稀疏表示的夏克-哈特曼波前傳感器信號(hào)提取

張艷艷，許文濤，陳蘇婷

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稀疏表示的夏克-哈特曼波前傳感器信號(hào)提取

張艷艷，許文濤，陳蘇婷

( 南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象探測(cè)與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210044 )

由于背景噪聲及探測(cè)器噪聲的存在，夏克-哈特曼波前傳感器質(zhì)心探測(cè)誤差較大，本文提出了一種在稀疏域去除背景噪聲及探測(cè)器噪聲的方法。首先采用二維高斯模型生成光斑信號(hào)樣本圖像，構(gòu)造超完備目標(biāo)字典，依次對(duì)測(cè)試圖像分塊計(jì)算其在超完備字典中的表示系數(shù)，利用噪聲、背景和目標(biāo)表示系數(shù)的不同，通過(guò)認(rèn)為設(shè)定閾值來(lái)判別該圖像塊是否為光斑信號(hào)。結(jié)果表明，本文處理方法能夠較好的提取出光斑信號(hào)，且與減閾值算法相比，其處理后質(zhì)心偏差、RMS及PV值都較小。

自適應(yīng)光學(xué)；夏克-哈特曼波前傳感器；稀疏表示；質(zhì)心偏差

0 引 言

夏克-哈特曼波前傳感器(Shack-Hartmann wavefront sensor，S-H WFS)由于其光能利用率高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中(Adaptive Optics，AO)得到廣泛的應(yīng)用[1]，由于S-H WFS是通過(guò)探測(cè)子孔徑的會(huì)聚光斑的強(qiáng)度分布來(lái)計(jì)算光斑的質(zhì)心位置，而背景噪聲及系統(tǒng)所產(chǎn)生的噪聲對(duì)光斑的強(qiáng)度影響較大，導(dǎo)致質(zhì)心誤差較大，嚴(yán)重影響了AO系統(tǒng)對(duì)波前誤差的校正能力[1-2]。

針對(duì)以上問(wèn)題，姜文漢等人[3-5]提出減閾值的方法降低讀出噪聲、背景暗電流噪聲等對(duì)質(zhì)心探測(cè)誤差的影響，但是對(duì)于一幅實(shí)際采集的圖像，很難準(zhǔn)確判斷哪些像素點(diǎn)屬于噪聲、哪些屬于背景、哪些是有效的光斑信號(hào)，因此對(duì)于閾值的選取一直沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，J. Arines 和 J. Ares 等人[6]提出使用最小方差的閾值計(jì)算方法。另外，有學(xué)者[7]提出了使用加窗一階矩的算法來(lái)計(jì)算質(zhì)心，加窗法可以有效的降低窗口以外的噪聲對(duì)質(zhì)心探測(cè)精度的影響，通過(guò)適當(dāng)改變探測(cè)窗口面積大小來(lái)降低遠(yuǎn)離光斑質(zhì)心位置的像素的影響，以提高質(zhì)心探測(cè)精度。但是窗口的尺寸并不能一味的減小，當(dāng)光斑像素點(diǎn)不能全部在計(jì)算窗口內(nèi)時(shí)，誤差也將增大，因此在加窗法進(jìn)行質(zhì)心計(jì)算時(shí)，窗口尺寸的選取至關(guān)重要。K. L. Baker[8]提出了加權(quán)一階矩算法，加權(quán)一階矩算法利用的是光斑信號(hào)的高斯形態(tài)分布以及光斑信號(hào)的灰度值與背景及噪聲信號(hào)灰度值的差別，光斑信號(hào)的灰度值要高于背景及噪聲的灰度值，若將整幅圖像乘以一個(gè)在光斑質(zhì)心位置處高斯分布的函數(shù)，則相當(dāng)于對(duì)光斑圖像進(jìn)行了非線性的增強(qiáng)。

本文提出了一種基于超完備稀疏表示的處理方法，去除背景噪聲及探測(cè)器噪聲，通過(guò)求解一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)完成提取出目標(biāo)光斑及去除噪聲的目的。與以往的算法相比，本文首次在稀疏域?qū)-H WFS圖像進(jìn)行噪聲的處理。

