基于馬田系統(tǒng)的2可加Choquet積分多屬性決策方法

常志朋程龍生劉家樹

?

基于馬田系統(tǒng)的2可加Choquet積分多屬性決策方法

常志朋1，2，程龍生1，劉家樹2

（1.南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇南京 210094；2.安徽工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽馬鞍山 243002）

在實(shí)際決策問題中，決策屬性間往往存在一定的交互作用，而傳統(tǒng)決策方法并不能有效處理。針對這種情況，提出了一種基于馬田系統(tǒng)和2可加Choquet積分集成算子的多屬性決策方法。2可加Choquet積分集成算子是在2可加模糊測度和Choquet積分算子的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而得，由單個屬性的Shapley值和兩兩屬性間的交互指標(biāo)構(gòu)成。為了計算Shapley值，首先提出了一種基于馬田系統(tǒng)的屬性集重要程度測度方法，并給出了合理性分析，然后根據(jù)屬性集中的所有屬性在決策過程中應(yīng)表現(xiàn)出積極的合作關(guān)系來優(yōu)化單個屬性的全局重要程度，最后將單個屬性的相對重要程度和全局重要程度進(jìn)行融合，得到單個屬性的Shapley值；對于交互指標(biāo)的計算，根據(jù)無偏好決策方案集在相同約束條件下應(yīng)平等競爭的原理，構(gòu)建了基于多目標(biāo)的交互指標(biāo)優(yōu)化模型。最后基于所得到的Shapley值和交互指標(biāo)對各候選方案的評價信息進(jìn)行集成。實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果表明該方法是可行的，能夠處理屬性間存在交互作用的大規(guī)模決策問題。

馬田系統(tǒng)；2可加Choquet積分；2可加模糊測度

0 引言

在利用基于經(jīng)典可加測度的線性集成算子處理多屬性決策問題時，屬性之間需要彼此獨(dú)立，然而在實(shí)際決策問題中，屬性間往往存在一定的交互作用或關(guān)聯(lián)作用，因此傳統(tǒng)的線性集成算子并不能有效的處理實(shí)際決策問題。Choquet積分[1]是定義在模糊測度基礎(chǔ)上的非線性集成算子[2, 3]，能夠有效處理決策屬性間存在的交互作用。應(yīng)用Choquet積分的前提是確定模糊測度，但是模糊測度確定起來十分復(fù)雜，如果有個屬性，那么就需要確定個參數(shù)。針對這種情況，1974年Sugeno[4]提出了模糊測度，模糊測度雖然將參數(shù)減少到個，但是不能充分描述屬性間的交互作用，即要么將屬性間的交互作用全部描述為積極的合作關(guān)系，要么將屬性間的交互作用全部描述為消極的合作關(guān)系，或者將屬性間的交互作用描述為彼此獨(dú)立[5]。1996年Grabisch[6]提出了可加模糊測度的概念，并在此基礎(chǔ)之上定義了2可加模糊測度。由于在確定2可加模糊測度時，只需要確定單個屬性的Shapley值和兩兩屬性間的交互指標(biāo)，因此不但降低了計算的復(fù)雜性，而且在一定程度上提高了屬性間的表示能力。在處理多屬性決策問題時，為避免計算2可加模糊測度，Grabisch[7]根據(jù)2可加模糊測度和Choquet積分算子推導(dǎo)出了2可加Choquet積分算子，2可加Choquet積分算子可以直接利用單個屬性的Shapley值和兩兩屬性間的交互指標(biāo)對決策方案的屬性值進(jìn)行集成。

對于單個屬性的Shapley值，目前常用的方法主要有：權(quán)重法[8]、菱形成對比較法[9]等。這些方法都能根據(jù)決策者的知識、經(jīng)驗(yàn)和決策偏好，通過兩兩比較確定單個屬性的Shapley值，但是不足之處是這些方法都是從局部考慮單個屬性的Shapley值，而Shapley值是全局重要性指標(biāo)[4]，即在確定Shapley值時不僅要從局部考慮單個屬性的相對重要程度，而且還要從全局考慮包含單個屬性后子集的重要程度變化[4]，為此本文提出了一種基于馬田系統(tǒng)[10-12]（Mahalanobis-Taguchi System, MTS）的單個屬性Shapley值計算方法。對于兩兩屬性間的交互指標(biāo)計算，目前常用的方法主要有菱形成對比較法[9, 13]、決策偏好法[14]等，這些方法在實(shí)際應(yīng)用中都取得了良好的效果，但是這些方法都是主觀計算方法，如菱形成對比較法和轉(zhuǎn)換法需要決策者來判斷兩兩屬性間存在何種交互關(guān)系和交互度的大小，決策偏好法需要決策者來確定部分方案的排序或其他偏好參數(shù)。本文根據(jù)無偏好決策方案集在相同約束條件下應(yīng)平等競爭的原理，構(gòu)建了基于多目標(biāo)的交互指標(biāo)優(yōu)化模型，該方法是一種客觀計算方法。最后通過實(shí)例驗(yàn)證了本文提出的方法是可行的。

