英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試MAT命題技術(shù)分析

廖運(yùn)章，王華嬌

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英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試MAT命題技術(shù)分析

（1．廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510006；2．廣州大學(xué)附屬東江中學(xué)，廣東河源 517500）

數(shù)學(xué)入學(xué)考試MAT是英國(guó)重要的數(shù)學(xué)英才選拔考試，是牛津等大學(xué)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的入學(xué)條件之一，數(shù)學(xué)知識(shí)與方法相當(dāng)于A(yíng)水平核心數(shù)學(xué)C1和C2模塊水平，但問(wèn)題設(shè)計(jì)卻不同，重在考查考生理解A水平數(shù)學(xué)的深度而非廣度．MAT的命題特征是：控制運(yùn)算量，解題思維多樣；分層遞進(jìn)設(shè)計(jì)，考查數(shù)學(xué)探究能力；構(gòu)建新情境，滲透數(shù)學(xué)建模思想，考核信息加工能力；因循專(zhuān)業(yè)所需，甄別不同數(shù)學(xué)能力．

數(shù)學(xué)英才；牛津大學(xué)；MAT；命題技術(shù)

近年來(lái)，英國(guó)學(xué)生在國(guó)內(nèi)GCSE和GCE-A水平數(shù)學(xué)考試獲或的人數(shù)屢創(chuàng)新高，如首次引入GCSE成績(jī)等級(jí)的1994年只有10.5%學(xué)生獲或，2013年這一數(shù)據(jù)則變?yōu)?2.6%．但英國(guó)學(xué)生在PISA和TIMSS等國(guó)際學(xué)生能力評(píng)價(jià)中成績(jī)卻持續(xù)下降，不盡如人意，如英國(guó)15歲學(xué)生PISA數(shù)學(xué)成績(jī)排名2009年第28位，2012年第26位，用人單位和高校也抱怨學(xué)生沒(méi)有具備工作或進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的基本數(shù)學(xué)知識(shí)技能，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量受到公眾的普遍質(zhì)疑，引起英國(guó)朝野關(guān)注，并由此提出基于國(guó)際證據(jù)的改革教育新主張[1]．

為遴選數(shù)學(xué)英才，劍橋和牛津?qū)?bào)讀其數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的申請(qǐng)人設(shè)置數(shù)學(xué)附加入學(xué)考試，劍橋的第六學(xué)期考試STEP（Sixth Term Examination Papers）[2]，牛津的數(shù)學(xué)入學(xué)考試MAT（Mathematics Admissions Test）正是英國(guó)兩項(xiàng)久負(fù)盛名的數(shù)學(xué)英才選拔考試（其他大學(xué)如帝國(guó)理工學(xué)院等也鼓勵(lì)申請(qǐng)者參加該兩項(xiàng)考試）．其中，MAT重在考查考生理解數(shù)學(xué)的深度而非廣度，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)考試命題（尤其是大學(xué)自主招生考試）具有借鑒意義．以下依MAT官網(wǎng)公布的2007—2014年試題，從內(nèi)容領(lǐng)域、題型題量、命題方法等方面，分析MAT試題的命題技術(shù)及其啟示作用[3]．

1 MAT試題的內(nèi)容分布

MAT主要依據(jù)其2007年發(fā)布的考試大綱命題，內(nèi)容要求相當(dāng)于A(yíng)水平核心數(shù)學(xué)C1和C2模塊水平[4~8]，但問(wèn)題設(shè)計(jì)卻不同，考綱包括多項(xiàng)式、代數(shù)、微分、積分、圖象、對(duì)數(shù)和乘方、變換、幾何、三角函數(shù)、數(shù)列與級(jí)數(shù)等10部分內(nèi)容．