1 S-H WFS光斑目標(biāo)及噪聲分析

含有目標(biāo)的單個(gè)S-H WFS子孔徑圖像一般包括三部分：目標(biāo)、背景及噪聲，設(shè)用表示[9-10]，則：

分析表明S-H WFS的主要誤差源[9]為：1) CCD相機(jī)的讀出噪聲、包括前放和A/D采樣噪聲；讀出噪聲是均值為0，方差為的高斯噪聲；2) 目標(biāo)信號(hào)的光子噪聲，光子噪聲的分布是方差為的泊松分布的噪聲；3) 天光背景噪聲。天光背景噪聲在不考慮系統(tǒng)裝配誤差等造成的不均勻時(shí)，其在整靶面較為均勻，略有起伏。

2 圖像稀疏表示原理

根據(jù)調(diào)和分析理論，圖像信號(hào)的稀疏性表述如下[11]：對(duì)于離散信號(hào)，其可以由基函數(shù)集合線性表示為

其中非零系數(shù)項(xiàng)越少，圖像的表示就越稀疏有效。超完備字典是一種全新的信號(hào)表示理論[12]，用超完備的冗余函數(shù)庫(kù)取代完備的基函數(shù)，字典中的元素被稱為原子。字典的選擇是提取信號(hào)的最關(guān)鍵步驟，選擇的字典應(yīng)盡可能的符合待處理的目標(biāo)信號(hào)。其原理是從超完備字典中找到目標(biāo)信號(hào)的最優(yōu)線性組合，能夠最稀疏、最佳的逼近原信號(hào)。

給定一個(gè)集合，其所有元素張成Hilbert空間，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時(shí)，稱集合為超完備字典，元素作歸一化處理后即為原子。對(duì)于圖像信號(hào)，可以表示為個(gè)原子的線性逼近：

由于字典的冗余性，其原子之間不是線性獨(dú)立的，同時(shí)圖像的稀疏表示方式也不再是唯一的，因此要在滿足式(3)的情況下，從各種可能的組合中選擇出分解系數(shù)最為稀疏的一組解，也就是最為稀疏的表示，此時(shí)的取值最小，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求解：

可以看出，式(5)是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，可以通過(guò)線性規(guī)劃算法來(lái)求解。Donoho證明[13]，當(dāng)信號(hào)和超完備字典滿足一定條件時(shí)，式(4)和式(5)是等價(jià)的，即式(4)的解可以通過(guò)求解式(5)來(lái)得到。

在對(duì)哈特曼圖像的處理中，在構(gòu)造一個(gè)超完備目標(biāo)字典的基礎(chǔ)上，依次將測(cè)試圖像進(jìn)行分塊計(jì)算系數(shù)，分塊的大小與字典原子的大小相同，并通過(guò)系數(shù)的差異來(lái)判斷此圖像子塊是否含有光斑信號(hào)，若含有光斑信號(hào)則表示系數(shù)只有少量系數(shù)值較大，其他系數(shù)值接近于0；若該圖像子塊中為背景區(qū)域，則其表示系數(shù)較為均勻的，且系數(shù)值較小，也就是說(shuō)，通過(guò)目標(biāo)、背景及噪聲在字典中的表示系數(shù)的差異，來(lái)判斷該子塊中是否含有光斑信號(hào)，以此達(dá)到提取目標(biāo)，去除噪聲的目的。

3 S-H WFS圖像的稀疏表示

3.1 超完備字典的生成

光斑信號(hào)通常為小目標(biāo)信號(hào)，因此本文采用二維高斯模型構(gòu)造S-H WFS光斑目標(biāo)的超完備字典，通過(guò)其中的各參數(shù)項(xiàng)，生成目標(biāo)子空間，采用該模型來(lái)生成光斑目標(biāo)樣本圖像，建立光斑信號(hào)的超完備字典，設(shè)原子大小為，其二維高斯模型如下：

其中：表示光斑的等效高斯寬度，表示光斑的峰值強(qiáng)度，()表示光斑中心點(diǎn)的坐標(biāo)。通過(guò)調(diào)節(jié)()，，四個(gè)參數(shù)來(lái)生成波前信號(hào)子圖像。將樣本圖像展開(kāi)為的一維列向量，將此向量構(gòu)建為一個(gè)矩陣：

設(shè)樣本的數(shù)目為，稱該矩陣為超完備字典，矩陣中的每一列為超完備字典中的一個(gè)原子。圖1是根據(jù)式(6)生成的樣本圖像及完備字典中的部分原子示意圖，其中，圖1(a)是根據(jù)式(6)生成的光斑目標(biāo)樣本，其生成條件如下：圖像大小為41 pixels×41 pixels，光斑中心()坐標(biāo)為(20，20)，峰值15 ADU，等效高斯寬度為＝1.25 pixels，這樣模擬出的目標(biāo)光斑在5 pixels×5 pixels像元內(nèi)集中了80％以上的能量，可以看出，與實(shí)際的目標(biāo)較為接近。圖1(b)是其對(duì)應(yīng)的三維能量譜圖，圖1(c)是根據(jù)以上原理，調(diào)節(jié)各參數(shù)所生成的字典中的部分原子。