1 馬田系統(tǒng)

MTS是由日本著名質(zhì)量工程學(xué)家Taguchi在質(zhì)量工程學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種模式識別技術(shù)[10]。該方法的一個重要功能是可以利用基于馬氏距離的信噪比測度屬性集在分類過程中的重要程度，即屬性集對MTS能夠正確判斷類別的貢獻(xiàn)。特別是當(dāng)屬性間存在相關(guān)性時，由于馬氏距離是一種協(xié)方差距離，因此能夠很好的測度屬性集的重要程度。MTS的分類方法參見文獻(xiàn)[15, 16]。本文詳細(xì)介紹用MTS測度屬性集重要程度的方法，具體步驟如下：

步驟1確定基準(zhǔn)空間；

選取某類樣本，將其在各屬性下的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)矩陣作為測度的基準(zhǔn)空間，本文選取樣本集作為參考樣本，計算測度的基準(zhǔn)空間。

3）計算屬性間的相關(guān)系數(shù)矩陣，

證明：

2 2可加Choquet積分

定義1[4]設(shè)為屬性集，是的冪集，集函數(shù)滿足下面兩個條件：

定義2[6]稱定義在上模糊測度，如果滿足如下條件

因此根據(jù)式（8）和定義2可知，2可加模糊測度可以表示為

當(dāng)利用2可加模糊測度處理多屬性決策問題時，為避免決策結(jié)果不一致，2可加模糊測度應(yīng)滿足如下單調(diào)性和正則性[6]。

基于模糊測度的Choquet積分作為一種非線性集成算子，可以有效處理屬性間具有交互作用或關(guān)聯(lián)作用的多屬性決策問題。Grabisch[20]利用單個屬性的Shapley值和兩屬性間的交互指標(biāo)，定義了2可加Choquet積分。

由于2可加Choquet積分算子只涉及單個屬性的Shapley值和兩個屬性的交互指標(biāo)，特別是Shapley值滿足約束條件，可以在一定程度上降低確定的難度。但是要保證利用式（12）所確定的2可加模糊測度具有單調(diào)性和正則性。因此當(dāng)給定的情況下，要滿足如下約束條件[6]，

3 決策方法

3.1 問題描述

3.2 數(shù)據(jù)規(guī)范化

對于效益型決策屬性

對于成本型決策屬性

3.3 利用MTS計算單個屬性的Shapley值

對于一個多屬性決策問題為了使決策效果達(dá)到最優(yōu)，應(yīng)該使屬性集(，)中各屬性都表現(xiàn)出積極的合作關(guān)系，即在決策過程中屬性集的重要性不小于中所有屬性單獨(dú)使用時的重要性之和，即

2）由于馬氏距離是一種協(xié)方差距離，因此用基于馬氏距離的信噪比測度屬性集在分類過程中的重要程度，能夠很好的考慮中所有屬性間的交互作用；

3.4 交互性指標(biāo)的計算

對于式（20）的求解，應(yīng)使每個決策方案的2可加Choquet積分綜合屬性值達(dá)到最大，但是在相同的約束條件下，不可能使每個決策方案的2可加Choquet積分綜合屬性值達(dá)到最大，需要各方做出適當(dāng)?shù)耐讌f(xié)，得出唯一的最佳妥協(xié)解。最佳妥協(xié)解的求解步驟如下：

2）構(gòu)造單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

（22）

3.5 決策步驟

步驟1利用AHP法計算各決策屬性的相對重要程度

步驟2 利用MTS計算屬性集的重要程度

步驟3 計算單個決策屬性的全局重要程度

步驟4 計算單個決策屬性的Shapley值

步驟7計算各決策方案的2可加Choquet積分綜合屬性值。

4 實(shí)例計算

表1 6個城市的數(shù)據(jù)

