執(zhí)因?qū)Чǎ歉鶕?jù)原理推出結(jié)果的邏輯推理方法．“因?yàn)闂l件成立，所以結(jié)論成立”是綜合演繹法的基本形式．綜合演繹法是指從已知條件出發(fā)，尋找其成立的必要條件和有關(guān)因素的內(nèi)在聯(lián)系．由此逐步推演，最后推導(dǎo)出所要的結(jié)論的數(shù)學(xué)證明方法．

例1也可采用綜合演繹法證明．

2　歸謬法

歸謬法是一種間接的證明方法，它是從否定結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行正確的推理，最后等待矛盾的產(chǎn)生，于是對(duì)原來(lái)的命題做了間接證明，解決了直接證法不能或不易解決的問(wèn)題．它先提出了一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)進(jìn)一步的正確推理，最后導(dǎo)致矛盾，從而否定反面假設(shè)，達(dá)到確定原命題的正確性的一種方法．

用歸謬法證明命題可以分為３個(gè)步驟：

Step1反設(shè)：假設(shè)要證命題的結(jié)論不成立；

Step2歸謬：把假設(shè)作為題設(shè)去證明，通過(guò)一系列正確的邏輯推理，最后推得與某些原條件的矛盾性；

Step3結(jié)論：由上述所得矛盾說(shuō)明原命題成立．

3　構(gòu)造法

構(gòu)造法就是根據(jù)已知題設(shè)的特點(diǎn)，把所給條件中的元素作為“元件”，把所給的關(guān)系式作為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式，如構(gòu)造圖形、方程和函數(shù)等，以找到一條新的途徑來(lái)繞過(guò)障礙，從而使要論證的問(wèn)題得以解決的一種方法．構(gòu)造法的核心是構(gòu)造，是將形與數(shù)結(jié)合，將式與方程和函數(shù)建立聯(lián)系的方法，要在數(shù)學(xué)表達(dá)的幾種形式之間找到相互關(guān)系．

4 反例法

反例法是數(shù)學(xué)證明中較常使用的一種證明方法，反例法是一種特殊的數(shù)學(xué)構(gòu)造法．通過(guò)反例法構(gòu)造出來(lái)的數(shù)學(xué)形態(tài)，要與現(xiàn)存的某些數(shù)學(xué)結(jié)論構(gòu)成相反的證明．?dāng)?shù)學(xué)中的反例，是指符合了某個(gè)命題的條件，卻不符合該命題結(jié)論的例子．?dāng)?shù)學(xué)中的反例，是指建立在數(shù)學(xué)已證實(shí)的理論和邏輯推理的基礎(chǔ)上的，而且具有一定否定作用的例子．舉反例作為一種特殊的證明方式，它證明了“某命題不成立”為真．從一般來(lái)看，對(duì)于一個(gè)假命題，它可以構(gòu)造出許多不同的反例，但在實(shí)際應(yīng)用中只構(gòu)造出一個(gè)反例就可以了．舉反例是一種數(shù)學(xué)的構(gòu)造方法，從反例的構(gòu)造方法來(lái)說(shuō)，反例的構(gòu)造方法可分為特例選擇、性質(zhì)分析和類(lèi)比構(gòu)造３種．

例4 人們習(xí)慣性認(rèn)為，在微積分中討論連續(xù)與間斷時(shí)，連續(xù)是經(jīng)常的現(xiàn)象，但間斷就像曲線(xiàn)的間斷點(diǎn)一樣是很少發(fā)生的．?dāng)?shù)學(xué)家狄利克雷分析了這種習(xí)慣思維的特性后，構(gòu)造出了一個(gè)奇特的處處間斷的函數(shù)作為其中一個(gè)反例——狄利克雷函數(shù)．

例5從微積分發(fā)展來(lái)看，人們一直認(rèn)為除個(gè)別點(diǎn)外連續(xù)函數(shù)總是處處可導(dǎo)，但是數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯舉出了一個(gè)著名的反例．，其中：是奇整數(shù)；，并且，雖然函數(shù)在上連續(xù)，但卻處處無(wú)導(dǎo)數(shù)．