MAT考試時(shí)長(zhǎng)2.5小時(shí)，全卷滿(mǎn)分100分，共7大題．2007—2013年第1題為單項(xiàng)選擇題，含A~J共10小題，每小題4分，共40分，2014年起選項(xiàng)由4個(gè)變?yōu)?個(gè)；第2~7題為解答題，考生需根據(jù)申請(qǐng)專(zhuān)業(yè)選做其中的4題，每題15分，多做或做其他專(zhuān)業(yè)的題不得分；牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)/課程做1、2、3、4、5大題，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)專(zhuān)業(yè)/課程做1、2、3、5、6題，計(jì)算機(jī)科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與哲學(xué)專(zhuān)業(yè)/課程做1、2、5、6、7題，帝國(guó)理工學(xué)院數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)做1、2、3、4、5題；考試不能使用計(jì)算器、公式表、詞典[9]．不難發(fā)現(xiàn)，題1、2、5共用，數(shù)學(xué)（含統(tǒng)計(jì)）和計(jì)算機(jī)科學(xué)兼有的共性題是3和6，區(qū)分兩者之差異的題為4和7，分層設(shè)計(jì)試題的理念顯而易見(jiàn)．

為合理統(tǒng)計(jì)選擇題的學(xué)科領(lǐng)域分布，采用主知識(shí)點(diǎn)劃分原則，即若題中涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)以一個(gè)主要知識(shí)點(diǎn)所在領(lǐng)域?yàn)闇?zhǔn)，如2011年第1-F題：已知滿(mǎn)足0≤<，且方程表示圓，則取值范圍是，，，任意值．方程化為，由半徑有，又0≤<≥0，故，選．本題涉及多項(xiàng)式中的完全平方式、代數(shù)中的解簡(jiǎn)單不等式、圖象中的用圖象解不等式、幾何中的圓方程、三角函數(shù)中的恒等變形等知識(shí)點(diǎn)，但主體應(yīng)為三角，所有歸為三角函數(shù)領(lǐng)域．依此統(tǒng)計(jì)，第1題選擇題中，微積分19道（微分8道、積分11道）、方程和不等式17道（多項(xiàng)式12道、代數(shù)5道）、函數(shù)及其圖象19道（圖象9道、對(duì)數(shù)和乘方9道、變換1道）、幾何與三角18道（幾何7道、三角11道）、數(shù)列9道，內(nèi)容布列均勻，體現(xiàn)了各專(zhuān)業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)的共同要求．

統(tǒng)計(jì)顯示，解答題的內(nèi)容領(lǐng)域是相對(duì)穩(wěn)定的，一般地，第2題主要考查函數(shù)、方程、不等式與數(shù)列（2007、2012函數(shù)迭代，2008、2009遞推數(shù)列，2010、2011方程與圓，2013函數(shù)方程，2014方程和不等式），第3題以微積分為主，第4題重在三角、幾何，第5題是新信息遷移問(wèn)題，第6題是邏輯推理問(wèn)題，第7題是與計(jì)算機(jī)科學(xué)相關(guān)的問(wèn)題．

2 MAT試題的命題特色

MAT試題的基本特點(diǎn)表現(xiàn)為題型題量保持相對(duì)穩(wěn)定，背景單純、知識(shí)點(diǎn)不多、難度維持在0.5左右（近5年1~5題的平均分為），這得益于其命題設(shè)計(jì)上的持續(xù)創(chuàng)新．

2.1 控制運(yùn)算量解題思維多樣

“減少運(yùn)算量，增加思維量”一直是中國(guó)高考數(shù)學(xué)命題追求的理想愿景，多年命題亦不遺余力地付諸實(shí)踐并取得一定成績(jī)，但距離實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)仍任重道遠(yuǎn)，如何予以改善？MAT的積極探索，可謂他山之石．宏觀(guān)上，MAT把重思維輕運(yùn)算理念作為貫穿整套試卷始終的設(shè)計(jì)原則，整體減少運(yùn)算量，所有試題的解答無(wú)需繁雜計(jì)算，但要有數(shù)學(xué)的頭腦、嚴(yán)密的思維，解題思維多樣；微觀(guān)上，從隱性與顯性維度控制運(yùn)算量，確保較好的區(qū)分度．

本題就是一道比較典型的隱性控制運(yùn)算量問(wèn)題，解題入口寬，方法多樣，思辨地解答則方便快捷，用算法化計(jì)算耗時(shí)費(fèi)力、容易出錯(cuò)．注意到對(duì)稱(chēng)變換（反射）的保持長(zhǎng)度不變之性質(zhì)（和長(zhǎng)度相等），以及是單位向量，易知為正確答案；也可用極端化思想，即若越來(lái)越大則直線(xiàn)越逼近軸，最終只有能取到點(diǎn)(-1, 0)．如若用常規(guī)方法，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立過(guò)兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)方程解聯(lián)立方程組求出垂線(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)再由中點(diǎn)公式求出的坐標(biāo)（“垂直又平分”），過(guò)程冗長(zhǎng)，即便利用的特殊值計(jì)算，出錯(cuò)率也不低(不湊效)．

