基于凸集理論的繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人工作空間算法

董曉東　段清娟　馬　彪　段學(xué)超

1.西安電子科技大學(xué),西安,7100712.電子裝備結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安,710071

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基于凸集理論的繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人工作空間算法

董曉東1段清娟1馬彪1段學(xué)超2

1.西安電子科技大學(xué),西安,7100712.電子裝備結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安,710071

為求解m≥n(m為繩索數(shù)目，n為機(jī)構(gòu)自由度)繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人的力旋量可行工作空間，提出一種基于凸集理論的非迭代求解算法。該算法利用閔可夫斯基之和的性質(zhì)構(gòu)造繩索的旋量集，借助非迭代的數(shù)學(xué)思想驗(yàn)證該旋量集是否完全包含外部旋量集。首先，通過(guò)確定初始超平面找出凸集所有的邊界超平面,根據(jù)初始超平面偏移的距離確定邊界超平面投影位置; 然后推導(dǎo)出旋量平衡的判定表達(dá)式，并采用數(shù)值分析的方法得到繩牽引機(jī)器人的力旋量可行工作空間;最后，采用該算法對(duì)兩種典型的繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行工作空間求解，結(jié)果驗(yàn)證了所提出的基于凸集理論工作空間求解方法的有效性。

繩牽引機(jī)器人；工作空間；旋量理論；凸集理論

0　引言

繩牽引機(jī)器人是一種用柔性繩索代替?zhèn)鹘y(tǒng)剛性連桿的新型機(jī)器人，通過(guò)電機(jī)驅(qū)動(dòng)絞盤(pán)改變每根繩索的長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器不同的位姿。它以工作空間大、負(fù)載慣量比高、響應(yīng)速度快、執(zhí)行器易重構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛地應(yīng)用在許多領(lǐng)域，如美國(guó)NIST研發(fā)的應(yīng)用于飛機(jī)噴涂、造船、廢物清理等領(lǐng)域的RoboCrane[1]，日本RitSumeikan大學(xué)研制的用于高速裝配的超高速繩牽引并聯(lián)機(jī)器人FALCON[2]，以及國(guó)內(nèi)用于控制500 m口徑大型射電望遠(yuǎn)鏡的饋源艙項(xiàng)目[3]等。

盡管繩牽引機(jī)器人有著各種各樣的優(yōu)勢(shì)，但它也是有一定缺陷的：驅(qū)動(dòng)繩索只能受拉而不能受壓的工作特性，使得n自由度的繩牽引機(jī)器人至少需要n+1根繩索來(lái)實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器的確定運(yùn)動(dòng)[4-5]。在求解工作空間過(guò)程中，要求電機(jī)能夠驅(qū)動(dòng)繩索產(chǎn)生一定的旋量集(力和力矩)，而且外部的被動(dòng)力對(duì)繩索保持張緊也起了有效的作用。文獻(xiàn)[6-7]利用彈簧既受拉又受壓的特性，合理地給機(jī)構(gòu)布置彈簧從而改善繩牽引機(jī)器人的工作空間。

已有不少的學(xué)者基于凸集理論分析了繩牽引機(jī)器人的工作空間。Ebert-Uphoff等[8]定義旋量工作空間為末端執(zhí)行器能夠抵消的外部旋量集，并給出了力旋量封閉的一般判定方法。Bosscher等[9]利用可行凈旋量集的性質(zhì)計(jì)算力旋量工作空間的邊界，并將此方法應(yīng)用到復(fù)雜工作空間的求解中。Bouchard等[10]從幾何學(xué)的角度分析了旋量集的構(gòu)成，結(jié)合凸多面體的性質(zhì)構(gòu)造并計(jì)算了可行旋量集。但相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)工作空間的求解大多只側(cè)重于旋量集的分析，很少對(duì)于繩牽引機(jī)器人工作空間普遍適用的求解算法作詳盡闡述。鑒于此，本文基于旋量理論提出了一種同時(shí)適用于繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人工作空間的一致求解算法。

1　基本原理

1.1定義兩種旋量集

考慮到電機(jī)功率和繩索強(qiáng)度的限制，同時(shí)又為了避免繩索虛牽狀況的發(fā)生，每條繩索的拉力需要在一定的范圍內(nèi)變化。因此，機(jī)構(gòu)在給定的位姿下能夠產(chǎn)生特定的旋量集，以滿足不同任務(wù)需求的旋量。

