基于微觀尺度的砂土剪切波速度

黃博，夏唐代，周新民，劉志軍

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基于微觀尺度的砂土剪切波速度

黃博1, 2，夏唐代1, 2，周新民3，劉志軍1, 2

(1. 浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，浙江杭州，310058；2. 浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州，310058；3. 浙江省地震局，浙江杭州，310013)

運(yùn)用宏觀等效與微觀接觸理論相結(jié)合的方法研究砂土剪切波速度。在宏觀上將砂土看作均勻連續(xù)各向同性介質(zhì)，在微觀尺度上假設(shè)砂土為等效球體半徑相等、材料性質(zhì)相同、隨機(jī)堆積的固體顆粒的集合體，結(jié)合顆粒接觸理論，引入顆粒形狀修正系數(shù)，推導(dǎo)出砂土的等效剪切模量和宏觀剪切波速度公式。通過定量計(jì)算進(jìn)行參數(shù)分析。研究結(jié)果表明：孔隙比、砂土顆粒彈性模量、埋深和顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)砂土剪切波速的影響顯著；有效內(nèi)摩擦角、砂土顆粒泊松比、砂土密度和與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)對(duì)剪切波速影響較小。將理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，吻合較好，驗(yàn)證了本方法的可行性與正確性。

顆粒接觸；顆粒形狀修正系數(shù)；等效球體；等效剪切模量

剪切波速是土體的一個(gè)重要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)，砂土介質(zhì)中流固耦合更少，因此，砂土介質(zhì)的剪切波速更能表征砂土的結(jié)構(gòu)性，反映砂土顆粒排列和聯(lián)結(jié)特征[1]。剪切波速也是砂土抗液化性能的重要指標(biāo)，可用剪切波速對(duì)砂土抗震液化進(jìn)行判別[2?4]。目前針對(duì)介質(zhì)中的彈性波傳播問題，主要是從宏觀和微觀2個(gè)尺度進(jìn)行研究。從宏觀尺度研究的主要成果有：Biot飽和多孔介質(zhì)波傳播理論、Kuster的散射波分析法和Carroll-Katsube的力學(xué)響應(yīng)分析等[5]。這些宏觀理論忽略了砂土顆粒間的接觸力學(xué)行為，對(duì)砂土結(jié)構(gòu)性的反映有限。微觀尺度研究主要是從微觀的顆粒入手，基于散粒體微觀顆粒接觸理論，研究顆粒間微觀作用力，通過建立微觀作用與宏觀作用之間的聯(lián)系，最終探求彈性波傳播問題。BRANDT等[6]結(jié)合Hertz顆粒接觸模型提出了最早的土中波的顆粒模型分析法。近年來，隨著多位學(xué)者對(duì)顆粒接觸理論[7?9]以及散粒體細(xì)觀力學(xué)變量與宏觀變量關(guān)系研究[10]的逐步深入，基于微觀尺度的彈性波傳播理論研究越來越受到重視[11]。本文作者在宏觀上將砂土視為均勻連續(xù)各向同性介質(zhì)，根據(jù)微觀理論模型中的顆粒接觸理論，引入顆粒形狀修正系數(shù)，推導(dǎo)砂土等效剪切模量，再代入宏觀等效模型，得到剪切波波速計(jì)算公式，分析有效內(nèi)摩擦角、土密度、孔隙比、砂土顆粒彈性參數(shù)、埋深和顆粒形狀修正系數(shù)等因素對(duì)剪切波速的影響。最后通過工程實(shí)測(cè)算例對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 宏觀剪切波速

砂土介質(zhì)本質(zhì)是非均勻的，一般認(rèn)為是由隨機(jī)堆積的微小砂顆粒以及填充于顆粒間空隙內(nèi)的液相與氣相組成的集合體。但從工程勘探的角度來看，彈性波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于砂顆粒粒徑，同時(shí)也是顆粒空隙尺度的無窮大量級(jí)，因此，在宏觀尺度上，仍然可以采用等效連續(xù)介質(zhì)理論來描述砂土介質(zhì)的波動(dòng)行為。將砂土在宏觀上看作均勻連續(xù)各向同性介質(zhì)，彈性波傳播的波動(dòng)方程為

