有限覆蓋定理的一般形式及其逆

胡紹宗

（阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 安徽　阜陽　236037）

有限覆蓋定理的一般形式及其逆

胡紹宗

（阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 安徽阜陽236037）

先將數(shù)學分析中的有限覆蓋定理逐步拓廣到一般度量空間，再予證明。

有限覆蓋；有界閉集；緊集。

數(shù)學分析中所論述的Heine-Borel有限覆蓋定理［1］為：

設F=［a，b］是一個閉區(qū)間，G是一個開區(qū)間族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋F。

若將F換成直線上有界閉集，G換成開集族，則定理可推廣為：

設F是直線上有界閉集，G是開集族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個開集來覆蓋F。

若將F換成n維閉區(qū)間，G換成開區(qū)間族，則定理可推廣為：

設F=｛（x1，x2，…，xn）|ai≤xi≤bi，i=1，2，…，n｝是一個n維閉區(qū)間，G是一個n維開區(qū)間族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋F。

若將F換成n維有界閉集，G換成n維開集族，則定理可推廣為：

設F?Rn是一個有界閉集，G?Rn是一個開集族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個開集來覆蓋F。

定義1設X為度量空間，F(xiàn)?X，如果F中的任何點列必有在X中收斂的子點列，則稱F為X中的致密集。

注 度量空間中致密集是有界集［2］ 88-89。

定義2度量空間中致密閉集稱為緊集。

若將F換成一般度量空間X中的緊集，G換成X中開集族，則可得定理的一般形式為：

有限覆蓋定理設X是一般度量空間，F(xiàn)?X是一個非空緊集，G?X是一個開集族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個開集來覆蓋F。

為了證明這個一般形式的有限覆蓋定理，先證如下的緊集套定理。

緊集套定理設｛Fk｝是度量空間X中的非空緊集列，且滿足：

（ⅰ）F1?F2?…?Fk?…，

（ⅱ）Fk的直徑δ（）Fk→0（k→∞），則存在唯一的點x∈Fk（k=1，2，…）。

證 不妨假定對一切k，F(xiàn)k+1是Fk的真子集，

即

再證唯一性。設另有一點x′∈Fk（k=1，2，… ），則，由題設，于是d（x，x′）=0，從而x=x′。

有限覆蓋定理的證明：用反證法。假定定理的結(jié)論不成立，即F不能被G中任意有限個開集所覆蓋，因F為緊集，即致密閉集，從而為有界閉集，故可設F?閉集S｝為X中某個定點，x∈X ，二等分線段R0R1，設分點為R2，則相應地將S分成兩個閉集：｛x|R0≤d（x0，x）≤R2｝與，其中必有一個閉集與F的交非空且不能被G中有限個開集所覆蓋，記這個閉集為S1，F(xiàn)1=F?S1是一個非空緊集，F(xiàn)1?S1。

再等分線段R0R2或R2R1，設分點為R3，則相應地將S1分成兩個閉集：，或。

其中必有一個閉集與F1的交非空且不能被G中有限個開集所覆蓋，記這個閉集為S2，F(xiàn)2=F1?S2是一個非空緊集，F(xiàn)2?S2，重復這個步驟并不斷地進行下去，我們就可以得到一列緊集：

F?F1?F2?…?Fk?…，它們分別包含在S?S1?S2?…?Sk?…中

而Fk=Fk-1?Sk（k=1，2，…）不能被G中有限個開集所覆蓋。

據(jù)Sk的作法可知，其直徑，又因，故有。由緊集套定理，存在唯一點x-∈Fk（k=1，2，… ），當然更有x-∈F。

因為G覆蓋F，所以存在開集G0∈G，使x-∈G0，當k充分大時，有Sk?G0，從而

這說明Fk只須用G中一個開集G0就能覆蓋，這與挑選Fk時的假設“不能用G中有限個開集來覆蓋”相矛盾，從而證得G中必有有限個開集覆蓋F。

要指出的是：由前面已知，緊集即致密閉集，也是有界閉集。試問上述定理的條件中緊集可不可以改為有界閉集？我們的回答是否定的，因為在一般的度量空間中有界集未必是致密集，從而有界閉集，不一定是致密閉集，即未必是緊集。例如

在閉區(qū)間［0，1］上作連續(xù)函數(shù)列

0，1中不是致密集。

這里還要指出的是：在n維歐幾里得空間中，有界集和致密集是等價的［］2 96-98，從而有界閉集和致密閉集是等價的，即有界閉集和緊集是等價的。這正說明數(shù)學分析中所講的有限覆蓋定理是上述定理的特殊情形。

因此給出緊集的下面這種定義，即

定義3設X是度量空間，F(xiàn)?X，如果X中每個覆蓋F的開集族中都有有限個開集覆蓋F，則稱F是緊集。

The general form of the finite covering theorem and its inverse

HU Shao-zong

（School of Mathematics and Satistics，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

First，the finite covering theorem in mathematical analysis was gradually extended to general metric space.And then it was proved.

finite covering；bounded closed set；compact set

O177

A

1004-4329（2016）01-016-02

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-016-02

2015-09-08

國家特色專業(yè)（TS1496）；安徽省質(zhì)量工程項目（2013zy167，2014zy138，2015jxtd121）資助。

胡紹宗（1929-），男，副教授，研究方向：實分析。

［1］ 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001：165-166.

［2］ 夏道行，吳卓人，嚴紹宗等.實變函數(shù)論與泛函分析（下冊）［M］.北京：人民教育出版社，1979：88-89，96-98.