首先，由繩拉力及繩的布局等機(jī)構(gòu)特性決定的末端執(zhí)行器所能產(chǎn)生的旋量集合稱(chēng)為可行旋量集(the available wrench set)[10]，簡(jiǎn)記為A,且

A={ξ:ξ=JTT}

(1)

其中,JT為單位旋量矩陣,且有

(2)

T為拉力矩陣，有

T=[t1t2…tm]T

(3)

對(duì)于m≥n型繩牽引機(jī)器人，旋量矩陣JT中向量Ji為第i根繩索作用于末端執(zhí)行器上的單位旋量，方向由末端執(zhí)行器鉸接點(diǎn)指向電機(jī)鉸接點(diǎn)。ti為第i根繩索的拉力，繩索的最小拉力是為了避免虛牽，最大張力由電機(jī)的轉(zhuǎn)矩確定。

繩牽引機(jī)器人的許多應(yīng)用中，都要求末端執(zhí)行器能夠產(chǎn)生特定的旋量集以平衡外部旋量，文獻(xiàn)[10]定義該旋量的集合為由特定任務(wù)要求所組成的任務(wù)旋量集。本文把作用于末端執(zhí)行器上的所有旋量集合稱(chēng)為外部旋量集(the external wrench set)，記為E,且

(4)

為實(shí)現(xiàn)不同的任務(wù)要求，旋量集之間必須滿足以下判定條件：

E?A

(5)

式(5)的數(shù)學(xué)含義在二維空間內(nèi)可以理解為：在一個(gè)給定的位姿下，機(jī)器人所產(chǎn)生的旋量集必須包含任務(wù)要求的旋量集。由式(5)可以演化出機(jī)器人平衡方程的一般形式：

JTT+W=0

(6)

式中，W為外力旋量。

1.2奇諾多面體的定義與性質(zhì)

奇諾多面體(Zonotope)[10]是指在歐幾里德空間里一些有限封閉線段的閔可夫斯基之和(Minkowski Sum)[11]，可以簡(jiǎn)單地理解為一些封閉線段的矢量和。若{v0,v1,…}為歐幾里德空間里的一個(gè)矢量組合，則這些矢量的閔可夫斯基之和組成奇諾多面體，記為{∑xivi|0≤xi≤1}，xi為變化系數(shù)，vi為單個(gè)矢量,這些矢量被稱(chēng)為奇諾多面體的發(fā)生元[10]。需要注意的是，二維平面里我們通常把奇諾多面體當(dāng)作是凸多邊形，三維及其以上空間里當(dāng)作是凸多面體，均關(guān)于幾何中心對(duì)稱(chēng)。

圖1給出了4條線段集分別在歐幾里德二維和三維空間里的閔可夫斯基之和。二維空間里，四條線段集的閔可夫斯基之和為一個(gè)凸多邊形，三維空間里為一個(gè)凸多面體。

圖1　4條線段集在二維和三維空間的閔可夫斯基之和

從幾何意義上來(lái)看，凸多面體是由一些最基本的線段矢量在不同的空間里組合而成，而繩牽引機(jī)器人在末端執(zhí)行器產(chǎn)生的旋量集可以看作是一些繩索在指定的拉力范圍下的矢量線段和。因此，A可以借助奇諾多面體的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解分析。

其次，閔可夫斯基之和還可以應(yīng)用于多面體之間，兩個(gè)凸多面體的閔可夫斯基之和仍為凸多面體，如：在歐幾里德d(d≥3)維空間里，兩個(gè)封閉凸多面體X和Y的閔可夫斯基之和可以表示為凸多面體Z[11]：

Z=X⊕Y={x+y|x∈X,y∈Y}

(7)

其中X、Y可以當(dāng)作是凸包，為Rn中所有包含集Si的凸集的交集，X的形式為

(8)

1.3可行旋量集的性質(zhì)

由于E是由不同繩牽引機(jī)器人對(duì)應(yīng)的應(yīng)用所決定的，其所受的廣義力也隨末端執(zhí)行器的任務(wù)需求而改變，所以本文主要側(cè)重于A性質(zhì)的探討。由式(6)可以把A寫(xiě)成以下形式：

(9)

