量子信息單調(diào)性的研究

向玉玲，嚴(yán) 倩

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331）

量子信息單調(diào)性的研究

向玉玲，嚴(yán) 倩

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331）

闡述的是當(dāng)ρ為3維復(fù)Hi1bert空間中不相干的密度算子時(shí)，Skew information單調(diào)遞減，且在2維的量子體系中Skew information是單調(diào)遞減的啟發(fā)下繼續(xù)討論其單調(diào)性.

單調(diào)性；密度矩陣；換位子；跡

Skew information由Wigner-Yanase首次提出，已有50多年的發(fā)展歷史了.該信息在數(shù)學(xué)及量子力學(xué)方面之所以成為許多學(xué)者研究的重要課題，是因?yàn)橐韵氯c(diǎn)：

1）Skew information與不確定度關(guān)系有著密切的聯(lián)系，如：Heisenberg型不確定關(guān)系，其中它們是通過(guò)跡不等式聯(lián)系的，也可以用來(lái)檢驗(yàn)量子糾纏.

2）Skew information在2-量子態(tài)系統(tǒng)里要考慮一些非線性迭代模型的衰退原理，說(shuō)明該信息與一致連續(xù)的熵態(tài)是等價(jià)的.

3）Skew information在不相干的算子下可能是單調(diào)遞減的［1］，研究該信息單調(diào)性是對(duì)量子力學(xué)在討論系統(tǒng)信息的遺失問(wèn)題會(huì)給出很好的幫助.

1 預(yù)備知識(shí)

在1963年Wigner和Yanase［2］首次提出量：

則稱其為Skew information，其中tr表示跡（trace），［］表示換位子，即：A，B［］=AB-BA，ρ為密度算子，H為Hami1tionian算子.

定義1［3］ρ為密度算子，

為另一個(gè)密度算子；則有：

｛ρj｝為一列密度算子，則有：

定義2［4］仿射變換：，其中ρ，σ是密度算子.

引理1［5］量子信息（Skew information）：有以下三條性質(zhì)：

ii）量子信息在張量積下滿足可加性：

iii）若ρt滿足Landau-Von Neumann等式，從而?t∈?有：），則稱：

量子信息滿足不變性.

引理2［3］等式成立的充要條件是：與H相交換.并且有：

ii）當(dāng)H為2階Hermite矩陣時(shí)，則：不等式（4）成立.

引理3［6］設(shè)仿射變換是密度算子，則：

引理4［6］設(shè)ρ，σ為復(fù)合系統(tǒng)H1?H2的密度算子，并令ρ1=tr2ρ，ρ2=tr1ρ分別為ρ在H2，H1上的部分跡，σ1=tr2σ，σ2=tr1σ也分別為σ在H2，H1上的部分跡，則：

2 主要結(jié)論

定理1 若對(duì)為Hi1bert空間H上所有密度算子組成的集合），滿足：，其中U為酉算子，τ為密度算子，tra為部分跡，則：

由引理4［4］可得：有：

則有：

定理2 設(shè)引理2中i）成立，則：當(dāng)H為三階Hermite矩陣時(shí)，不等式（4）成立.

且對(duì)密度矩陣ρ為：

由于ρ是密度算子，則ρ必為正定的Hermite矩陣，一定存在矩陣，則可以計(jì)算出：

下面給出一個(gè)例子，滿足不等式（3）嚴(yán)格成立，則不等式（4）也是成立的.

例1 對(duì)λ1+λ2+λ3=1，λj＞0，令：

故不等式（3）成立.

3 小結(jié)

本文主要說(shuō)明在3維復(fù)Hi1bert中Skew information是單調(diào)遞減的，實(shí)際上，該結(jié)論對(duì)后續(xù)研究Skew information在一般的空間中的單調(diào)性有一定的理論基礎(chǔ).

［1］ DU S P，BAI Z F.The Wigner-Yanase information can increase under phase sensitive incoherent operations［J］.Anna1s of Physics，2015，359：136 -140.

［2］ WIGNER E P，yANASE M Y.Information contents of distribution［J］.Proceedings of the nationa1 academy of sciences of the united states of America，1963，49：910-918.

［3］ LUO S L，ZHANG Q.Skew information decreases under quantum measurements［J］.Theoretica1 and Mathematica1 Physics，2007，151（1）：529-538.

［4］ CHEN Z Q.Wigner-Yanase skew information as tests for quantum entang1ement［J］.Physica1 Review，2005，A 71，052320.1-052320.5.

［5］ LUO S L，ZHANG Q.On skew information［J］.IEEE transaction on information theory，2004，50（8）：1778-1782.

［6］ LUO S L，ZHANG Q.Information distance on quantum-state space［J］.Physica1 Review，2004，69（3）：032106.1-032106.8.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Research on MonotonicitY of Quantum Information

XINAG Yu1ing，YAN Qian
（Schoo1 of Mathematics，Chongqing Norma1 University，Chongqing 401331，China）

In this paper，we propose skew information can decrease under a c1ass of incoherent operations in the three-dimensiona1 Hi1bert space.And it is fo11owing the framework of skew information decrease under non-se1ective quantum measurement for two-dimensiona1 quantum systems.

monotonicity；density operator；commutator；trace

O177

A

1008-8423（2016）02-0142-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.007

2016-04-19.

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（11271390）.

向玉玲（1990-），女，碩士生，主要從事泛函分析的研究.