對(duì)于顯性控制運(yùn)算量，指的是在題中明示不用計(jì)算，而是要求說(shuō)理，“無(wú)需計(jì)算，解釋為什么……”、“解釋你的答案”、“無(wú)需求拐點(diǎn)坐標(biāo)”等是常見(jiàn)的用詞，這種告白式減少運(yùn)算量的做法，中國(guó)并不多見(jiàn)．

圖1 函數(shù)的圖象

如例2的問(wèn)題，歷屆MAT試題數(shù)量不少，其目的是盡量減少無(wú)謂的運(yùn)算，著眼于考量數(shù)學(xué)思維量．顯然，，該積分可化為，其中、分別是2次和3次多項(xiàng)式，若設(shè)其積分依次為、，則，易知這是次數(shù)不超過(guò)4的多項(xiàng)式．因無(wú)需進(jìn)行定積分運(yùn)算求，避免了因出錯(cuò)而導(dǎo)致（ii）、（iv）、（v）的正確解答，各小問(wèn)環(huán)環(huán)緊扣，層次分明，淋漓盡致地展現(xiàn)了少運(yùn)算重思維的命題技術(shù)．當(dāng)然，如果直接計(jì)算

那么題目就直白平淡了．

中國(guó)近年全國(guó)及分省命制的高考數(shù)學(xué)試題，每年幾乎都設(shè)有形如的含參函數(shù)問(wèn)題，但試題設(shè)計(jì)與例2大相徑庭，形式單一，大都涉及利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)、最值、不動(dòng)點(diǎn)、不等式以及由衍生的數(shù)列迭代等問(wèn)題，運(yùn)算量大（如反復(fù)多次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)），往往作為壓軸大題出現(xiàn)，難度可想而知．

2.2 分層遞進(jìn)設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)探究能力

遵循數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在步驟，從特殊到一般、由易及難、分層布列試題，以探究數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律，考查學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力，是MAT命題的常態(tài)，MAT解答題幾乎都如此設(shè)計(jì)，一題多問(wèn)、一個(gè)關(guān)鍵思維節(jié)點(diǎn)設(shè)問(wèn)、逐次遞進(jìn)等是常用的命題手段，即前幾問(wèn)較為簡(jiǎn)單，但滲透著解決這類(lèi)問(wèn)題的思路或方法，并將這一思路或方法遷移到后面復(fù)雜問(wèn)題的解決．這樣設(shè)計(jì)，既有利于學(xué)生在新情境中學(xué)習(xí)新方法，更重要的是考查申請(qǐng)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛力．

這是函數(shù)迭代問(wèn)題，若只要求完成（iii）、（iv），需要重復(fù)使用和迭代，直接計(jì)算有難度，且不易發(fā)現(xiàn)兩小題間的內(nèi)在關(guān)系，使人望題怯步、無(wú)從下手．通過(guò)（i）、（ii）小題的鋪墊和引導(dǎo)，就能逐次迭代得出結(jié)果，從而由推出（iv）．如果直接要求解決（iv），解題難度更大．可見(jiàn)，本題倘若沒(méi)有分層遞進(jìn)設(shè)計(jì)，運(yùn)算量“繁死你”、思維量“想死你”（想不出解題思路）難免發(fā)生．

2.3 構(gòu)建新情境并滲透數(shù)學(xué)建模思想以考核信息加工能力

構(gòu)建問(wèn)題情境（實(shí)際情境和數(shù)學(xué)抽象情境）是MAT命題的重要特色，與STEP等其他測(cè)試不同，MAT試題涉及的實(shí)際情境（個(gè)人生活、公共生活與科學(xué)情境）數(shù)量有限，一般分布在第5、6、7題，除科學(xué)情境外大多平實(shí)簡(jiǎn)單，滲透最基本的數(shù)學(xué)建模思想；而數(shù)學(xué)抽象情境屬于新概念、新運(yùn)算、新定理等“新信息遷移問(wèn)題”，重在考查學(xué)生在新的信息和情境下，獨(dú)立獲取、加工和運(yùn)用新信息的能力，以及繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能和創(chuàng)新意識(shí)．面對(duì)數(shù)學(xué)新情境，無(wú)現(xiàn)成經(jīng)驗(yàn)借鑒，現(xiàn)場(chǎng)讀懂新概念、理解新原理、獲取新信息，恰當(dāng)表征所定義數(shù)學(xué)概念或符號(hào)的涵義是正確解題的前提或關(guān)鍵．