式中：為彈性波波速；為質(zhì)點(diǎn)位移。

經(jīng)推導(dǎo)，宏觀尺度上，砂土介質(zhì)中剪切波速s為

式中：為砂土介質(zhì)等效剪切模量；為密度。

砂土介質(zhì)是由固、液、氣3相組成，由于流體不抗剪，因此，可以假設(shè)砂土等效剪切模量為干燥狀態(tài)下砂土介質(zhì)中固相砂土顆粒骨架的等效剪切模量，則砂土宏觀剪切波速公式為

式中：s為顆粒骨架的等效剪切模量。

2 微觀接觸模型

砂土顆粒的細(xì)觀組構(gòu)、排列及形狀等因素會(huì)影響砂土顆粒骨架的等效剪切模量。假設(shè)砂土介質(zhì)中由砂顆粒構(gòu)成的固相為等效球體半徑相等、材料性質(zhì)相同、隨機(jī)堆積的固體顆粒的集合體。根據(jù)式(3)，通過推導(dǎo)砂土顆粒骨架的等效剪切模量的表達(dá)式，最終求得砂土剪切波速公式。

周志軍等[12]引入顆粒形狀修正系數(shù)來描述任意形狀顆粒與等效后的球形顆粒半徑之間的差異，并研究了散粒體的微觀組構(gòu)與本構(gòu)關(guān)系，得到散粒體等效剪切模量表達(dá)式為

式中：為等效球形顆粒的半徑；為散粒體孔隙比；D為等效球形顆粒法向接觸剛度；s為等效球形顆粒切向接觸剛度；為形狀修正系數(shù)；m為常數(shù)，與配位數(shù)有關(guān)。

將砂土顆?？醋靼霃较嗤那蝮w，在顆?？倲?shù)不變的情況下，球體總體積等于原砂土顆?？傮w積時(shí)，該球體稱為砂土顆粒的等效球體，該半徑稱為砂土顆粒的等效球形半徑。

在顆粒接觸理論中，平均每個(gè)顆粒與其他顆粒接觸的點(diǎn)數(shù)稱為配位數(shù)。周志軍等[13]研究發(fā)現(xiàn)，配位數(shù)與孔隙比滿足關(guān)系：

式中：m為常數(shù)，一般為11.5~15.6，均值為13.4。

王平等[14]提出顆粒形狀修正系數(shù)的概念。定義為顆粒中心到表面任一接觸點(diǎn)方向上的徑向矢量，其中和為球坐標(biāo)，則該點(diǎn)徑向矢量的相對(duì)分布為

令顆粒表面所有接觸點(diǎn)徑向矢量相對(duì)分布的平均值為，則對(duì)同一顆粒而言，其值不隨單位法向矢量的改變而變，為定值，只與顆粒表面形狀有關(guān)。即為顆粒的形狀修正系數(shù)。對(duì)散粒體全部顆粒的形狀修正系數(shù)取平均，即為該散粒體的形狀修正系數(shù)。

根據(jù)Hertz模型[15]，2個(gè)等徑接觸等球體的法向接觸剛度D與法向壓縮接觸面積可分別表示為：

MINDLIN[16]在Hertz模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)出2個(gè)等徑球體彈性正向接觸時(shí)的切向剛度：

DIGBY[17]為將微觀尺度下等球體法向接觸力與宏觀力建立聯(lián)系，假設(shè)隨機(jī)堆積的等球體外包絡(luò)面外側(cè)均勻分布著圍壓0，則

將式(5)代入式(10)得

將式(7)，(8)，(9)和(11)代入式(4)得到砂土顆粒骨架的等效剪切模量的表達(dá)式：

將式(12)代入式(3)，得到砂土剪切波速表達(dá)式：

劉瑜[18]認(rèn)為可將砂土顆粒所處狀態(tài)下的平均有效應(yīng)力看作圍壓0，則

而靜止條件下水平方向與豎直方向土壓力可表示為：

當(dāng)無附加荷載，即=0時(shí)，

3 參數(shù)分析

通過定量計(jì)算對(duì)式(18)中各參數(shù)對(duì)剪切波速的影響進(jìn)行分析。在分析某一參數(shù)的影響時(shí)，將該參數(shù)視為變量，其他參數(shù)視為常量。參數(shù)為常量時(shí)，結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，取值如表1所示。

表1 計(jì)算參數(shù)取值

Table 1 Values of parameters

圖1所示為在不同有效內(nèi)摩擦角條件下孔隙比對(duì)剪切波速的影響曲線。從圖1可見：剪切波速s隨孔隙比的增大而減小，當(dāng)從0.2增大到1.0時(shí)，s減小了28.86%，說明孔隙比對(duì)剪切波速影響顯著。從圖1還可見：剪切波速s隨有效內(nèi)摩擦角′的增大而減小，但當(dāng)′從25°增大到40°時(shí)，s僅減小了4.98%，說明砂土有效內(nèi)摩擦角對(duì)剪切波速影響很小。

