一類正倒向隨機微分方程的比較定理

苗 慧

（浙江長征職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310023）

一類正倒向隨機微分方程的比較定理

苗 慧

（浙江長征職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310023）

主要提出了一類倒向隨機微分方程的兩個定理，探討了在Lipschitz條件下的非線性倒向隨機微分方程解的存在唯一性定理、正倒向隨機微分方程的比較定理以及它們的證明.

倒向；隨機微分方程；存在唯一性定理；比較定理

1994年Ma，Protter和Yong給出了一般形式的FBSDEs［1］：

在一定條件下，給出了FBSDEs求解的“四步法”.之后，Hu和Peng［2］，Hamadene［3］等在上述FBSDEs的特殊形式方程進行了討論，給出了解的存在唯一性條件.下面討論部分耦合的FBSDEs：

即：

對于（H2）中α＞0，k（t，u）是定義在［0，T］×［0，∞）上的連續(xù)純量函數(shù)，對于固定的t關(guān)于u是單調(diào)的凹函數(shù)，且滿足?t∈［0，T］，有k（t，0）=0，且使常微分方程終值問題：

且當(dāng)t＞0時，k（t，u）≤m （t）+n （t）u，其中m（t）≥0，n（t）≥0，且：

正倒向隨機微分方程的比較定理是隨機分析中一個重要而困難的問題，首先已經(jīng)獲知正向隨機微分方程的比較定理，下面討論滿足上面的非Lipschitz條件的倒向隨機微分方程解的存在唯一性定理.

1 解的存在唯一性定理

存在唯一的Ft適應(yīng)解（Y，Z）∈M（0，T，R×Rd）.

證明見文獻［4］.

定理1 假設(shè)f（·，0，0）∈M（0，T，R），且f滿足條件（H2），，則存在唯一的（Y，Z）∈，使得方程：

成立.

這表明f＇（·，0，0）∈M（0，T，R），根據(jù)命題，方程（2）存在唯一的解（Y＇，Z）∈M（0，T，R×Rd），因此方程（1）存在唯一解，且Yt+Vt連續(xù).

注1 如果Vt≡0，?t∈［0，T］，則定理1的結(jié)論就是文獻［4］的主要結(jié)果.

2 比較定理

定理2 對于兩個正向隨機微分方程：

證明 對于正倒向隨機微分方程組：

即：

記

所以：

即：

可以轉(zhuǎn)化為：

其中：

即bs有界

此時as的有界性無法確定，下面用停時列來解決此問題.定義停時列τn=inf｛t，at＞n｝；τn=∞如果inf｛t，at＞n｝=?.

不妨設(shè)τi＞t，i=1，2，…，在上考慮FBSDE，令：

兩端從 ［0，τn∧T ］積分，即：

［1］ MA J，Protter P，YONG J.So1ving forward-backward stochastic differentia1 equations exp1icit1y a four step scheme［J］.Probabi1ity Theory and Re1ation Fie1ds，1994，98（7）：339-359.

［2］ HU Y，PENG S.So1ution of forward-backward stochastic differentia1 equations［J］.Prob Theory Re1at Fie1ds，1995，103（5）：273-283.

［3］ HAMADENE S.Backward-forward SDEs and stochastic differerntia1 games［J］.Stochastic Process and their App1ications，1998，77（23）：1-15.

［4］ 王贏，王向榮.一類非Lipschitz條件的BSDE適應(yīng)解的存在唯一性［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計，2003，19（3）：245-251.

責(zé)任編輯：高 山

The ComParison Theorem of the Forward-backward Stochastic Differential Equation

MIAO Hui
（Zhejiang Changzheng Professiona1&Technica1 Co11ege，Hangzhou 310023，China）

In this paper，we propose two theorems of backward stochastic differentia1 equations discuss and prove，the existence and uniqueness theorem of the so1ution of the non1inear BSDE under Lipschitz condition，the comparison theorem of the forward-backward stochastic differentia1 equation.

backward；stochastic differentia1 equation；existence and uniqueness theorem；comparison theorem

O241.8

A

1008-8423（2016）02-0156-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.011

2016-05-05.

苗慧（1982-），女，碩士，講師，主要從事數(shù)值與迭代的研究.