例4（2012年第5題） 一特定機(jī)器人可執(zhí)行以下3個(gè)命令，即：向前移動(dòng)1個(gè)單位距離；：向左轉(zhuǎn)90°；：向右轉(zhuǎn)90°．程序就是一系列命令，程序≥0)定義如下：表示機(jī)器人只執(zhí)行向前命令；≥0)表示先執(zhí)行、繼而左轉(zhuǎn)、再執(zhí)行、最后右轉(zhuǎn)，即，如．（i）寫(xiě)出；（ii）執(zhí)行程序后，機(jī)器人走了多遠(yuǎn)？即它執(zhí)行了幾次命令；（iii）設(shè)為程序中執(zhí)行的命令總數(shù)，如，，建立與的關(guān)系方程，并寫(xiě)出關(guān)于的表達(dá)式，不需證明（提示：考慮）；（iv）機(jī)器人面朝軸正向、從原點(diǎn)出發(fā)，執(zhí)行程序后，面朝哪個(gè)方向？（v）圖2左是機(jī)器人執(zhí)行程序的行走路徑，在圖2右中畫(huà)出機(jī)器人執(zhí)行程序的行走路徑；（vi）設(shè)為機(jī)器人執(zhí)行后的坐標(biāo)，如，，求與的關(guān)系方程，并計(jì)算、的值．

圖2 機(jī)器人行走路徑

這道背景簡(jiǎn)潔的數(shù)列新定義試題，蘊(yùn)含著素樸本真的數(shù)學(xué)建模思想，準(zhǔn)確把握程序的遞歸定義就不難解決，這也是衡量考生是否具備數(shù)學(xué)“可持續(xù)發(fā)展能力”的重要尺度．由遞歸定義易得：；若記為程序中執(zhí)行命令的個(gè)數(shù)，則，而，故；同時(shí)，可求；因每個(gè)包含、的數(shù)量相同，機(jī)器人執(zhí)行程序后仍面朝軸正向，路徑圖亦不難作出（此略）；，注意到，，，于是，．

2.4 因循專(zhuān)業(yè)所需甄別不同數(shù)學(xué)能力

除要求學(xué)生具有良好的共有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)外，根據(jù)不同專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)需求，設(shè)置不同層次的數(shù)學(xué)試題以考查不同的數(shù)學(xué)能力是MAT命題的又一亮點(diǎn)．第4題主要針對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（含統(tǒng)計(jì)），內(nèi)容側(cè)重函數(shù)、三角與幾何的綜合，試題年年附有圖象，提倡數(shù)形結(jié)合；第7題是專(zhuān)為計(jì)算機(jī)科學(xué)專(zhuān)業(yè)設(shè)計(jì)的，一般不涉及高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，往往與計(jì)算機(jī)科學(xué)中的編程等密切相關(guān)，如字符串排列、有限自動(dòng)機(jī)理論等；第6題是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域兼有的邏輯推理問(wèn)題，突出邏輯推理能力的考查，要求考生具備縝密的邏輯思維．

例5（2007年第6題） Alf、Beth和Gemma三人坐在同一房間里，他們中有一人只說(shuō)真話(huà)、一人總說(shuō)謊話(huà)、另一人有時(shí)說(shuō)謊話(huà)有時(shí)說(shuō)真話(huà)．在下列情形中，請(qǐng)你確定每個(gè)人話(huà)語(yǔ)的真實(shí)性．（i）假設(shè)Alf說(shuō)“我總說(shuō)謊”，Beth說(shuō)“對(duì)，Alf總說(shuō)謊”；那么誰(shuí)總說(shuō)謊話(huà)？誰(shuí)總說(shuō)真話(huà)？簡(jiǎn)要解釋你的答案．（ii）若Gemma說(shuō)“Beth一直說(shuō)實(shí)話(huà)”，Beth說(shuō)“這是錯(cuò)的”；那么誰(shuí)一直說(shuō)謊？誰(shuí)一直說(shuō)真話(huà)？簡(jiǎn)要解釋你的結(jié)論．（iii）假如Alf說(shuō)“Beth有時(shí)說(shuō)謊，有時(shí)說(shuō)真話(huà)”，Gemma說(shuō)“Alf一直說(shuō)謊”，而B(niǎo)eth說(shuō)“你所聽(tīng)到的足夠判斷誰(shuí)一直說(shuō)真話(huà)”；那么誰(shuí)一直說(shuō)謊？誰(shuí)一直說(shuō)真話(huà)？簡(jiǎn)要解釋你的答案．