φ′/(°)：1—25；2—30；3—35；4—40。

圖2所示為在不同泊松比條件下顆粒彈性模量對(duì)剪切波速的影響曲線。從圖2可見：剪切波速s隨砂土顆粒彈性模量e的增大而增大，當(dāng)e從5 GPa增大到30 GPa時(shí)，s增大了81.71%，說明砂土顆粒彈性模量對(duì)剪切波速影響顯著。從圖2還可見，剪切波速s基本不隨砂土顆粒泊松比的變化而變化，說明砂土顆粒泊松比對(duì)剪切波速影響很小。

：1—0.20；2—0.25；3—0.30；4—0.35。

圖3所示為在不同的m下埋深對(duì)剪切波速的影響曲線。從圖3可見：剪切波速s隨埋深的增大而增大，當(dāng)從10 m增大到50 m時(shí)，s增大了28.97%，說明埋深對(duì)剪切波速影響顯著。從圖3還可見：剪切波速s隨與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)m的增大而增大，當(dāng)m從11.5增大到15.5時(shí)，s增大了10.46%，說明與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)m對(duì)剪切波速影響較小。

Cm：1—11.5；2—12.5；3—13.5；4—14.5；5—15.5。

圖4所示為在不同土層密度條件下顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)剪切波速的影響曲線。從圖4可見：剪切波速s隨顆粒形狀修正系數(shù)的增大而增大，當(dāng)從0.2增大到1.0時(shí)，s增大了123.61%，說明顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)剪切波速影響顯著。從圖4還可見：剪切波速s隨土層密度的增大而減小，但當(dāng)土層密度從1.75g/cm3增大到2.05 g/cm3時(shí)，s僅減小了5.38%，這說明在常見密度范圍內(nèi)，土層密度對(duì)剪切波速影響很小。

ρ/(g?cm?3)：1—1.75；2—1.85；3—1.95；4—2.05。

通過上述分析可知：孔隙比、砂土顆粒彈性模量、埋深和顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)砂土剪切波速的影響顯著，這也從一方面說明引入顆粒形狀修正系數(shù)的合理性與必要性；有效內(nèi)摩擦角、砂土顆粒泊松比和砂土密度對(duì)剪切波速影響很小；與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)對(duì)剪切波速影響較小。

4 算例

劉瑜[18]給出了浙江省多個(gè)工程勘察中測(cè)得的砂土剪切波速。結(jié)合實(shí)際工程地質(zhì)條件，利用式(18)計(jì)算實(shí)際工程剪切波速，并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較。

由于砂土有效內(nèi)摩擦角、砂土顆粒泊松比、砂土密度以及與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)對(duì)剪切波速影響較小，因此可取浙江省常見砂土數(shù)據(jù)。取有效內(nèi)摩擦角，砂土顆粒泊松比，砂土密度= 2 000 kg/m3，與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)m=13，無附加荷載。由表1可見：實(shí)測(cè)土層深度較大，可認(rèn)為砂土處于密實(shí)狀態(tài)，取孔隙比=0.67。

對(duì)于砂土顆粒彈性模量以及顆粒形狀修正系數(shù)，目前研究成果較少。夏唐代等[19]參考石英、水泥、磨細(xì)礦渣及粉煤灰顆粒的納米壓痕試驗(yàn)結(jié)果，提出可將砂土顆粒彈性模量取為10 GPa。本文取e=10 GPa。參考周志軍等[12, 14, 20]對(duì)類似表面形狀參數(shù)的研究，取顆粒形狀修正系數(shù)=0.8。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值對(duì)比

Table 2 Comparison between calculated results and measured data

由表2可知：土層深度小于60 m時(shí)，本文計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差為10%~20%，土層深度大于60 m時(shí)，本文計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差在土5%以內(nèi)。計(jì)算值與實(shí)測(cè)值變化趨勢(shì)相同，能夠反映剪切波速隨土層深度增加而增加的趨勢(shì)，在土層深度小于60 m時(shí)，計(jì)算值大于實(shí)測(cè)值，偏差不大，在土層深度大于60 m時(shí)，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值偏差很小?？傮w來看，計(jì)算值能夠有效地反映實(shí)測(cè)值，達(dá)到較好的準(zhǔn)確度，從而說明從微觀尺度引入顆粒形狀修正系數(shù)研究砂土剪切波速的合理性。

