素養(yǎng)導向下對一道2023 年高考試題的溯源探究與推廣

福建省武夷山第一中學(354300)葛香珠

福建省南平市高級中學(353000)江智如 蔡珺

1 試題呈現(xiàn)

焦點三角形是圓錐曲線的重要性質,包含豐富的圓錐曲線背景知識,常作為情景載體出現(xiàn)在歷年的高考試題中,文[1]給出了此類題型的解題策略.2023 年全國高考新課標Ⅰ卷第16 題是以焦點三角形為載體,求解離心率的題型,解題思路多樣,方法巧妙,全方位反映雙曲線的幾何特征.

題目(2023 年高考新課標Ⅰ卷第16 題) 已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上,點B在y軸上,則C的離心率為____.

2 試題溯源

筆者查閱相關資料,發(fā)現(xiàn)本試題與2020 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預賽第5 題如出一轍,幾乎就是同一題型,試題如下:

溯源題目1(2020 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預賽5)設F1,F2為雙曲線C:(a＞0,b＞0)的左、右焦點,過F2的直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點,且則雙曲線C的離心率為____.

評析題目1 與高考試題的已知條件比較相似,區(qū)別在于:高考試題把題目1 中的點B換在y軸上,把題目1 中的焦點直角三角形更換為F1A與F1B的垂直關系.兩道試題考查的難點都是如何利用“垂直”與“向量”關系求解離心率.二者考查的目標與解題思路一致,都是考查雙曲線定義與幾何性質相關知識,考查考生數(shù)學閱讀能力、數(shù)形結合思想、推理論證能力和運算求解能力[4].

3 試題解析

思路1(從解三角形角度入手)如圖1,設|AF2|=2m,則|BF2|=3m.因為點O為F1F2的中點,且點B在y軸上,所以|BF1|=|BF2|=3m.又|AF1|-|AF2|=2a,故|AF1|=2a+2m.

圖1

在RtΔABF1中,F1A⊥F1B,故9m2+(2a+2m)2=25m2,化簡得(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a.又|BF2|=|BF1|=3a,故|AB|=5a,從而cos ∠F1AF2=因此,在ΔAF1F2中,由余弦定理得,cos ∠F1AF2=整理得5c2=9a2,因此,C的離心率為

思路2(從坐標運算角度入手)由已知可設F1(-c,0),F2(c,0),A(x0,y0),B(0,t),則由即化簡得又0,化簡得t2=4c2.

又點A在雙曲線C上,則=1,去分母得,25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2c2-a2-16a2c2=9a2(c2-a2),化簡得25c4-50c2+9a4=0,于是(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,從而故又e＞1,所以

思路3(從三角形相似角度入手)如圖2,過點A作AC⊥x軸于點C,則ΔBF2O∽ΔAF2C,于是令AC=h,則又OF2=c,故從而因為∠BF1A=90°,得ΔAF1C∽ΔF1BO,所以化簡得從而在RtΔAF2C中,AF2=在RtΔAF1C中,AF1=故由雙曲線定義得,AF1-

圖2

評析本試題考查雙曲線的定義與幾何性質相關知識,背景知識是圓錐曲線的焦點三角形相關性質,考查范圍來源于教材,又高于教材.試題將平面向量與解析幾何等知識綜合應用做了較好的設計,通過問題的簡單情境,依據(jù)雙曲線的定義分析問題,探索解題思路.解答過程繁簡適度,體現(xiàn)思維的靈活性.試題提供多種思考角度,為不同能力的考生構建展示平臺.思路1 從解三角形角度入手,面向大部分考生,考生只須把“垂直”與“向量共線”關系轉化為a,c關系便可解決問題.思路2 從坐標運算角度入手,體現(xiàn)解析幾何的通性通法.思路3 從三角形相似關系入手,計算量小,方法巧妙,要求考生有扎實的數(shù)學功底.不同層次的考生可以根據(jù)自身的能力水平找到不同的解題思路與方法,對數(shù)學運算和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的考查有較好導向作用,體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能.

4 試題推廣

根據(jù)思路1,我們把試題已知條件中的向量系數(shù)一般化,將試題結論進行推廣,可以得到結論1:

結論1已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上,點B在y軸上,則C的離心率

證明設|F2B|=t,則|F2A|=λt,從而|F1A|=λt+2a,|F1B|=t.因為F1A⊥F1B,所以在RtΔABF1中,|F1A|2+|F1B|2=|AB|2,即t2+(λt+2a)2=(λt+t)2,展開得2a2+2aλt=λt2.又在ΔAF1F2中,

而

故聯(lián)立得

即

因為

所以

于是

故

因此,結論1 是試題的推廣.此外,類比橢圓的定義與幾何性質,我們還可以將結論1 推廣到橢圓的情形,得到結論2,限于篇幅的限制,證明過程就留給讀者來完成.

結論2已知橢圓Γ:的左、右焦點分別為F1,F2,點A在Γ 上,點B在y軸上,則Γ 的離心率e=

5 高考鏈接

題目1 解析如圖3,設|AF2|=t,則依題意有|BF2|=2t,從而|AB|=3t|AF1|=t+2a,|BF1|=2a+2t.因為知AF1⊥AF2,所以

圖3

即

題目2(2016 年高考ⅠⅠ卷理科第11 題)已知F1,F2是雙曲線E:的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,則E的離心率為()

解析如圖4,在Rt △MF1F2中,∠MF1F2=90°,因為所以cos ∠MF2F1=于是又點M的橫坐標為-c,且點M在雙曲線上,故可求點M的縱坐標為為從而

圖4

而e＞1,解得因此,選擇A.

評析本試題重點考查考生對雙曲線基本概念、性質以及雙曲線和直線位置關系的理解與掌握情況,并結合雙曲線定義與焦點三角形的度量關系,考查考生直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).需要考生有清晰的邏輯思維能力、良好的直觀想象能力、知識的綜合理解能力.此外,本試題也具有較好的選拔功能與良好的區(qū)分效果,凸顯數(shù)學課程標準的基本理念與要求[3],對教學實踐有導向作用.

結束語在高考評價體系指引下,高中圓錐曲線的教學應由傳統(tǒng)的“結果性教學”轉變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過程性教學”,這就要求學生不僅要知其然,更要知其所以然,同時引導學生探究問題的“本源”,學會舉一反三,夯實數(shù)學基礎.一方面,教師探尋幾何問題的本“源”,追溯數(shù)學思維發(fā)展的源泉,可以提升教師自身數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)和專業(yè)化水平[4];另一方面,教師把握幾何問題的“流”,登高望遠,拓展視野,培養(yǎng)學生思維的深度和廣度,設置精致練習[5],摒棄“題海戰(zhàn)術”,提高數(shù)學學習的興趣,挖掘數(shù)學學習的潛能,提升學生數(shù)學綜合素養(yǎng)[6].