這是一道邏輯判斷題，無(wú)需復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，卻需要進(jìn)行合理的邏輯推理．通過(guò)分析、判斷、推理易知，只有有時(shí)說(shuō)謊話(huà)有時(shí)說(shuō)真話(huà)的人才能說(shuō)出“我一直說(shuō)謊”，從而得出（i）中，Alf即是那個(gè)有時(shí)說(shuō)謊有時(shí)說(shuō)真話(huà)的人，由此推出Beth說(shuō)謊，最后得知Gemma說(shuō)實(shí)話(huà)．（ii）在（i）同樣的前提下，知道說(shuō)真話(huà)的那個(gè)人不能說(shuō)其他人只說(shuō)真話(huà)，所以Gemma不是一直說(shuō)真話(huà)的那個(gè)人；如果Gemma的話(huà)是對(duì)的，這與Beth說(shuō)“這是錯(cuò)的”矛盾，所以Gemma的話(huà)為假，即Beth不只說(shuō)真話(huà)，于是可知Alf一直說(shuō)真話(huà)、Gemma一直說(shuō)謊．（iii）是最佳可能問(wèn)題，設(shè)表示Alf只說(shuō)真話(huà)，Beth總說(shuō)謊話(huà)，Gemma有時(shí)說(shuō)謊話(huà)有時(shí)說(shuō)真話(huà)（以下雷同），考慮全部6種情形；Alf的陳述排除和,Gemma的說(shuō)法又排除,“沒(méi)有”足夠的信息判斷誰(shuí)一直說(shuō)真話(huà)，故Beth說(shuō)謊，排除、,只剩,即Alf只說(shuō)真話(huà)、Gemma總說(shuō)謊話(huà)．

從2007—2014年試題看，每年第6題都會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似試題，要求判斷涉及“邏輯學(xué)家”等簡(jiǎn)單情境的說(shuō)話(huà)真假、游戲真假問(wèn)題，這似乎與大綱不符，其實(shí)這是考核基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)——邏輯推理能力，這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)所必需的．在中國(guó)，邏輯推理問(wèn)題、數(shù)字與圖形推理、奇偶性分析、容斥原理、抽屜原理、極端原理等，大多屬于數(shù)學(xué)競(jìng)賽范疇（初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱就有明確規(guī)定），公務(wù)員考試也有所涉獵，但出現(xiàn)在正常的中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與考試中還不多見(jiàn)．

3 MAT命題技術(shù)的借鑒意義

2014年9月《國(guó)務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》明確指出，“自主招生主要選拔具有學(xué)科特長(zhǎng)和創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀學(xué)生．……試點(diǎn)高校要合理確定考核內(nèi)容，不得采用聯(lián)考方式或組織專(zhuān)門(mén)培訓(xùn)．”在這一新背景下，自主招生如何甄別數(shù)學(xué)英才的獨(dú)立思考能力與解決問(wèn)題能力？MAT命題技術(shù)提供了一個(gè)值得借鑒的可行路徑．