對(duì)當(dāng)土層深度較淺時(shí)計(jì)算值與實(shí)測(cè)值偏差稍大的情況，本文認(rèn)為與計(jì)算時(shí)顆粒形狀修正系數(shù)的選取有關(guān)。由于沒有相應(yīng)的數(shù)據(jù)，本文是結(jié)合文獻(xiàn)進(jìn)行合理估算，從結(jié)果上看，對(duì)于較深的土層，選取的顆粒形狀修正系數(shù)較準(zhǔn)確。但是對(duì)于埋深較淺處的土層，由于所處深度有效應(yīng)力較小，所經(jīng)歷的地質(zhì)作用較少，顆粒之間相互碰撞磨損較少，因此顆粒之間的粒徑、形狀差異更大，顆粒形狀更加不圓順，較之更深處土層顆粒，顆粒形狀修正系數(shù)應(yīng)更小，再結(jié)合圖4可知：埋深較淺處上述計(jì)算剪切波速偏大，與表2所示情況相符。這反映了顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)砂土剪切波速影響的顯著性，同時(shí)反映了顆粒形狀修正系數(shù)的重要性，說明引入顆粒形狀修正系數(shù)計(jì)算砂土剪切波速的合理性與必要性。

5 結(jié)論

1) 基于微觀顆粒接觸理論，結(jié)合散粒體微觀組構(gòu)與本構(gòu)關(guān)系以及等徑球體接觸等研究，引入顆粒形狀修正系數(shù)，宏觀上將砂土視為連續(xù)介質(zhì)，推導(dǎo)出砂土剪切模量與剪切波速的關(guān)系式，微觀上將砂土假設(shè)為由等效球體半徑相等、材料性質(zhì)相同、隨機(jī)堆積的固體顆粒組成的集合體，推導(dǎo)出了砂土剪切模量和砂土剪切波速計(jì)算公式。

2) 有效內(nèi)摩擦角、砂土顆粒泊松比、砂土密度和與配位數(shù)有關(guān)的常數(shù)對(duì)剪切波速影響較??；孔隙比、砂土顆粒彈性模量、埋深和顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)砂土剪切波速的影響顯著。對(duì)砂土顆粒彈性模量與顆粒形狀修正系數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究較少，目前缺乏更直觀和準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，有必要對(duì)兩者進(jìn)行系統(tǒng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究。

3) 應(yīng)用本文方法對(duì)砂土進(jìn)行剪切波速計(jì)算，并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較。比較結(jié)果顯示計(jì)算值與實(shí)測(cè)值擬合較好，同時(shí)反映了顆粒形狀修正系數(shù)對(duì)砂土剪切波速的顯著影響，說明本文方法的合理性。

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(編輯 趙俊)

Shear wave velocity in sand based on microscopic size

HUANG Bo1, 2, XIA Tangdai1, 2, ZHOU Xinmin3, LIU Zhijun1, 2

(1. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;2. MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;3. Seismological Bureau of Zhejiang Province, Hangzhou 310013, China)

Based on the macroscopic equivalent model and microscopic contact theories, the shear wave velocity was studied. Considered as a kind of homogeneous, continuous and isotropic media macroscopically, the sand was assumed microscopically as an aggregate of randomly packed uniform equivalent spheres with the same material properties. Then, the formulas of the equivalent shear modulus and shear wave velocity in sand were derived by using particle contact theory and by introducing the correcting coefficient of the granule shape. The main influencing factors were analyzed through quantitative calculations. The results indicate that the shear wave velocity is mainly influenced by void ratio, elastic modulus of sand granule, burial depth and the correcting coefficient of the granule shape, while it is hardly influenced by inner friction angle, Poisson’s ratio of sand granule, density of the sand and the constant connected with the coordination number. Through comparison, the calculation results using the present formulas agree well with measured data so as to verify the validity of the proposed method.

particle contact; correcting coefficient of the granule shape; equivalent sphere; equivalent shear modulus

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.06.025

TU435

A

1672?7207(2016)06?2001?06

2015?06?10；

2015?09?20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378463，U1234204)(Projects(51378463, U1234204) supported by the National Natural Science Foundation of China)

夏唐代，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事土動(dòng)力學(xué)及軟土工程研究；E-mail：xtd@zju.edu.cn