具時(shí)滯全局耦合相振子模型的穩(wěn)定性

蘇日娜

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

具時(shí)滯全局耦合相振子模型的穩(wěn)定性

蘇日娜

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

在耦合強(qiáng)度和延遲反饋強(qiáng)度存在的條件下，研究具時(shí)滯全局耦合相振子延遲反饋模型，通過(guò)對(duì)其特征值分布的討論，對(duì)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，討論周期解的存在性及Hopf分支發(fā)生的條件.

時(shí)滯；耦合系統(tǒng)；周期解；Hopf分支

全局耦合相振子模型是一類能夠模擬獨(dú)立神經(jīng)元同步現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)［1-2］，它描述了全局耦合相振子的集體同步現(xiàn)象可以通過(guò)延遲反饋被抑制或促進(jìn)［3-5］.考慮到多點(diǎn)延遲反饋的刺激與時(shí)滯和極性同樣重要，因此為了解決一些重要的問(wèn)題，對(duì)具有延遲反饋的全局耦合相振子系統(tǒng)的研究非常有意義［6-11］.本論文對(duì)一個(gè)全局耦合相振子的重要模型進(jìn)行了討論，這個(gè)模型描述了多點(diǎn)延遲反饋對(duì)由疾病引起的神經(jīng)元的同步和有缺陷的中樞神經(jīng)反射器的神經(jīng)病患的刺激的影響.

1 穩(wěn)定性

討論時(shí)滯全局耦合相振子延遲反饋系統(tǒng)［12］：

其中：C是耦合強(qiáng)度，N是振子的總數(shù)，K是延遲反饋的強(qiáng)度.有M個(gè)不同的極性pm=±1，這里平均場(chǎng)通過(guò)不同的電極進(jìn)行傳遞，ρjm是額外的系數(shù)，ωj代表第j個(gè)振子，τm（m=1，2，…）是時(shí)滯.在文獻(xiàn)［12］中，學(xué)者主要在C=0和K=0的情況下對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了分析，并且描述了關(guān)于鎖相周期解的物理現(xiàn)象.

在本文中，主要研究在C≠0且K≠0的情況下，N=2，M=2系統(tǒng)周期解的存在性.此時(shí)系統(tǒng)表示兩個(gè)振子ω1，ω2.ρ11表示電極1對(duì)振子1的作用，ρ12表示電極1對(duì)振子2的作用，ρ21表示電極2對(duì)振子1的作用，ρ22表示電極2對(duì)振子2的作用，即自身對(duì)自身的作用相等ρ11=ρ22，外界對(duì)自身的作用ρ12=ρ21，C/2=a，（a＞0），K（ρ11-ρ12）/2=h，K（ρ21-ρ22）/2=-h，（h＞0）.利用泰勒公式（1）可化為：

本文的目的是同時(shí)考慮物理和數(shù)學(xué)的因素來(lái)確定系統(tǒng)（2）的漸進(jìn)行為.由于多重延遲反饋是控制時(shí)空同步模式的有效方法，不同的空間刺激與時(shí)滯和極性是一樣重要.因此分析系統(tǒng)（2）的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)越來(lái)越有意義.通過(guò)討論系統(tǒng)（2）特征方程的特征根的分布情況去分析周期解的存在性和時(shí)滯穿過(guò)一序列臨界值發(fā)生Hopf分支的條件［13-14］.也就是說(shuō)，在直接或間接耦合振子之間實(shí)現(xiàn)空間的同步過(guò)程，時(shí)滯扮演了非常重要的角色.如果系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，那么兩個(gè)振子可以達(dá)到非常完美的同步，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則振子間無(wú)法達(dá)到同步.

假設(shè)令（u1u2）為系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定點(diǎn)，且（u1u2）滿足下式：

求出：

其中：

模型（4）在（0，0）處的線性部分為：

相應(yīng)的特征方程為：

對(duì)于τ=0變?yōu)椋?/p>

定理1

（i）如果u＞0，當(dāng)λ∈（-2au0）時(shí)，模型（7）的所有的根都具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；

（ii）如果u＜0，模型（6）至少含有一個(gè)具有正實(shí)部的根，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.

現(xiàn)在假設(shè)τ＞0，令iβ（β＞0）是模型（6）的純虛根.將它代入到模型（6）中并分離實(shí)部與虛部后得到：

繼續(xù)化簡(jiǎn)后得到：

其中：d1=2au，d2=-h2（u+1）2，d3=2h2（u+1），d4=h2（u2-1）.