首先，分層設(shè)計(jì)試題，為數(shù)學(xué)英才發(fā)展?fàn)I造良性環(huán)境、拓展成才渠道．多年來(lái)，中國(guó)數(shù)學(xué)英才的主要培養(yǎng)模式是數(shù)學(xué)競(jìng)賽，實(shí)踐中帶有或多或少的功利性而備受社會(huì)質(zhì)疑[10]，恢復(fù)或回歸數(shù)學(xué)競(jìng)賽之?dāng)?shù)學(xué)英才培育本質(zhì)，拓寬數(shù)學(xué)英才培育之?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽“華山一條道”，優(yōu)化中國(guó)現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，使學(xué)生聚焦核心數(shù)學(xué)，從日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)與培育范圍更廣、數(shù)量更多的數(shù)學(xué)英才，并通過(guò)高校自主招生（數(shù)學(xué)）考試如MAT的成功模式予以選拔，使之成為未來(lái)STEM（科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)）等領(lǐng)域的國(guó)家棟梁，是當(dāng)下亟待解決的迫切問(wèn)題[11~15]．因此，汲取MAT的命題技術(shù)，根據(jù)專(zhuān)業(yè)需求分層設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)試題，如有可能可否建立更加專(zhuān)業(yè)的考試項(xiàng)目，為選拔數(shù)學(xué)英才服務(wù)，改進(jìn)目前重點(diǎn)大學(xué)自主招生（數(shù)學(xué)）考試無(wú)專(zhuān)業(yè)針對(duì)性，缺乏公開(kāi)透明而持續(xù)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)考綱等弊端，不失為一條行之有效的方法．

其次，題型題量相對(duì)穩(wěn)定，保持運(yùn)算量與思維量的和諧統(tǒng)一．運(yùn)算量是控制試卷難度的主要手段，如何協(xié)調(diào)運(yùn)算量與思維量的合理比例至關(guān)重要，需要正確處理思辨與算法的關(guān)系；思辨是思想的源泉，離開(kāi)了思辨，創(chuàng)造性無(wú)從談起，分析問(wèn)題的過(guò)程往往蘊(yùn)含著許多思辨因素，數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)應(yīng)引入思辨因素；數(shù)學(xué)課堂過(guò)分強(qiáng)調(diào)邏輯演繹能力與計(jì)算能力的培養(yǎng)，恰恰忽略了思辨能力的培養(yǎng)．弗賴(lài)登塔爾的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)就給出若干值得稱(chēng)道的例子，比如：“設(shè)有白酒與紅酒各一杯，兩者份量相同．現(xiàn)從白酒中舀一匙羹放入紅酒杯中，調(diào)勻后，舀回一匙羹放入白酒中。問(wèn)白酒杯中所含紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒？”事實(shí)上兩種含量一樣多，其解題思路無(wú)外乎兩種：算法求解和思辨求解．前者先設(shè)酒杯、匙羹的容量分別為和，后列出方程求解，過(guò)程冗繁、容易出錯(cuò)；后者考慮到兩杯最終所盛液體份量相同，分離各杯中的紅酒、白酒，則白酒杯中的紅酒來(lái)自紅酒杯中所失，反之亦然，答案自明．

第三，創(chuàng)設(shè)試題情境，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理解，考核創(chuàng)新潛質(zhì)．這是目前國(guó)內(nèi)外包括MAT在內(nèi)各類(lèi)數(shù)學(xué)選拔性考試的共有特點(diǎn)與趨勢(shì)，其目的是考核學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)閱讀，是數(shù)學(xué)教育追求的重要目標(biāo)之一．?dāng)?shù)學(xué)閱讀能力是指從數(shù)學(xué)公式、圖形、符號(hào)、文字等數(shù)學(xué)材料中提取信息的心理過(guò)程能力，其核心是數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)閱讀理解能力——面對(duì)新情境，能夠數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)（臨場(chǎng)）地閱讀、理解與運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，亦即現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、現(xiàn)場(chǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是數(shù)學(xué)上的“可持續(xù)發(fā)展能力”．與語(yǔ)文、外語(yǔ)等自然語(yǔ)言一樣，作為科學(xué)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)也承擔(dān)著發(fā)展學(xué)生科學(xué)閱讀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的任務(wù)[16~17]．

[1] Gibb N. Reforming Education through International Evidence [EB/OL]. https://www.gov.uk/government/speeches/ nick-gibb-reforming-education-through-international-evidence, 2015-01-23.

[2] 陳昂，任子朝．英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試——第六學(xué)期數(shù)學(xué)考試簡(jiǎn)介[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）：64-67．

[3] MAT. Specimen and Past Tests [EB/OL]. https://www.maths.ox.ac.uk/study-here/undergraduate-study/maths-admissions -test, 2015-01-18.