其中，ti為第i根繩索的拉力，Ji為第i列單位旋量矩陣的旋量，j為所有繩索對(duì)末端執(zhí)行器的旋量。

借助于奇諾多面體的定義和性質(zhì)，繩牽引機(jī)器人的A可以當(dāng)作是由繩索拉力矢量構(gòu)成的閔可夫斯基之和。因此在實(shí)際分析過(guò)程中，A的求解問(wèn)題可以抽象為繩索矢量閔可夫斯基之和的求解問(wèn)題。首先，需要把A轉(zhuǎn)化為與奇諾多面體表達(dá)式一致的形式：

0≤θi≤1}

(10)

其次，式(10)可以寫(xiě)成兩個(gè)凸包A1和A2的閔可夫斯基之和，其中:

(11)

A2={Jti,min}

(12)

qi=(ti,max-ti,min)Ji

圖2　空間三索機(jī)器人的構(gòu)型和可行旋量集

圖2以3根繩索驅(qū)動(dòng)的空間并聯(lián)機(jī)器人為例，借助于奇諾多面體和閔可夫斯基之和的性質(zhì)形象直觀地構(gòu)造出A。圖中A由兩個(gè)凸多面體A1、A2的閔可夫斯基之和構(gòu)成，其形狀由繩索矢量的方向決定，大小由繩索拉力的范圍決定。需要注意的是，圖中只簡(jiǎn)單給出了外部旋量的重力矢量，沒(méi)有考慮末端執(zhí)行器所受外界的其他廣義力。

2　算法及構(gòu)造

2.1超平面邊界法

為了找出凸多面體的邊界平面，引入初始超平面和支撐超平面[10]。初始超平面經(jīng)過(guò)矢量的起始點(diǎn)并且垂直于其法向量。支撐超平面經(jīng)過(guò)凸集K邊界上任意一點(diǎn)p,p∈Rn,且其法向量為v,v∈Rn，其形式為

Hv(p)={x∈K|vT(x-p)≥0}

(13)

則凸集K被完全分離在支撐超平面Hv(p)的一側(cè)，且凸集K上的一點(diǎn)在支撐超平面上。需要注意的是，這里的支撐超平面通常是在三維空間下定義的，二維平面里的支撐超平面為一條直線。

由圖3a可以看出，凸多面體是由位于邊界上所有的支撐超平面Hi和Hi′所圍而成，因此支撐超平面在本文中也稱(chēng)為邊界超平面。圖3b所示為由四條封閉線段的閔可夫斯基之和形成的凸多面體以及兩種超平面的分布情況。其中向量nij為同時(shí)垂直于初始超平面和邊界超平面的法向量，方向指向凸多面體的外部，p-、p+分別為兩個(gè)邊界超平面在法向量上的投影點(diǎn)，也即法向量與邊界超平面的交點(diǎn)。邊界超平面總是成對(duì)出現(xiàn)且相互平行，事實(shí)上這對(duì)邊界超平面可以當(dāng)作是由初始超平面沿著垂直于它的法向量分別平移所得。

(a)支撐超平面的分布　　　 (b)凸多面體圖3　凸多面體的超平面分布

基于以上的分析，本文算法的關(guān)鍵在于確定A的法向量nij和邊界點(diǎn)p-、p+。由于凸多面體可以當(dāng)作是它所有邊界超平面的交集，因此式(5)的求解可以簡(jiǎn)化為驗(yàn)證以下的不等式：

(14)

其中,凸k多面體的法向量為Nk=(n1,n2，…，ni，…，nk)，外力旋量v為定值，di為由邊界點(diǎn)p+和對(duì)應(yīng)的法向量nij所確定的數(shù)值。式(14)將多維系統(tǒng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維系統(tǒng)的求解問(wèn)題。圖4以4索3自由度繩牽引機(jī)器人為例，給出了所有初始超平面的平移過(guò)程，并展示了4個(gè)拉力旋量在空間中所有的投影關(guān)系。

圖4　4索3自由度空間機(jī)構(gòu)的所有邊界超平面

2.2算法流程

求解m根繩索n自由度(m≥n型)繩牽引機(jī)器人旋量可行工作空間的主要步驟如下：

(1)選取初始位姿。對(duì)于m根繩索n自由度(m≥n型)繩牽引機(jī)器人來(lái)說(shuō)，首先需要根據(jù)機(jī)器人的構(gòu)型確定它的工作空間范圍，并確定工作空間內(nèi)逐點(diǎn)掃描的步長(zhǎng)，然后選取需要判斷的初始位姿，計(jì)算出旋量矩陣JT。

ni=q/‖q‖

(15)