平方后得到：

由于計(jì)算極其復(fù)雜，假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)f3=0時(shí)的情況下進(jìn)行計(jì)算，求出：

由式（9）可以得到：

定義λ（τ）=α（τ）+iβ（τ）是模型（6）的根，且有α（τ）=0和iβ（τ）=β0，則得到如下結(jié)論.

定理2 當(dāng)-1＜u＜0時(shí)，系統(tǒng)在τ=τj（j=0，1，…）處發(fā)生Hopf分支，存在周期解.

證明 對(duì)模型（6）中的τ進(jìn)行求導(dǎo)，得到：

2 結(jié)論

本文主要研究了具有時(shí)滯的全局耦合相振子模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).在系統(tǒng)中，通過(guò)假設(shè)振子對(duì)自身的影響以及振子對(duì)振子之間的影響二者反作用，重組系統(tǒng)得到新的微分模型.求出當(dāng)不存在時(shí)滯（τ=0）時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間以及存在時(shí)滯（τ≠0）的情況下，通過(guò)分析系統(tǒng)相應(yīng)的特征方程根的分布，證明了系統(tǒng)周期解的存在性.

［1］ BROWN E，HOLMES P，MOEHLIS J.G1oba11y coup1ed osci11ator networks［J］.New York：Springer，2003：183-215.

［2］ IZHIKEVICH E M.Dynamica1 Systems in Neuroscience：The Geometry of Excitabi1ity and Bursting［M］.Cambridge：MIT Press，MA，2007.

［3］ NIEBURE E，SCHUSTER H，KAMMEN D.Co11ective frequencies and meta stabi1ity in networks of 1imit-cyc1e osci11ators with time de1ay［J］.Phys Rev Lett，1991，67：2753.

［4］ ROSENBLUM M，PIKOVSKY A.Contro11ing synchronization in an ensemb1e of g1oba11y coup1ed osci11ators［J］.Phys Rev Lett 2004，92：114102.

［5］ YEUNG M，STROGATZ S.Time de1ay in the Kuramoto mode1 of coup1ed osci11ators［J］.Phys Rev Lett，1999，82：648-651.

［6］ JING Z，YANG J，F(xiàn)ENG W.Bifurcation and chaos in neura1 excitab1e system［J］.Chaos，So1itons and Fracta1s，2006，27：197-215.

［7］ LIU C，TIAN Y.E1iminating osci11ations in the Internet by time-de1ayed feedback contro1［J］.Chaos，So1itons and Fracta1s，2008，35：878-887.

［8］ RAMESH M，NARAYANAN S.Chaos contro1 of Bonhoeffer-van der Po1 osci11ator using neura1 networks［J］.Chaos，So1itons and Fracta1s，2001，12：2395-23405.

［9］ WANG J，CHEN L，F(xiàn)EI X.Ana1ysis and contro1 of the bifurcation of Hodgkin-Hux1ey mode1［J］.Chaos，So1itons and Fracta1s，2007，31：247-256.

［10］ WANG Z，CHU T.De1ay induced Hopf bifurcation in a simp1ified network congestion contro1 mode1［J］.Chaos，So1itons and Fracta1s，2006，28：161 -172.

［11］ ZHANG Q，WEI X，XU J.Stabi1ity of de1ayed ce11u1ar neura1 networks［J］.Chaos，So1itons and Fracta1s，2007，31：514-520.

［12］ OMEL O E，CHENKOA B C，HAUPTMANNB C.Co11ective dynamics of g1oba11y coup1ed phase osci11ators under mu1tisite de1ayed feedback stimu-1ation［J］.Physica D，2008，237：365-384.

［13］ RINA S，CHUNRUI Z，ZUOLIN S.Stabi1ity Ana1ysis for Mutua11y De1ay-coup1ed Semiconductor Lasers System［J］.Abstract and App1ied Ana1ysis，2013，Artic1e ID：248379.

［14］ 蘇日娜.具時(shí)滯耦合微分系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)［D］.哈爾濱：東北林業(yè)大學(xué)，2014.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

The StabilitY of GloballY CouPled Phase Oscillators SYstem with DelaY

SU Rina
（Co11ege of Mathematics，Inner Mongo1ia University for Nationa1ities，Tong1iao 028043，China）

Under the condition of coup1ing intensity and de1ayed feedback，a kind of g1oba11y coup1ed phase osci11ators system with time de1ay is considered.By ana1zing the distribution of the roots to the associated characteristic equation，the existence of the periodic so1ution for the system and the Hopf branch conditions are investigated.

time de1ay；coup1ed system；periodic so1ution；Hopf branch

O193

A

1008-8423（2016）02-0159-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.012

2016-05-30.

蘇日娜（1988-），女，碩士，主要從事時(shí)滯微分方程的研究.