Hermite-Hadamard不等式推廣的q-模擬

時統(tǒng)業(yè)，　李照順，　夏　琦

(海軍指揮學(xué)院信息系， 南京211800)

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Hermite-Hadamard不等式推廣的q-模擬

時統(tǒng)業(yè)，李照順，夏琦

(海軍指揮學(xué)院信息系， 南京211800)

利用凸函數(shù)和q-積分的定義和性質(zhì)，給出Hermite-Hadamard不等式一個推廣的q-模擬.分別在q-導(dǎo)數(shù)的絕對值是凸函數(shù)、q-導(dǎo)數(shù)有界這兩種情況下，給出由此q-模擬所產(chǎn)生的差式的估計.

q-積分；q-導(dǎo)數(shù)；q-Hermite-Hadamard不等式； 凸函數(shù)

1　引　　言

若f是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對任意a，b∈I，a

(1)

式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式[1].

關(guān)于式(1)的各種推廣和加細(xì)以及各種類型凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式，請參閱文獻(xiàn)[2] .

引理1[3]設(shè)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在開區(qū)間(a，b)?I內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù)(從而處處連續(xù))，且對x，y∈(a，b)，x

近些年，量子積分不等式引起許多學(xué)者的興趣[4-11]，其中文獻(xiàn)[7]給出連續(xù)凸函數(shù)的q-Hermite-Hadamard不等式.

定義1[9]設(shè)f：[a，b]?→是連續(xù)函數(shù)，x∈[a，b]，則稱

為f在x處的q-導(dǎo)數(shù).

定義2[5]設(shè)f∶[a，b]?→是連續(xù)函數(shù)，x∈[a，b]，則f的Riemann型q-積分定義為

若c∈(a，x)，則f的q-積分定義為

引理2[8]設(shè)f，g∶[a，b]?→是連續(xù)函數(shù)，α∈，則對任意x∈[a，b]有

證由q-積分定義可證明，這里略去.

引理4[9]設(shè)α∈{-1}，則有

引理5[7](q-Hermite-Hadamard不等式)設(shè)f∶[a，b]?→是連續(xù)凸函數(shù)，則有

(2)

王良成在文獻(xiàn)[12]中給出式(1)的如下推廣：

定理1[12]設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)凸函數(shù)，p∈(0，1)，ξ=pa+(1-p)b，則

(3)

文[10]在q-導(dǎo)數(shù)的絕對值是凸函數(shù)的情況下，給出由式(2)右端部分所產(chǎn)生的差式的估計.本文將給出式(3)的q模擬，并仿照文[10]的方法，分別在q-導(dǎo)數(shù)的絕對值是凸函數(shù)、q-導(dǎo)數(shù)有界這兩種情況下，給出由式(3)左端部分和右端部分所產(chǎn)生的差式的估計.當(dāng)q→1時，我們得到已有文獻(xiàn)的結(jié)果.

為方便起見，引入下面記號：

為證明本文的主要結(jié)果，需要下面涉及q-積分的恒等式和一些多項式的q-積分.

(4)

證不妨設(shè)

則由引理2和引理3得

(5)

(6)

證類似于引理6證明，這里略去.

引理8設(shè)0

2　主要結(jié)果

≤pf(a)+(1-p)f(b).

(7)

證由凸函數(shù)的定義，對任意x∈[a，b]，有

(8)

(9)

對式(8)和式(9)中的x在[a，b]上求q-積分得

(10)

(11)

由引理1，對任意x∈[a，b]有

(12)

(13)

對式(12)，(13)中的x在[a，b]上積分得

(14)

(15)

其中利用了下面事實：

≤pf(a)+(1-p)f(b).

證在定理2中令q→1即可得證.

|I(a,b;p,q;f)|

(16)

利用引理8，式(16)得證.

注2設(shè)|f′|是[a，b]上的凸函數(shù)，在定理3中令q→1，則由式(16)得

特別地，當(dāng)p=1/2時，得到下面梯形不等式[13]

定理4設(shè)f∶[a，b]→是連續(xù)函數(shù)，和在[a，b]上可積，且，則有

(17)

利用引理8，式(17)的右端部分得證.同理可證式(17)的左端部分.

注3設(shè)m≤f′≤M，在定理4中令q→1，則由式(17)得

特別地，當(dāng)p=1/2時得到下面的梯形不等式[14]

定理5設(shè)f∶[a，b]→是連續(xù)函數(shù)，和是[a，b]上的凸函數(shù)且可積，則有

(18)

證類似于定理3證明，這里略去.

注4設(shè)|f′|是[a，b]上的凸函數(shù)，在定理5中令q→1，則由式(18)得

特別地，當(dāng)p=1/2時，得到下面的中點不等式[15]

定理6設(shè)f∶[a，b]→是連續(xù)函數(shù)，和在[a，b]上可積，且，則有

(19)

證與定理4的證明同理可證，這里略去.

注5設(shè)m≤f′≤M，在定理6中令q→1，則由式(19)得

特別地，當(dāng)p=1/2時，得到下面的中點不等式[16]

[2]Dragomir S S,Pearce C E M.Selected Topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[DB]. http:∥rgmia.vu.edu.au/SSDragomirweb.html.

[3]劉三陽，李廣民.數(shù)學(xué)分析十講[M].北京：科學(xué)出版社，2011:89.

[4]Ernst T.A comprehensive treatment ofq-calculus[M].Basel: Birkhauser,2012.

[6]Gauchman H. Integral inequalities inq-calculus[J].Comput.Math.Appl., 2004(47):281-300.

[8]Tariboon J,Ntouyas S K.Quantum calculus on finite intervals and applications to impulsive difference equations[J]. Advances in Difference Equations,2013:282.

[9]Tariboon J,Ntouyas S K.Quantum integral inequalities on finite intervals[J].J.Inequal.Appl.2014:121.

[10]Sudsutad W,Ntouyas S K,Tariboon J.Quantum integral inequalities for convex functions[J].Journal of Mathematical Inequalities,2015,9(3):781-793.

[11]Noor M A,Noor K I,Awan M U.Some quantum estimates for Hermite-Hadamard inequalities[J].Applied Mathematics and Computation,2015(251):675-679.

[12]王良成.凸函數(shù)的Hadamard不等式的若干推廣[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2002，32(6)：1027-1030.

[13]Dragomir S S, Agarwal R P.Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and trapezoidal formula[J].Appl.Math.Lett., 1998,11(5): 91-95.

[14]Barnett N S, Dragomir S S.Applications of Ostrowski’s version of the Grüss inequality for trapezoid type rules[J]. Tamkang J.Math., 2006, 37(2): 163-173.

[15]Kirmaci U S.Inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to midpoint formula[J].Applied Mathematics and Computation , 2004(147): 137-146.

The q-analogue of a Generalization of Hermite-Hadamard Inequality

SHITong-ye，LIZhao-shun，XiaQi

(Department of Information,PLA Naval Command College，Nanjing 211800, China)

Starting from the definition and basic properties of convex functions andq-integral，theq-analogue of a generation of Hermite-Hadamard inequality is obtained.The estimates of the difference generated by theq-analogue are given when the absolute value ofq-derivative is convex function orq-derivative is bounded.

q-integral;q-derivative;q-Hermite-Hadamard inequality; convex function

2016-01-11;[修改日期]2016-05-20

時統(tǒng)業(yè)(1963-),男，碩士，副教授，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.Email:shtycity@sina.com

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A

1672-1454(2016)03-0030-07