有限維Hilbert空間中緊框架的構(gòu)造

林玉珍, 朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 福建 福州　350116)

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有限維Hilbert空間中緊框架的構(gòu)造

林玉珍, 朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 福建 福州350116)

討論了R2上單位模緊框架的一些性質(zhì)， 以及R2上的單位模緊框架上可執(zhí)行(r,k)手術(shù)的一個充要條件. 最后推廣了R2上的單位模緊框架可執(zhí)行((a-1)·(k+u),k)手術(shù)的條件， 并舉例說明.

框架； 緊框架； 圖向量； 框架手術(shù)

0　引言

1952年， Duffin等[1]在研究非調(diào)和Fourier級數(shù)問題時引入框架的概念. 目前， 框架理論是一個應(yīng)用廣泛的研究方向， 而對有限維空間上的框架的研究已經(jīng)引起越來越多國內(nèi)外學(xué)者的重視， 并取得了一系列重要的研究成果[2-3].

由于緊框架在許多實際問題諸如信號處理中有非常重要的應(yīng)用, 因此越來越多的人重視對緊框架的研究[3-8]. 跟一般框架相比， 緊框架的重構(gòu)公式比較簡單， 緊框架能避免在框架重構(gòu)時框架算子的逆算子不容易計算、 運算量大的麻煩. 所以在實際應(yīng)用時需要構(gòu)造一些緊框架. 文獻[9]給出構(gòu)造緊框架的一種方法， 即由一個Bessel序列通過添加一些向量后使它構(gòu)成緊框架， 而文獻[10]給出構(gòu)造緊框架的另一種方法， 即先去除原框架中的一些向量后再添加一些向量使它構(gòu)成一個新的緊框架.

首先簡要介紹框架的一些基本概念和性質(zhì).

一個緊框架可執(zhí)行(r,k)手術(shù)是指在去除緊框架里r個向量的同時再添加k個向量后仍是緊框架. 文獻[10]得到R2的單位模緊框架可執(zhí)行(r,k)手術(shù)的一個充要條件如下.

定理1得到R2的單位模緊框架在任意正整數(shù)k下可執(zhí)行(r,k)手術(shù)的一個充要條件， 但事實上在k=1時是不成立的(見例1)， 對定理1進行適當?shù)母恼?并且給出詳細的證明. 討論正整數(shù)a和u滿足一定的條件， 都可在去除(a-1)·(k+u)個向量的同時只需再添加k個單位模向量后得到的一個新的還是單位模緊框架. 這種方法可以在構(gòu)造新的單位模緊框架時有更多的選擇性， 并且可以在添加的向量個數(shù)一樣的前提下去除更多的向量后還構(gòu)成新的單位模緊框架， 使得新的單位模緊框架的向量個數(shù)可以更少.

1　主要結(jié)論

下面給出k=1時定理1不成立的例子.

定理1的原證明過程太過簡略， 下面對k>1的情況進行詳細的證明.

又由于

則

所以，f(θ1,θ2, …,θk)可以取得到0.

所以由定理3可知存在一個((a-1)·(k+u),k)手術(shù)， 使得其構(gòu)成R2的一個新的單位模緊框架.

表1　新框架的向量個數(shù)分布Tab.1　The distribution of the number of vectors for a new frame

定理3討論的是在k>1的情況下， 可以執(zhí)行(r, k)手術(shù)的一個充要條件. 以下是在k=1的情況下， 可以執(zhí)行(r, 1)手術(shù)的一個充要條件.

[1]DUFFINRJ,SCHAEFFERAC.AclassofnonharmonicFourierseries[J].TransAmerMathSoc, 1952, 72: 341-366.

[2]CASAZZAPG,KUTYNIOKKG.Finiteframes:theoryandapplications[M].Boston:BostonBirkhauser, 2012.

[3]CHRISTENSENO.Framesandbases:anintroductorycourse[M].Boston:BostonBirkhauser, 2008.

[4]CASAZZAPG,LEONMT.Existenceandconstructionoffinitetightframes[J].JConcrApplMath, 2006, 4(3): 277-289.

[5]CASAZZAPG,FICKUSM,MIXONDG.Constructingtightfusionframes[J].ApplComputHarmonAnal, 2011, 30(2): 175-187.

[6]BENEDETTOJJ,FICKUSM.Finitenormalizedtightframes[J].AdvComputMath, 2003, 18(2/3/4): 357-385.

[7]CASAZZAPG,FICKUSM,KOVACEVICJ.Aphysicalinterpretationoftightframes[M].Boston:BostonBirkhauser, 2006: 51-76.

[8]CASAZZAPG,KOVACEVICJ.Equal-normtightframeswitherasures[J].AdvComputMath, 2003, 18(2/3/4): 387-430.

[9]LIDF,SUNWC.Expansionofframestotightframes[J].ActaMathematicaSinica:EnglishSeries, 2009, 25(2): 287-292.

[10]NARAYANSK,RADZWIONEL,RIMERSP.Robustnessandsurgeryofframes[J].LinearAlgebraAppl, 2011, 434(8): 1 893-1 901.

[11]COPENHAVERMS,KIMYH,LOGANC,etal. Maximum robustness and surgery of frames in finite dimensions[J]. Linear Algebra Appl, 2013, 439(5): 1 330-1 339.

(責(zé)任編輯： 洪江星)

Constructing tight frames in finite dimensional Hilbert spaces

LIN Yuzhen， ZHU Yucan

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

We discuss some properties of unit-norm tight frames in R2, and give a necessary and sufficient condition for an (r,k)-surgery on unit-norm tight frames in R2. Finally, we generalize the condition under which a unit-norm tight frame can carry on the ((a-1)·(k+u),k)-surgery, and give an example to illustrate it.

frame; tight frame; diagram vector; frame surgery

10.7631/issn.1000-2243.2016.01.0001

1000-2243(2016)01-0001-05

2013-05-31

朱玉燦(1963-)， 教授， 主要從事框架理論及其應(yīng)用、 多復(fù)變函數(shù)幾何理論、 幾何函數(shù)論研究，zhuyucan@fzu.edu.cn

福建省自然科學(xué)基金資助項目(2012J01005)； 國家自然科學(xué)基金資助項目(11226099)

O177.1

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