二維不可壓縮Navier-Stokes方程的七模類Lorenz方程組的動(dòng)力學(xué)行為及其數(shù)值模擬

王賀元

（遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，遼寧錦州121001）

二維不可壓縮Navier-Stokes方程的七模類Lorenz方程組的動(dòng)力學(xué)行為及其數(shù)值模擬

王賀元

（遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，遼寧錦州121001）

本文研究了平面不可壓縮的Navier-Stokes方程一個(gè)七模類Lorenz方程組的混沌行為問題.利用模式截?cái)嗟姆椒?，獲得了一個(gè)七模類Lorenz方程組，證明了該方程組吸引子的存在性，并對(duì)其全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和討論.基于分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面、功率譜揭示了系統(tǒng)混沌行為的普適特征，仿真分析了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的演化過程.

Navier-Stokes方程；奇怪吸引子；李雅普諾夫函數(shù)

1　引言

流動(dòng)現(xiàn)象是自然界及人類生產(chǎn)科研活動(dòng)中最為常見的一種物理現(xiàn)象，流動(dòng)穩(wěn)定性是流動(dòng)現(xiàn)象最為關(guān)鍵的問題.作為流動(dòng)現(xiàn)象應(yīng)普遍遵循的Navier-Stokes方程是一種典型的非線性偏微分方程，刻劃著流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如大氣運(yùn)動(dòng)、海洋流動(dòng)、軸承潤(rùn)滑、透平機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)等，研究它對(duì)人們認(rèn)識(shí)和控制湍流至關(guān)重要.1963年美國(guó)氣象學(xué)家E.Lorenz在研究大氣對(duì)流時(shí)，首次給出了著名的Lorenz方程［9］.所采用的方法是對(duì)Navier-Stokes方程和熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開，截取級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)，得到三模的Lorenz系統(tǒng).20世紀(jì)后期Valter Franceschini又在此方向上進(jìn)一步擴(kuò)展，多次和其他學(xué)者合作，將二維正方形區(qū)域T2=［0，2π］×［0，2π］上不可壓縮的Navier-Stokes方程

（其中u為速度場(chǎng)函數(shù)；p為液體之間的壓力；f為外力場(chǎng)函數(shù)，ν為動(dòng)力粘性系數(shù)）進(jìn)行傅立葉展開并截取其中的有限項(xiàng)，得出五模和七?；蛘呷我饽５姆蔷€性微分方程組（見文獻(xiàn)［1-4］），討論當(dāng)雷諾數(shù)變化時(shí)方程組解的動(dòng)力學(xué)行為.這種截?cái)嗪髞肀粩U(kuò)展到三維空間，1988 年V.Franceschini，Inglese和Tebaldi在Commun.Mech.Phys.上發(fā)表了三維空間上的有關(guān)Navier-Stokes方程五模截?cái)嗟奈恼拢?］；1991年Franceschini和Zanasi在三維空間上對(duì)此方程傅立葉展開，進(jìn)行七模截?cái)嗪蟮玫绞膫€(gè)非線性微分方程組成的方程組，隨后又對(duì)這個(gè)復(fù)雜的方程組進(jìn)行了詳細(xì)的討論［3］.國(guó)內(nèi)王賀元等人選取不同的截?cái)嗄Ｊ剑堰@方面的研究擴(kuò)展到磁流體，得到相應(yīng)類Lorenz方程組并分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為［10，11］.Franceschini 在1981年給出的一個(gè)七模類Lorenz方程組［1］，討論了這個(gè)七模模型定常解的線性穩(wěn)定性，并對(duì)分歧行為進(jìn)行了數(shù)值模擬.本文對(duì)此模型的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行深入的分析和探討，證明了該模型吸引子的存在性，并討論了其全局穩(wěn)定性，從而在理論上保證了數(shù)值模擬的有效性，并且數(shù)值模擬了分歧和混沌吸引子的發(fā)生過程.