圖1 目標(biāo)字典示意圖 (a) 字典中某原子；(b) 原子的三維能量圖；(c) 字典的部分原子

(a) An atom in the over-complete dictionary; (b) The three-dimensional of the atom; (c) Part of the over-complete dictionary

3.2 基于稀疏理論的光斑信號(hào)提取算法

根據(jù)以上構(gòu)造的超完備字典，將待處理的哈特曼圖像進(jìn)行分塊，然后計(jì)算各子塊在字典下的表示系數(shù)，通過(guò)比較各表示系數(shù)的差異，來(lái)判斷該圖像子塊中是背景區(qū)域還是信號(hào)區(qū)域，從而實(shí)現(xiàn)去除噪聲及背景、提取出光斑的目的，具體的步驟如下：

1) 利用(與原子大小相同)的滑動(dòng)窗口，依次將測(cè)試哈特曼圖像分割成各子塊，并將其展開(kāi)為維列向量。

2) 依次計(jì)算各子塊的表示系數(shù)。圖像子塊在超完備字典中的表示系數(shù)可以通過(guò)優(yōu)化式(4)或者式(5)來(lái)求解，此優(yōu)化在Matlab中可以較為方便的實(shí)現(xiàn)。而本文中為了消除噪聲的干擾，得到更加穩(wěn)定的解，將以上式進(jìn)行改進(jìn)為式(8)，并通過(guò)此改進(jìn)式求解系數(shù)。在本文中，稀疏系數(shù)的求解采用工具箱進(jìn)行求解。

其中：是子塊的向量表示，是波前信號(hào)的超完備字典，為圖像子塊在超完備字典中的維表示系數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)控制來(lái)處理不同強(qiáng)度的噪聲。圖3是在不同信噪比下的某單個(gè)子孔徑中目標(biāo)及噪聲的稀疏系數(shù)的差別，從圖中可以看出，在不含有光斑信號(hào)時(shí)系數(shù)較為均勻，在含有目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)的系數(shù)與背景及噪聲的系數(shù)差別較大，且信噪比越大時(shí)，對(duì)比越明顯。

本文中采用均值信噪比進(jìn)行描述，其定義：

3) 建立稀疏指標(biāo)矩陣。若圖像子塊中含有光斑信號(hào)，則求得的表示系數(shù)比較稀疏，即只有少量數(shù)值比較大，其他值均較小；若圖像子塊為背景或噪聲，則求得的表示系數(shù)數(shù)值均比較小。從圖3中可以看出，圖像子塊中的目標(biāo)區(qū)域，其表示系數(shù)與背景及噪聲區(qū)域有較大的差異。

圖3 (a) 不含有目標(biāo)時(shí)，背景及噪聲在字典中的表示系數(shù); (b) 信噪比約為2 時(shí)目標(biāo)及背景、噪聲在字典中的表示系數(shù)；(c) 信噪比約為5 時(shí)目標(biāo)及背景、噪聲在字典中的表示系數(shù)

4) 對(duì)系數(shù)指標(biāo)矩陣進(jìn)行閾值處理。在稀疏程度指標(biāo)矩陣中，目標(biāo)所在位置具有接近于1的數(shù)值，其他位置數(shù)值均較小，在不同信噪比條件下，通常情況下，系數(shù)小于0.5，因此通過(guò)簡(jiǎn)單的閾值操作即可得到光斑信號(hào)，本文系數(shù)的閾值處理式：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，選擇多幅實(shí)驗(yàn)室環(huán)境所采集的S-H WFS圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并將本文的算法處理效果與減閾值算法進(jìn)行了比較。實(shí)驗(yàn)中，目標(biāo)樣本大小為16′16，閾值取0.6，CCD靶面為768 pixels′484 pixels，子孔徑大小為20 pixels′20 pixels，微透鏡陣列尺寸為23′23，有效子孔徑數(shù)400，每一個(gè)子孔徑為一個(gè) 0.51 mm的方孔，在本實(shí)驗(yàn)中，每一個(gè)子孔徑對(duì)應(yīng)焦面19 pixels。