5 逐步逼近法

若在解決一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，快速解決起來(lái)比較困難，此時(shí)可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)按順序串聯(lián)起來(lái)而且容易解決的問(wèn)題，這些問(wèn)題一個(gè)比一個(gè)更加逼近原來(lái)的問(wèn)題，然后集中精力解決這些轉(zhuǎn)化得到的問(wèn)題就可以，這些問(wèn)題的解決過(guò)程，就是運(yùn)用逐步逼近法解決問(wèn)題的過(guò)程．逐步逼近法是指在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用的一步步逐漸接近正確答案的方法．逐步逼近法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用非常廣泛，如在圓面積、曲線(xiàn)弧長(zhǎng)和無(wú)理數(shù)等方面的證明都會(huì)用到逐步逼近法．

分析可以先確定根的范圍，在不斷的縮小這個(gè)范圍，或者無(wú)限次縮小這個(gè)范圍，最終獲得根的精確解；也可以經(jīng)過(guò)有限步后，得到具有一定精確度的近似解．這就是所謂的逐步逼近思想．

6　計(jì)算性證明法

計(jì)算性證明法是通過(guò)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行命題論證的方法．一般來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)論證中推理與計(jì)算是都要涉及到的，計(jì)算性證明便是在論證中偏于計(jì)算的一種證明方法，是較常用的一種論證方法，如關(guān)于極限、導(dǎo)數(shù)和積分等的等式論證．越來(lái)越多的將邏輯推演歸結(jié)成各種層次的計(jì)算是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種強(qiáng)烈趨勢(shì)．很多不易解決的文字論證可以通過(guò)計(jì)算而變得簡(jiǎn)單，這其中用矩陣算法來(lái)證明代數(shù)命題和用矢量法來(lái)證明幾何問(wèn)題便是最好的證據(jù)．值得注意的是，計(jì)算性證明法要以正確而且熟練的計(jì)算能力為基礎(chǔ).

[1] Ahmed E E，StefanG T，Robert J B．A Rigorous Mathmatical Proof of the Area Method for Phase Stability[J]．Ind Eng Chem Res，1998（37）：1483-1489

[2] Jeremy Avigad．Mathematical Method and Proof[J]．Synthese，2006，153（1）：105-107

[3] Maria A M，Nicolas B．Introduction to the special issue on didactical and epistemological perspectives on mathematical proof[J]．ZDM，2008，40 （3）：341-344

[4] Philippe B H，Baptiste S．A Rigorous Proof of the Landau-Peierls Formula and much more[J]．Annales Henri Poincare， 2012，13（1）：1-40

[5] 李國(guó)友，扶煒．幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)證明方法[J]．信陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等專(zhuān)科學(xué)報(bào)，2003，13（4）：70-71

[6] 何念如．類(lèi)比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．高等函授學(xué)報(bào)，2006，20（1）：13-15

[7] 李延明．反證法教學(xué)探析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2008，27（8）：62-65

[8] 朱愛(ài)玲．構(gòu)造法在計(jì)算方法教學(xué)中的應(yīng)用[J]．山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（2）：125-126

[9] 齊蓮敏．“反證法”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（1）：20-21

Researching on the some mathematical proof methods

DU Jun-hua1，WANG Li2，WANG Hong-yan3

（1. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；2. Yongjia High School，Wenzhou 325100，China；3. Yongjia Luofu Middle School，Wenzhou 325100，China.）

Mathematical proof is an important content of mathematics teaching and learning．One of the most critical content mathematical proof is to study and analysis mathematical proof methods．Studies the deductive method，reduction to absurdity，construction method，counter-example method，successive approximation method and calculation method of proof．And concepts and classification and application of proven methods are described in detail.

mathematical proof；deductive method；reduction to absurdity

1007-9831（2016）11-0059-04

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.016

2016-09-18

齊齊哈爾大學(xué)教育科學(xué)研究項(xiàng)目（2015109）；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（12511608）

杜君花（1975-），女，黑龍江齊齊哈爾人，副教授，碩士，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究．.E-mail：dujunhua1975@126.com