步驟1利用AHP法通過兩兩比較確定各決策屬性的相對權(quán)重；

根據(jù)表1確定正負(fù)理想樣本，并利用式（4）對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得

表2 正負(fù)理想樣本的馬氏距離

表3 規(guī)范化后的正負(fù)理想樣本馬氏距離

表4 A的重要程度

表5 規(guī)范化后的A的重要程度

步驟3利用式（18）構(gòu)建優(yōu)化模型，計算單個決策屬性的全局重要程度

，，，，

步驟4利用式（19）計算單個屬性的Shapley值

步驟5利用式（20）計算兩兩屬性的交互指標(biāo)

經(jīng)過優(yōu)化得的交互指標(biāo)值，見表6。

步驟7利用式（12）計算各決策方案的2可加Choque t積分綜合評價值如下：

表6 交互指標(biāo)值

5 結(jié)論

2可加Choquet積分算子是定義在2可加模糊測度和Choquet積分基礎(chǔ)上的集成算子，由于只涉及單個屬性的Shapley值和兩兩屬性間的交互指標(biāo)，因此利用該算子處理屬性間具有交互作用的多屬性決策問題，可以大大降低計算的復(fù)雜性。為計算該算子中的Shapley值，本文利用廣泛應(yīng)用在質(zhì)量工程學(xué)領(lǐng)域中的馬田系統(tǒng)測度屬性集的重要程度，并在此基礎(chǔ)上給出了一種計算Shapley值的方法。對于該算子中的交互指標(biāo)，本文根據(jù)無偏好決策方案集在相同約束條件下應(yīng)平等競爭的原理以及2可加模糊測度的約束條件，構(gòu)建了交互指標(biāo)優(yōu)化模型。實(shí)例驗(yàn)證表明本文提出的方法是可行的。但是需要指出的是，馬氏距離的計算要求相關(guān)系數(shù)矩陣可逆，因此本文提出的方法更適合屬性間存在交互作用的大規(guī)模決策問題。

[1] Choquet G. Theory of capacities [J]. Annales de L'instiut Fourier. 1953, 5: 131-295.

[2] Ishii K, Sugeno M. A model of humanevaluationprocess using fuzzy measure [J]. International Journal of Man-Machine Studies. 1985, 22: 19-38.

[3] Grabisch M. Fuzzy integral in multicriteria decision making [J]. Fuzzy sets and systems. 1995, 69(3): 279-298.

[4] Sugeno M. Theory of fuzzy integral and its applications [D]. Tokyo: Tokyo Institute of Technology, 1974.

[5] Grabisch M. The representation of importance and interaction of features by fuzzy measures [J]. Pattern Recognition. 1996, 17(6): 567-575.

[6] Grabisch M. k-order additive discrete fuzzy measures and their representation [J]. Fuzzy sets and systems. 1997, 92(2): 167-189.

[7] Mayag B, Grabisch M, Labreuche C. A characterization of the 2-additive Choquet integral through cardinal information [J]. Fuzzy Sets and Systems. 2011, 184(1): 84-105.

[8] Takahagi E. On identification methods of λ-fuzzy measures using weights and λ[J]. Japanese Journal of fuzzy sets and systems. 2000, 12(5): 665-676.

[9] Takahagi E. A fuzzy measure identification method by diamond pairwise comparisons and Φs transformation [J]. Fuzzy Optimization and Decision Making. 2008, 7(3): 219-232.

[10] Taguchi G, Jugulum R. The Mahalanobis-Taguchi strategy: A pattern technology system [M]. John Wiley & Sons, 2002.

[11] Taguchi G, Chowdhury S, Wu Y. The Mahalanobis-Taguchi System [M]. New York: McGraw-Hill, 2000.

[12] Rajesh J, Taguchi G, Taguchi S. A review and analysis of the Mahalanobis-Taguchi system [J]. Technometrics. 2003, 45(1): 16-21.

[13] 武建章，張強(qiáng). 基于2-可加模糊測度的多準(zhǔn)則決策方法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐. 2010, 30(7): 1229-1237.

[14] Marichal J L. Determination of weights of interacting criteria from a reference set [J]. European Journal of Operational Research. 2000, 124(3): 641-650.

[15] 鄭稱德，韓之俊. MTS原理及其設(shè)計模型[J]. 管理工程學(xué)報. 2000, 14(03): 43-47.

