一類四維分段線性系統(tǒng)的極限環(huán)分支

朱道宇

（貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550025）

一類四維分段線性系統(tǒng)的極限環(huán)分支

朱道宇

（貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550025）

利用平均法研究了一類由簡(jiǎn)單四維中心型微分系統(tǒng)擾動(dòng)而得的連續(xù)分段線性微分系統(tǒng)的分支極限環(huán)的個(gè)數(shù)，得到在位移函數(shù)的一階展開式意義下，極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界是3.

極限環(huán)；平均法；分段線性系統(tǒng)

在微分方程定性理論中，極限環(huán)問題一直是備受關(guān)注的問題之一.在二維平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)研究中有很多經(jīng)典問題，研究這些問題主要有兩種思路，第一種是Hi1bert第16問題［1-2］，第二種是擾動(dòng)一個(gè)給定的微分系統(tǒng)，討論新系統(tǒng)從原系統(tǒng)的周期軌中分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù).例如下面的中心型平面線性系統(tǒng)：

經(jīng)過一個(gè)微小的擾動(dòng)變?yōu)椋?/p>

其中：ε是一個(gè)小參數(shù)，P（x，y）和Q（x，y）是2次或2次以上的多項(xiàng)式，研究擾動(dòng)后的微分系統(tǒng)從原系統(tǒng)的周期軌中是否分支出極限環(huán)，以及極限環(huán)的個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性等.對(duì)連續(xù)分段線性系統(tǒng)的極限環(huán)研究有很多是利用第二種思路［3-5］.1990年，Lum和Chua［6］猜想一個(gè)分兩段的二維連續(xù)分段線性系統(tǒng)至多只有一個(gè)極限環(huán). 1998年，此猜想在文獻(xiàn)［7］中得到證明.當(dāng)分段線性系統(tǒng)的維數(shù)大于2時(shí)，關(guān)于極限環(huán)的討論將變得比較復(fù)雜，一類四維連續(xù)分段線性微分系統(tǒng)的形式如下：

函數(shù)F：R4→R4，F(xiàn)（x）=Ax+φ（kTx）b，其中：A∈M4（R），k，b∈R4＼｛0｝，φ：R→R是分段線性函數(shù)，

當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)（1）簡(jiǎn)化為：該系統(tǒng)是一個(gè)中心型線性系統(tǒng)，其非平凡解都是周期解［8］.

1 平均法

為了研究系統(tǒng)（1）從系統(tǒng)（3）的周期軌中分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)，所用的主要工具是一階平均法，平均法不要求向量場(chǎng)是可微的.平均函數(shù)的簡(jiǎn)單孤立零點(diǎn)的存在性條件以Brouwer度的形式給出.事實(shí)上，Brouwer度理論是平均法的著眼點(diǎn).對(duì)一個(gè)有限維的函數(shù)而言，連續(xù)是Brouwer度存在的充分條件.

引理1 考慮微分系統(tǒng)：

其中H：R×D→Rn，G：R×D×（-εf，εf）→Rn是連續(xù)函數(shù)，關(guān)于變量t是T周期的，D是Rn的開子集.定義函數(shù)h：D→Rn為：

并設(shè)：

i）函數(shù)H和G關(guān)于x是局部Lipschitz的；

該引理的證明參見文獻(xiàn)［9］.條件i）保證了區(qū)間［0，T］上的初值問題解的存在唯一性，因此?z∈D，可以用x（·，z，ε）表示系統(tǒng)（4）的滿足初值條件x（0，z，ε）=z的解.定義位移函數(shù)ζ：D×（-εf，εf）→Rn如下：

則位移函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)應(yīng)微分系統(tǒng)（4）的周期解.

注1 對(duì)任意的z∈D，有：x（T，z，ε）-x（0，z，ε）=ζ（z，ε），

且函數(shù)ζ可表示為：ζ（z，ε）=εh（z）+ε2O（1），

其中：h由式（5）給出，O（1）表示在D×（-εf，εf）的任一緊子集上有界的函數(shù).顯然當(dāng)ε充分小時(shí)，z=φ（0，ε）是ζ（·，ε）的一個(gè)孤立零點(diǎn).

注2 設(shè)函數(shù)h：D→Rn是C1的，h（a）=0，其中D是Rn的開子集，a∈D.如果a是h的單根，則存在a的鄰域V，使得0，所以Brouwer度dB（h，V，a）∈｛-1，1｝.