(16)

而向量q第c列元素為qc=(-1)c+1·

μ+=ΔT(λ+)nd+Jdtd，min

(17)

μ-=ΔT|λ-|nd+Jdtd，min

(18)

ΔT=ti,max-ti,min其中，nd為凸多面體的第d個(gè)法向量，Jd為第d根繩索的單位旋量，td,min為第d根繩索的最小拉力。

因此，借助于初始超平面偏移的距離，A的邊界超平面就能完全確定了。

(4)繪制工作空間。按照等步長(zhǎng)對(duì)工作空間范圍內(nèi)的位姿點(diǎn)依次進(jìn)行掃描，判斷下一個(gè)位姿點(diǎn)是否滿足判定條件，直到找出滿足條件的所有位姿點(diǎn)，可繪制出機(jī)器人的可行工作空間。

3　仿真分析

3.1繩牽引串聯(lián)機(jī)器人工作空間

3.1.1模型的建立

繩牽引串聯(lián)機(jī)器人模型主要由機(jī)架、驅(qū)動(dòng)器、絞盤(pán)、繩索、連桿等組成，本文在此基礎(chǔ)上引入了1根彈簧(目的是為了有效改善串聯(lián)機(jī)器人的工作空間[6])。圖5為3根繩索、2根連桿和1根彈簧組成的繩牽引平面串聯(lián)機(jī)器人。

圖5　由3根繩索、1根彈簧驅(qū)動(dòng)的串聯(lián)機(jī)器人

圖5中，OXY為全局坐標(biāo)系，o1x1y1、o2x2y2分別是固連在連桿1和連桿2上的局部坐標(biāo)系，連桿的質(zhì)心位于其中心處，s2c1c2、d1d3分別為固連在連桿1、2上的輕質(zhì)剛性桿。b1c1d1、b2c2、b3c3d3分別為各繩索的布局，s1s2為彈簧的布局，其中節(jié)點(diǎn)s2、c1、c2、d1、d3處是圓形套環(huán)。連桿和彈簧的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)在全局坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系下的位置如表1所示。

由于求解機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)矩陣時(shí)需要考慮到連桿間廣義力的作用，因此需要考慮機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間中的動(dòng)力學(xué)方程封閉形式的一般結(jié)構(gòu)式如下：

表1　繩牽引串聯(lián)機(jī)器人的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)

(19)

(20)

(21)

Ls=L-k(ls-ls0)2/2

(22)

(23)

其中，rj為機(jī)器人繩索和彈簧的長(zhǎng)度，M01、M02為齊次坐標(biāo)變換矩陣，根據(jù)文獻(xiàn)[12]，rj可寫(xiě)為

r1=|0lOb1-M01·1lo1c1|+

|M01·1lo1c1-M02·2lo2d1|

(24)

r2=|0lOb2-M01·1lo1c2|

(25)

r3=|0lOb3-M01·1lo1c3|+|M01·1lo1c3-M02·2lo2d3|

(26)

rs=|0lOs1-M01·1lo1s2|

(27)

式中，0lOb1為Ob1在全局坐標(biāo)系下OXY的位置向量；1lo1c1、2lo2d1分別為o1c1、o2d2在局部坐標(biāo)系o1x1y1、o2x2y2下的位置向量；其他類(lèi)推。

綜上，式(6)可以整理為

(28)

需要指出的是本文引入彈簧的目的并不是為了結(jié)構(gòu)上的改變，主要是為了給機(jī)構(gòu)提供一個(gè)大小和方向可控的被動(dòng)力，也因此有效地增大了機(jī)器人的工作空間[6]，在計(jì)算時(shí)需要考慮到彈簧的伸縮特性。

3.1.2數(shù)值仿真

串聯(lián)機(jī)器人的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2　串聯(lián)機(jī)器人的參數(shù)值

利用MATLAB編程，結(jié)合以上求解公式和相關(guān)參數(shù)，求解出繩牽引串聯(lián)機(jī)器人的旋量可行工作空間。圖6分別給出了機(jī)器人末端在廣義坐標(biāo)和全局坐標(biāo)下的旋量可行工作空間。

(a)廣義坐標(biāo)