2　七模類Lorenz方程組

下面對(duì)二維區(qū)域［0，2π］×［0，2π］上Navier-Stokes方程進(jìn)行傅立葉展開.即對(duì)速度函數(shù)u，外力場(chǎng)函數(shù)f和流體之間的壓力p進(jìn)行如下傅立葉展開

其中K=（h1，h2）是波向量，K⊥=（h2，-h1），rK=rK（t）為時(shí)間t的函數(shù).將（2.1）-（2.3）式代入到方程組（1.1），經(jīng)過一系列運(yùn)算得到如下形式的微分方程組［1，2］

其中L為波向量集合，并且滿足若K∈L，則-K∈L.文獻(xiàn)［1］取

其中

在ν=1時(shí)，分別令K為K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，代入到方程組（2.4）經(jīng)大量計(jì)算，利用實(shí)條件作代換

為

這里xi=xi（t）（i=1，2，···，7）為譜展開系數(shù).截得了七模非線性微分方程組的形式和Lorenz方程組相似，稱其為類Lorenz系統(tǒng).

3　平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)（2.6）在平衡點(diǎn)處Jacobi矩陣與時(shí)間無關(guān)，故李雅普諾夫矩陣的特征指數(shù)就是Jacobi矩陣的特征值的實(shí)部［5，6］，它是刻畫吸引子性質(zhì)的重要指標(biāo)，尤其對(duì)混沌吸引子更為重要.下面對(duì)類Lorenz方程組（2.6）線性化，然后根據(jù)各個(gè)平衡點(diǎn)的李雅普諾夫矩陣的特征指數(shù)的變化來討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.令

對(duì)F（X，Re）關(guān)于X求導(dǎo)數(shù)得到如下李雅普諾夫矩陣

由F（X，Re）=0求出（2.6）式的平衡點(diǎn)，下面根據(jù)Liapunov矩陣的特征指數(shù)的變化情況討論各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性（具體參見文獻(xiàn)［1］）.

其中σ=±1，此時(shí)平衡點(diǎn)（1）變得不穩(wěn)定，兩個(gè)新平衡點(diǎn)（2）是穩(wěn)定的.

3）當(dāng)Re＞R2時(shí)，所有平衡點(diǎn)（1），（2）都是不穩(wěn)定的.

4　吸引子的存在性和全局穩(wěn)定性分析

耗散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌行為是由于存在著一個(gè)復(fù)雜的吸引子而引起的［8］，而這個(gè)吸引子就是系統(tǒng)的所有軌道當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)收斂到的集合，可能是一個(gè)分形或康托集或康托集和一個(gè)區(qū)間的乘積.很自然地這個(gè)“吸引子”就成為數(shù)學(xué)上用來描述觀察到的不穩(wěn)定流的對(duì)象，它的復(fù)雜結(jié)構(gòu)就是導(dǎo)致觀察到的混沌現(xiàn)象的原因.因此，研究吸引子的存在性和數(shù)值模擬就成為一個(gè)重要的問題.下面就來證明系統(tǒng)（2.6）的吸引子存在性.

取H=R7，u（t）=（x1，...，x7），對(duì)Navier-Stokes方程的七模類Lorenz方程組（2.6）作如下運(yùn)算

得

因此有

因此有

故有

非線性系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性時(shí)，其軌線所收斂的單連通閉區(qū)域稱為系統(tǒng)的捕捉區(qū).只要能證明捕捉區(qū)的存在，不論其中的定常解是否穩(wěn)定，系統(tǒng)均具有全局穩(wěn)定性.而研究系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性主要借助于李雅普諾夫函數(shù)方法［5，6］.李雅普諾夫函數(shù)方法的基本思想是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，然后利用它的性質(zhì)和這個(gè)函數(shù)沿方程（2.6）的軌線方向的全導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)以確定（2.6）式平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，以確定系統(tǒng)的捕捉區(qū).