[4] 龔益紅．英國(guó)GCE A-Level數(shù)學(xué)課程之核心數(shù)學(xué)（Core Mathematics）模塊解析[J]．當(dāng)代教育論壇，2011，（11）：84-85．

[5] 王奮平，喻平．英國(guó)高中數(shù)學(xué)教材知識(shí)整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究——以CIE考試委員會(huì)A水平數(shù)學(xué)教材為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（5）：32-36．

[6] 王奮平．英國(guó)兩種高中數(shù)學(xué)教材比較研究——以英國(guó)Edexcel數(shù)學(xué)課本和CIMT數(shù)學(xué)課本復(fù)數(shù)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（2）：76-80．

[7] 王奮平．中英高中數(shù)學(xué)教材復(fù)數(shù)內(nèi)容比較研究——以英國(guó)AQA數(shù)學(xué)課本和人教版A版數(shù)學(xué)課本為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：83-86．

[8] 王奮平．中英高中數(shù)學(xué)教材比較研究——以英國(guó)AQA考試委員會(huì)與北師大版高中數(shù)學(xué)教材平面向量為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（6）：51-55．

[9] 盧建川，廖運(yùn)章，王華嬌．英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試MAT綜合難度分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（6）：31-34．

[10] 廖運(yùn)章．美國(guó)基于CCSSM的高中數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)模式[J]．課程·教材·教法，2012，（9）：113-121．

[11] 李亞玲，張英伯．?dāng)?shù)學(xué)英才教育的國(guó)際比較[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（2）：102．

[12] 倪明，熊斌，夏海涵．俄羅斯高中課程改革的特色——數(shù)學(xué)課程普通教育與英才教育并舉[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：12-16．

[13] 游安軍．也論中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教育性質(zhì)——與羅增儒先生商榷[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（1）：48-51．

[14] 游安軍．如何正確認(rèn)識(shí)“奧數(shù)”的教育價(jià)值[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：69-71．

[15] 張英伯，李建華．英才教育之憂(yōu)——英才教育的國(guó)際比較與數(shù)學(xué)課程[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（6）：1-4．

[16] 何小亞．學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”指標(biāo)的理論分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（2）：13-20．

[17] 桂德懷，徐斌艷．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵之探析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)．2008，17（5）：22-24．

Analysis on Propositions Technology of Mathematics Admissions Test (MAT) in British Mathematical Talent Recruitment Examination

LIAO Yun-zhang1, WANG Hua-jiao2

(1. College of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. Dongjiang Middle School Affiliated to Guangzhou University, Guangdong Heyuan 517500, China)

The Mathematics Aptitude Test (MAT) is one of the British mathematical talent recruitment examination, it also is a pre-interview test for applicants to the University of Oxford’s undergraduate courses in Mathematics, Computer Science and their joint schools. The mathematical knowledge and techniques required to do the questions are taken from a syllabus roughly corresponding to the C1 and C2 modules from A-level maths, though the questions are set more variously than A-level questions. It aims to test the depth of mathematical understanding of a student in the fourth term of their A-levels (or equivalent) rather than a breadth of knowledge. TMA’s propositions is characterized by: reducing the calculation cost, a variety of methods to solve problems; designing items in layered and progressively, to test applicant’s mathematical inquiry ability; building the new situation and penetrating mathematical modeling thought, to estimate applicant’s information processing ability; according to the professional, to distinguish the different mathematical ability of applicants.

mathematical talent; University of Oxford; Mathematics Admissions Test (MAT); propositions technology

[責(zé)任編校：張楠]

G633.6

A

1004–9894（2016）03–0034–04

2016–01–09

廣東省高校2014年度“創(chuàng)新強(qiáng)校工程”特色創(chuàng)新項(xiàng)目（教育科研類(lèi)）——英國(guó)GCSE與GCE-AS/A數(shù)學(xué)“社會(huì)化一年多考”機(jī)制研究（2014GXJK058）；廣州市高等學(xué)校第六批教育教學(xué)改革立項(xiàng)項(xiàng)目——基于卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)的《數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》課程改革與實(shí)踐研究（2014-4）；廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題——中小學(xué)幼兒園數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的國(guó)際比較研究（2013A012）

廖運(yùn)章（1964—），男，仫佬族，廣西羅城人，教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.