[16] ?？±?，程龍生. 一種基于改進(jìn)馬田系統(tǒng)的不平衡數(shù)據(jù)分類方法[J]. 管理工程學(xué)報. 2012, 26(2): 85-93.

[17] Grabisch M, Labreuche C, Vansnick J C. On the Extension of Pseudo-Boolean Functions for the Aggregation of Interacting Criteria [J]. European Journal of operational Research. 2003, 148(1): 28-47.

[18] Chateauneuf A, Jaffray J Y. Some Characterizations of Lower Probabilities and Other Monotone Capacities through the use of Mobius Inversion [J]. Mathematical Social Sciences. 1989, 17: 263-283.

[19] 王熙照. 模糊測度和模糊積分及在分類技術(shù)中的應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

[20] Grabisch M, Labreuche C. A decade of application of the Choquet and Sugeno integrals in multi-criteria decision aid[J]. Annals of Operations Research. 2010, 175(1): 247-286.

Multi-Attribute Decision Making Method Based on Mahalanobis-Taguchi System and 2-additive Choquet integral

CHANG Zhi-peng1，2，CHENG Long-sheng1，LIU Jia-shu2

(1. School of Economics &Management, Nanjing University of Science &Technology, Nanjing 219004, China;2. School of Economics, Anhui University of Technology, Maanshan 243002, China)

The interaction between attributes often exists in real decision-making problems. However, the traditional multiple attributive decision making method (MADM) assumes that all attributes are mutually independent. Therefore, traditional MADM cannot effectively deal with the interaction between attributes.

To solve the problem, a new MADM based on 2-additive Choquet integral aggregation operator and Mahalanobis-Taguchi system (MTS) is proposed. In the new MADM, 2-additive Choquet integral aggregation operator is composed of Shapley value and interaction index. The operator is derived from 2-additive fuzzy measure and Choquet integral. The 2-additive fuzzy measure can be more flexible to represent the interaction between attributes. Choquet integral is a nonlinear function and it can be taken as an integrated operator to deal with MADM. Choquet integral integrated operator doesn’t need to meet with the assumption that attributes are mutually independent. Therefore, it can effectively deal with the interaction between attributes. MTS is a pattern recognition technology based on quality engineering and it is proposed by the famous Japanese quality engineer Dr. Taguchi. MTS has three key tools, including Orthogonal Arrays, Mahalanobis Distance and Signal to Noise Ratio. MTS can not only distinguish the category of a given sample, but also measure the importance of attributes that describe the sample. In MTS, the function of measuring the importance of attribute is based on the orthogonal experiment principle.

In the new MADM, to calculate the Shapley value the Mahalanobis-Taguchi system is firstly used to measure the important degree of attribute set and the rationality of the measure method. The global important degree of a single attribute is optimized on the basis of the principle that all attributes should have positive cooperation in the decision-making process. Finally, the Shapley value is calculated with the degree of globalization and the relative degree of a single attribute. The multi-objective optimization model of the interaction index is proposed on the basis of the principle that all decision-making projects should have equal competition in the decision-making process.

In order to verify the feasibility and validity of the new MADM, we select the best economic vitality cities from Beijing, Shanghai, Hefei, Nanchang, Wuhan, and Chongqing. Five evaluation indices are “fixed-asset investment”, “employed population”, “science and technology spending”, “industrial electricity”, and “gross regional domestic product”. Decision-making data is collected from “Chinese city statistics yearbook 2008”. The result shows that the feasibility of the new MADM and the new MADM can effectively handle real decision making problems.

However, it should be pointed out that Mahalanobis distance is calculated with the inverse of correlation coefficient matrix. Thus, the new MADM is suitable for solving large-scale decision-making problems that deal with the interaction between attributes.

Mahalanobis-Taguchi System; 2-additive Choquet integral; 2-additive fuzzy measures

中文編輯：杜 ??；英文編輯：Charlie C. Chen

C934

A

1004-6062(2016)01-0133-07

10.13587/j.cnki.jieem.2016.01.016

2013-02-28

2013-10-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71271114）；教育部人文社會科學(xué)規(guī)劃基金資助項(xiàng)目（10YJA630020）；國家社會科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12CGL013）

常志朋（1978—），男，吉林榆樹人，安徽工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院講師，博士研究生，主要從事多準(zhǔn)則決策，管理綜合評價、優(yōu)化算法等研究。