對(duì)系統(tǒng)（2.6）構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為令V（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）=K，很明顯，當(dāng)K是一正常數(shù)時(shí)，上式表示H上的一球面，記為E.求V的導(dǎo)數(shù)，并利用（2.6）式

于是若把K取得充分大，E即可包圍C.這樣從式（4.1）式可知在C外面＜0，由李雅普諾夫定理［5］的分析得知E外（2.6）式的解軌線都將進(jìn)入E內(nèi).可見E就是類Lorenz系統(tǒng)（2.6）的捕捉區(qū).雖然這時(shí)系統(tǒng)平衡點(diǎn)（1），（2）都不穩(wěn)定，但系統(tǒng)仍具有全局穩(wěn)定性：系統(tǒng)最終要收縮到捕捉區(qū)內(nèi)，而區(qū)內(nèi)又無收點(diǎn)，因此系統(tǒng)只能在區(qū)內(nèi)不停的振蕩.于是軌線最終要在捕捉區(qū)內(nèi)形成一個(gè)不變集合，這就是所謂的吸引子.人們稱混沌運(yùn)動(dòng)這種具有獨(dú)特性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的吸引子為奇怪吸引子.它是整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性一對(duì)矛盾的結(jié)合體.其具體形式如何呢？下面就來數(shù)值模擬系統(tǒng)（2.6）的奇怪吸引子.

5　數(shù)值模擬

隨著雷諾數(shù)的增大，Lorenz方程組（2.6）的穩(wěn)定性發(fā)生了變化，出現(xiàn)了Hopf分岔和混沌等非線性現(xiàn)象.下面就來詳細(xì)數(shù)值模擬系統(tǒng)（2.6）從分岔到混沌的全過程.

1）當(dāng)Re＜R2=30.2123時(shí)，系統(tǒng)（2.6）的新平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，解軌線為螺旋線（如圖1，2）.

圖1：Re=15.60

圖2：Re=20.04

2）通過數(shù)值計(jì)算得方程組（2.6）在Re=R2時(shí)平衡點(diǎn)p±處的李雅普諾夫矩陣的一對(duì)復(fù)共軛特征值穿越虛軸，其實(shí)部由負(fù)變正，因而系統(tǒng)（2.6）發(fā)生了Hopf分岔.從不穩(wěn)定平衡點(diǎn)p±分叉出閉軌線.如圖3-6.

圖3：Re=30.2122

圖4：Re=30.2124

圖5：Re=30.2123

圖6：Re=30.2123

3）當(dāng)Re=71.31時(shí)，平衡點(diǎn)p±處分叉出閉軌線開始不穩(wěn)定，分叉處環(huán)面，如圖7，8.

4）當(dāng)Re進(jìn)一步增大時(shí)出現(xiàn)了滯后現(xiàn)象（各種吸引子共存），如圖9-13.當(dāng)Re=248.23時(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌，出現(xiàn)奇怪吸引子，如下圖14-16分別給出了不同雷諾數(shù)時(shí)奇怪吸引子的大體狀態(tài).通過數(shù)值計(jì)算表明系統(tǒng)在高雷諾數(shù)下一直是混沌狀態(tài)，這與文獻(xiàn)［1］的結(jié)論是一致的.

圖7：Re=71.4

圖8：Re=72.0

圖9：Re=72.5

圖10：Re=73.8

圖11：Re=202.4

圖12：Re=220.54

圖13：Re=230.24

圖14：Re=248.23

圖15：Re=249.44

圖16：Re=255.64

圖17：分叉圖

圖18：最大李雅普諾夫指數(shù)

5）圖17，18分別給出了系統(tǒng)分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)，從分岔圖17表明：當(dāng)Re＜71.31時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當(dāng)Re=71.31時(shí)，系統(tǒng)開始不穩(wěn)定，分叉處環(huán)面，之后系統(tǒng)出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，當(dāng)Re=248.23時(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌，出現(xiàn)奇怪吸引子，算到Re=1000系統(tǒng)始終是混沌狀態(tài)，在高雷諾數(shù)下系統(tǒng)處于湍流狀態(tài)，這一點(diǎn)也與lorenz系統(tǒng)有明顯的區(qū)別.圖18中給出的最大李雅普諾夫指數(shù)與分岔圖17是相符的.