圖4(a)和圖6(a)為所采集到的含噪S-H WFS圖像，從圖中可以看出，光斑信號(hào)幾乎被背景雜波和噪聲所淹沒(méi)。圖6較圖4信噪比更低，圖4(b)和圖6(b)是采用本文所提出的方法處理后的結(jié)果。圖5和圖7是單個(gè)子孔徑圖像處理前后的對(duì)比圖，并將其和減閾值算法進(jìn)行對(duì)比。

圖4 (a) 實(shí)驗(yàn)室采集的含有低噪聲的哈特曼-夏克圖像；(b) 本文算法處理后圖像

圖5 (a) 低噪聲時(shí)處理前單個(gè)子孔徑圖像；(b) 減閾值效果圖；(c) 本文算法處理后結(jié)果

圖6 (a) 實(shí)驗(yàn)室采集的含有較高噪聲的哈特曼-夏克圖像；(b) 本文算法處理后圖像

圖7 (a) 較高噪聲時(shí)處理前單個(gè)子孔徑圖像；(b) 減閾值效果圖；(c) 本文算法處理后結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出算法的性能，將該算法與減閾值算法在不同信噪比的條件下進(jìn)行了比較，并選擇處理后質(zhì)心偏差作為對(duì)比，從圖8中可以看出，隨著信噪比的提高，不管是本文算法還是減閾值算法都能夠較為顯著的減小質(zhì)心計(jì)算的偏差，而本文算法具有較為明顯的優(yōu)越性。但是不可否認(rèn)，本文算法運(yùn)算量較減閾值算法大，實(shí)時(shí)性較減閾值差，但是該算法在理論上提供了一種新的計(jì)算思路。

圖8 不同信噪比下處理前后質(zhì)心偏差曲線

另外，對(duì)不同信噪比條件下本文算法與減閾值算法處理后的質(zhì)心的RMS值及PV值進(jìn)行比較，如表1所示。從表中可以看到，相比于減閾值算法，所提出的算法處理后的質(zhì)心起伏較小，說(shuō)明本文算法的處理后的精度較好，這也與前面的主觀評(píng)價(jià)結(jié)果一致。

表1 不同信噪比下減閾值算法與本文算法平均偏差RMS 及PV 比較

Table 1 The comparison of centroid deviation’s RMS and PV between sparse representation and subtracting threshold under different SNR

5 結(jié) 論

根據(jù)圖像的稀疏表示理論，提出了一種新的去除S-H WFS圖像噪聲的方法。與減閾值算法相比，該算法利用超完備字典來(lái)表示光斑信號(hào)，首先通過(guò)二維高斯模型構(gòu)造光斑信號(hào)的超完備字典，然后，計(jì)算測(cè)試圖像的圖像子塊在超完備字典中的表示系數(shù)，圖像子塊中光斑信號(hào)所在的位置，其表示系數(shù)顯著不同，根據(jù)此原理完成提取光斑信號(hào)的目的。最后將本文算法與減閾值算法進(jìn)行了比較，并對(duì)處理后的質(zhì)心偏差及質(zhì)心的RMS及PV值進(jìn)行了比較，結(jié)果證明了本算法處理的高精度及有效性。

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(KDXS1405)；江蘇省2015大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新計(jì)劃(201510300249)；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科Ⅱ期建設(shè)工程資助項(xiàng)目

The Extraction of Signal in Shack-Hartmann Wavefront Sensor Based on Sparse Representation

ZHANG Yanyan，XU Wentao，CHEN Suting

(Jiangsu Key Laboratory of Meteorological Observation and Information Processing, Nanjing University of Information Science & Technology, Nanjing 210044, China )

Due to the background noise and the detector noise, the centroid error of Shack-Hartmann wavefront sensor is relatively large. A method to filter the noise in sparse region is proposed. First, the sample image is generated by using the two-dimension Gauss model and the over-complete target dictionary is constructed. Then, the sub-image blocks of the test image are extracted successively and the corresponding coefficients are calculated with the constructed over-complete target dictionary. Since the coefficients between the noise and the target are large different, the difference by setting a threshold is used to subtract the target. Experimental results show that, the target can be well subtracted, while the centroid deviation and the RMS and PV of the centroid are smaller than using the method of subtracting threshold.

adaptive optics; Shack-Hartmann wavefront sensor; sparse representation; centroid deviation

TN919.8

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.04.008

2015-06-22；

2015-11-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61071164)；江蘇省高?；鹬卮箜?xiàng)目(12KJA510001)；江蘇省氣象探測(cè)與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目

張艷艷(1983-)，女(漢族)，江蘇南京人。博士，講師，現(xiàn)從事信號(hào)處理工作。E-mail：002243@nuist.edu.cn。