均質(zhì)柱形剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

何艷，鄧?yán)冢x艷丁，羅志娟，喻莉

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均質(zhì)柱形剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

何艷，鄧?yán)?，謝艷丁，羅志娟，喻莉

（空軍預(yù)警學(xué)院 基礎(chǔ)部，湖北 武漢 430019）

從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)，結(jié)合剛體的平行軸定理和“補(bǔ)償法”，通過選取不同的“微元”，計(jì)算了不同情形的均質(zhì)柱形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并強(qiáng)調(diào)了物理“微元法”的思想，強(qiáng)化了物理概念、定理的運(yùn)用，而且將結(jié)論進(jìn)行推廣討論．

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；微元法；平行軸定理；補(bǔ)償法

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量，它是剛體力學(xué)中的重要概念，在工程技術(shù)、航天、機(jī)械和儀表等領(lǐng)域中也是一個(gè)重要參數(shù)[1]．剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理解和計(jì)算一直是教學(xué)中的難點(diǎn)，通過對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，不但可以幫助學(xué)生掌握其計(jì)算方法，而且更有助于較好地理解物理學(xué)中重要的“微元法”的思想，掌握好“微元法”的物理思想是學(xué)好大學(xué)物理力學(xué)和電磁學(xué)部分的關(guān)鍵所在[2]．本文用“微元法”對(duì)不同情形的對(duì)稱均質(zhì)圓柱形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行計(jì)算，通過分割、近似、求和及取極限等過程，即高等數(shù)學(xué)中求定積分的定義，讓學(xué)生理解該物理思想方法的精髓并靈活掌握轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法，從而加深對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義的理解．

1 均質(zhì)圓柱體對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

則整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為每一微元對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無限求和，即計(jì)算質(zhì)量連續(xù)均勻分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)際上就是微積分的過程[4]

式（3）就是質(zhì)量均勻分布的圓柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．

該圓盤狀微元相對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

信托是由委托人、受托人以效率為原則而進(jìn)行的一種雙向市場(chǎng)選擇行為。參考信托法對(duì) “信托”含義的界定，結(jié)合現(xiàn)行法律關(guān)于土地制度的規(guī)定，農(nóng)村土地信托應(yīng)是在堅(jiān)持集體所有權(quán)和土地承包權(quán)不變的前提下，土地信托服務(wù)機(jī)構(gòu)接受土地承包者的委托，按照土地使用權(quán)市場(chǎng)化需求，通過一定的法律程序，將農(nóng)戶擁有的土地承包經(jīng)營權(quán)在一定期限內(nèi)依法、有償轉(zhuǎn)讓給其他公民、法人或其他組織從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營活動(dòng)的行為。

則均質(zhì)圓柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

結(jié)果與取任意微元計(jì)算的結(jié)果相同，但更方便，易理解．

圖2 均質(zhì)實(shí)心圓柱體軸向圓盤狀微元

圖3 均質(zhì)軸對(duì)稱圓筒

2 均質(zhì)圓筒對(duì)中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

類似于以上情形，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，再通過微積分的方法自然可以計(jì)算出此種情形的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．對(duì)于均質(zhì)圓筒，既可以借助于柱面坐標(biāo)系取任意“微元”，也可以沿著中心對(duì)稱軸（軸）將均質(zhì)圓筒分割為一個(gè)個(gè)薄圓環(huán)作為“微元”．給出取任意微元的計(jì)算過程，另一種方法從略．

當(dāng)然，均質(zhì)圓筒可看成是在一個(gè)大的均質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)同一中心軸挖去了一個(gè)等高的小圓柱體，并設(shè)半徑為的實(shí)心均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為．因此，可以借助于補(bǔ)償?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算[6]．于是均質(zhì)圓筒對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于半徑為的實(shí)心均質(zhì)圓柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減去半徑為的實(shí)心均質(zhì)圓柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且兩均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量密度分布相同有

式（8）即為均質(zhì)圓筒對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其結(jié)果與圓筒的高度無關(guān)．

討論：

3 均質(zhì)平行中心軸挖空的圓柱殼

圖4 平行于軸的空心圓筒

根據(jù)平行軸定理和補(bǔ)償法[8]，可以先將挖去的部分補(bǔ)起來使之成為一個(gè)實(shí)心的圓柱體，那么待求部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就等效為補(bǔ)齊后半徑為的實(shí)心圓柱體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減去半徑為的圓柱體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．其中補(bǔ)齊后半徑為的實(shí)心圓柱體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

4 結(jié)語

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)物體的一個(gè)重要屬性．它不僅與剛體的體密度有關(guān)，還與剛體的幾何形狀、體密度的分布及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．本文利用“微元法”計(jì)算了不同情形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并適時(shí)的運(yùn)用了平行軸定理和補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ?jì)算方法通俗易懂，旨在讓學(xué)生掌握其方法并體會(huì)理解物理學(xué)中重要的“微元”思想．

參考文獻(xiàn)：

[1] 漆安慎，杜嬋英．力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2009：282-286

[2] 馬文蔚，周雨青．物理學(xué)（上）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014：114-115

[3] 傅美歡．剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的“微元法”教學(xué)[J]．南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，15（4）：64-68

[4] 韓眾．幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，30（4）：25-27

[5] 莫杰雄．以常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算為例談微元的選擇[J]．長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，29（6）：24-26

[6] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒，等．基于均質(zhì)球?qū)ΨQ剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，５（1）：84-156

[7] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒，等．基于均質(zhì)圓柱殼剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，5（2）：84-86

[8] 趙強(qiáng)，韓春杰．剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解討論[J]．物理通報(bào)，2014（5）：19-21

The calculation on rotary inertia for homogeneous cylindrical rigid body

HE Yan，DENG Lei，XIE Yan-ding，LUO Zhi-juan，YU Li

（Department of Basic Courses，Air Early Warning Academy，Wuhan 430019，China）

Starting from the definition of rotary inertia of rigid body，combined with the parallel-axis theorem of rigid body and the compensation method，by choosing different infinitesimal element，the rotary inertia of homogeneous cylindrical rigid body is caculated under the different situation．Not only the infinitesimal method physical idea is emphasized，and using of physical concept and physical theorem is intensified，but also the promote discussion about caculation result is proceeded.

rotary inertia；infinitesimal method；parallel-axis theorem；compensation method

1007-9831（2016）10-0046-03

O313∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.013

2016-07-25

何艷（1979-），女，湖北黃岡人，講師，碩士，從事大學(xué)物理研究．E-mail：hy2004_1120@126.com