6）圖19給出了系統(tǒng)的龐加萊截面（Re=252.41），圖20給出了系統(tǒng)的功率譜（Re= 255.24），它們均表明了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)特征.

圖19：Re=252.41

圖20：Re=255.24

6　結(jié)論

本文首先給出了七模類Lorenz方程組的推導(dǎo)過程，對(duì)此方程組線性化穩(wěn)定性分析進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹.然后證明了此方程組全局吸引子的存在性，并對(duì)其全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和討論，最后數(shù)值模擬了雷諾數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)經(jīng)由不變環(huán)面的失穩(wěn)到達(dá)混沌的過程，運(yùn)用分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面和功率譜揭示了系統(tǒng)混沌行為的普適特征.

［1］Valter Franceschini，Claudio Tebaldi.A seven-modes truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations［J］.J.Stat.Phys.，1981，25（3）：397-417.

［2］Carlo Boldrighini，Valter Franceschini.A five-dimensional truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations［J］.Commun.Math.Phys.，1979，64：159-170.

［3］Franceschini V，Zanasi R.Three-dimensional Navier-Stokes equations trancated on a torus［J］.Nonl.，1992，4：189-209.

［4］Valter Franceschini，Claudio Tebaldi.Breaking and disappearance of tori［J］.Commun.Math.Phys.，1984，94：317-329.

［5］劉秉正，彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2004，406-415.

［6］謝應(yīng)齊.非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)方法［M］.北京：氣象出版社，2001，9-17.

［7］Franceschini V，Inglese G，Tebaldi C.A five-mode truncation of the Navier-Stokes equations on a three-dimensional torus［J］.Commun.Mech.Phys，1988，64：35-40.

［8］Chorin A，Marsden J，Smtle S.Mubalence seminar lecture notes in mathematics［M］.Berlin：Springer-Verlag，1988.

［9］Hilborn R C.Chaos and nonlinear dynamics［M］.Oxford：Oxford Univ.Press，1994．

［10］王賀元，姜悅嶺，平面不可壓縮Navier-Stokes方程新五模類Lorenz方程組的混沌行為［J］.數(shù)學(xué)雜志，2010，30（2）：269-272.

［11］高焱，磁流體動(dòng)力學(xué)截?cái)喾匠探M的動(dòng)力學(xué)行為研究［J］.數(shù)學(xué)雜志，2013，33（4）：671-678.

［12］李開泰，馬逸塵.數(shù)理方程HILBERT空間方法（下）［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，1992.

THE DYNAMICAL BEHAVIOR AND THE NUMERICAL SIMULATION OF THE SEVEN-MODE TRUNCATION SYSTEM OF THE PLANE INCOMPRESSIBLE NAVIER-STOKES EQUATIONS

WANG He-yuan
（School of Sciences，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001，China）

The chaotic behavior of seven-mode Lorenz-like system for the plane incompressible Navier-Stokes equations is studied.By mode truncation，a seven-mode Lorenz equations is obtained.The existence of the attractor of the equations is proved，and the global stability of the equations is discussed.Based on numerical simulation results of bifurcation diagram，Lyapunov exponent spectrum，Poincare section and power spectrum of the system，general features of the system are revealed.The whole process，which shows a chaos behavior with the changing of Reynolds number，is simulated numerically.

Navier-Stokes equations；strange attractor；Liapunov function

MR（2010）主題分類號(hào)：65P20；65P40O175.14；O241.81

A

0255-7797（2016）05-1067-10

2014-07-13接收日期：2014-12-18

遼寧省教育廳科研基金（L2013248）；錦州市科學(xué)技術(shù)基金（13A1D32）資助；國(guó)家自然科學(xué)基金（11572146）.

王賀元（1963-），男，遼寧黑山，教授，主要研究方向：非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及仿真.

2010 MR Subject Classification：65P20；65P40