2 主要結(jié)果

關(guān)于系統(tǒng)（1）的極限環(huán)個(gè)數(shù)，有如下結(jié)論：

為了證明定理1，下面給出兩個(gè)命題，命題2的結(jié)論蘊(yùn)含了定理1的結(jié)論.首先將系統(tǒng)（1）中的函數(shù)φ（kTx）變換成一個(gè)形式較簡(jiǎn)單的函數(shù)φ（x1），其中x=（x1，x2，x3，x4）.

命題1 系統(tǒng)（1）可通過線性變換和變量置換變成如下形式：

證明 設(shè)J是4階可逆矩陣，對(duì)系統(tǒng)（1）作線性變換x=Jy，得：

容易找到可逆矩陣J，使得J-1A0J=A0，kTJ=eT1，這里的e1是R4的標(biāo)準(zhǔn)基的第一個(gè)向量.

為了運(yùn)用平均法，需將系統(tǒng)（7）寫成平均理論的規(guī)范形式.作變換：

選取θ作為微分系統(tǒng)的新的獨(dú)立變量，則系統(tǒng)（7）變?yōu)椋?/p>

其中：

令D=R+×R+×S1，其中：R+=（0，+∞），S1=R/（2πZ），利用引理1可得：函數(shù)h：D→R3，h=（h1，h2，h3），其中：

將Hi（i=1，2，3）的表達(dá)式代入上式，算得：

其中ci是線性依賴于aij的常數(shù)，

命題2 方程I1（r）=cr有如下性質(zhì)：

2）當(dāng)c=0時(shí)，區(qū)間（0，1］是解的連續(xù)統(tǒng)；

證明 當(dāng)c=0時(shí)，易知?r∈（0，1］是方程的解.當(dāng)c≠0時(shí)，作變換得等價(jià)方程時(shí)，方程僅有一個(gè)解u*＞0，即r*＞1.證完.

根據(jù)引理1，利用平均法研究系統(tǒng)（8）的2π-周期軌需關(guān)于變量（r，ρ，s）解方程組hk（r，ρ，s）=0，k=1，2，3.為此，先求解（9）的前兩個(gè)方程，得：

其中：

代入方程組（9）的第三個(gè)方程，得：.由簡(jiǎn)單的圖形分析可知，當(dāng)

其中：

如果s*是f（s）=0的解，則僅當(dāng)它滿足時(shí)才對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（1）的一個(gè)周期解.此時(shí)，由命題2得r*＞1.方程組（9）的第二個(gè)方程給出ρ*.現(xiàn)在討論方程f（s）=0的解的最大個(gè)數(shù).將coss=x和代入f（s）=0，得：

方程（10）和（11）等價(jià)于如下的6次方程：

注意到方程的解是成對(duì)出現(xiàn)的，因此如果s*是解，則s*+π也是解.

函數(shù)f（s），d（s），k1（s）和k2（s）具有性質(zhì)f（s+π）=-f（s），d（s+π）=d（s），k1（s+π）=-k1（s），k2（s+π）=所以由推出

由此可知，在位移函數(shù)的一階展開式意義下，系統(tǒng)（1）的極限環(huán)最多為3個(gè).

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［9］ SANDERS J A，Verhu1st F.Averaging Methods in Non1inear Dynamica1 Systems［M］.London：Springer-Ver1ag，1985.

責(zé)任編輯：高 山

Bifurcation of Limit CYcles for a Class of 4-dimensional Piecewise Linear SYstems

ZHU Daoyu
（Co11ege of Science，Guizhou Minzu University，Guiyang 550025，China）

The averaging method is used to discuss the bifurcation of 1imit cyc1es for a c1ass of continuous piecewise 1inear differentia1 systems constructed by perturbing simp1e 4-dimensiona1 center differentia1 systems.The upper bound for the number of 1imit cyc1es is three in the case of first order expansion of the disp1acement function.

1imit cyc1es；averaging method；piecewise 1inear systems

O193

A

1008-8423（2016）02-0149-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.009

2016-03-08.

貴州省科技廳聯(lián)合基金項(xiàng)目（黔科合LH字［2014］7377號(hào)）.

朱道宇（1982-），女，碩士，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究.