(b)全局坐標(biāo)系圖6　繩牽引串聯(lián)機(jī)器人的可行工作空間

該串聯(lián)機(jī)構(gòu)的繩索和彈簧分別組成不同的拉力矢量，計(jì)算出相應(yīng)的旋量矩陣，利用上文的非迭代算法可快速求解出滿足判定條件的所有位姿點(diǎn)。圖6所示的工作空間表明該工作空間符合連桿2末端所能到達(dá)的范圍，因此該算法對(duì)于m≥n型繩牽引串聯(lián)機(jī)器人工作空間的求解有效。

3.2繩牽引并聯(lián)機(jī)器人工作空間

3.2.1模型的建立

圖7　4索3自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人

圖7是4根繩索3自由度組成的繩牽引并聯(lián)機(jī)器人(4-3-CDPPM[13])，圖中Ai(i=1,2,3,4)為滑輪與繩索的鉸接點(diǎn)，Bi為繩索與動(dòng)平臺(tái)的鉸接點(diǎn)。假設(shè)不計(jì)繩索的重力，且不考慮繩索的柔性，OXY是全局坐標(biāo)系,o1x1y1是固連在動(dòng)平臺(tái)上的局部坐標(biāo)系。第i根繩索的繩長(zhǎng)矢量為

Li=oAi-oo1-ori

(29)

式中，oAi為固定鉸接點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置矢量；oo1為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在全局坐標(biāo)系下的位置矢量；ori為動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置矢量；oR1為局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；1Bi為Bio1在局部坐標(biāo)系o1x1y1下的位置矢量。

動(dòng)平臺(tái)的力旋量平衡方程為

(30)

3.2.2數(shù)值仿真

由文獻(xiàn)[13]可知繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)及機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)如表3所示。

表3　繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)

不計(jì)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量，且外界環(huán)境對(duì)動(dòng)平臺(tái)的力旋量為0，繩索的最小拉力為2 N,最大拉力為500 N。結(jié)合以上算法用MATLAB編程求解出4-3-CDPPM分別在φ=0°和3°的旋量可行工作空間，如圖8所示。

(a)φ=0°　　　　　　　 (b)φ=3°圖8　繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的可行工作空間

從圖8可以看出，采用基于旋量理論工作空間求解算法得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[13]中采用降維理論得到的工作空間完全相同，從而驗(yàn)證了該算法對(duì)m≥n型繩牽引并聯(lián)機(jī)器人旋量可行工作空間求解的有效性。

4　結(jié)語(yǔ)

本文提出一種旋量可行工作空間的快速求解算法，同時(shí)適用于m≥n型繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人。算法考慮到繩索的拉力范圍，充分利用奇諾多面體的性質(zhì)構(gòu)造出繩索的旋量集合，并用幾何方法描繪出4索3自由度空間機(jī)器人的超平面分布情況，結(jié)合數(shù)學(xué)方法表示出凸集的邊界判定條件，最終得到基于凸集理論的求解算法。用該算法分別對(duì)兩種典型的繩牽引串并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行工作空間求解，并與傳統(tǒng)求解算法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了該算法的有效性。

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(編輯王艷麗)

Workspace Algorithm of Cable-driven Serial and Parallel Manipulators Based on Convex Set Theory

Dong Xiaodong1Duan Qingjuan1Ma Biao1Duan Xuechao2

1.Xidian University,Xi’an,710071 2.Key Laboratory of Electronic Equipment Structure of Ministry of Education,Xi’an,710071

In order to solve the wrench feasible workspace ofn-degrees-of-freedom serial and parallel manipulators driven bymcables, a non-iterative algorithm was proposed based on covex set theory. The properties of Minkowski Sum was introduced to construct the cable wrench set, and a non-iterative mathematical method was presented to verify if the wrench set fully included the external wrench set. Firstly, all boundary hyperplanes of convex set would be found by determining initial hyperplane. The projected boundary positions were determined according to the offset distance of the initial hyperplane. Then the explicit expression of the wrench equilibrium was deduced, and the wrench feasible workspace of cable-driven manipulator was obtained by using numerical analysis. The results demonstrate the effectiveness of the wrench feasible workspace analysis method based on convex set theory.

cable-driven manipulator; workspace; screw theory; covex set theory

2015-11-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375360,51405362);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016JM5034)；留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.002

董曉東，男，1991年生。西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)樗黩?qū)動(dòng)機(jī)器人和機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。段清娟(通信作者)，女，1971年生。西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院副教授。馬彪，男，1989年生。西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。段學(xué)超，男，1981年生。西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室副教授。