不可約M矩陣最小特征值的界

李艷艷

（文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000）

不可約M矩陣最小特征值的界

李艷艷

（文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000）

利用不可約非負(fù)矩陣A和不可約M矩陣B的性質(zhì)，給出了不可約非負(fù)矩陣A。B-1的新上界ρ（A。B-1）≤，以及B的最小特征值τ（B）的新下界數(shù)值算例表明了新界的有效性.

不可約；M矩陣；Hadamard積；最小特征值

不可約M矩陣的估計(jì)是矩陣分析領(lǐng)域中非常重要的研究課題，近年來受到比較多的青睞，許多學(xué)者都對(duì)該問題進(jìn)行過研究，并得到了一系列結(jié)果［1-8］.本文在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)該問題繼續(xù)研究.

為下文的論述，先給出一些定義和引理.

Cn×n（Rn×n）表示n階復(fù)（實(shí)）矩陣的集合.A≥0表示所有元素非負(fù)的矩陣，并稱為非負(fù)矩陣，ρ（A）表示A的譜半徑.Mn表示非主對(duì)角元素非正，逆矩陣元素非負(fù)的矩陣的集合，τ（A）表示矩陣A的最小特征值，且有性質(zhì).A。B表示階數(shù)相同的矩陣A，B對(duì)應(yīng)元素相乘所得矩陣，稱為A和B的Hadamard積.

若A是不可約非負(fù)矩陣，那么存在正向量u，v使Au=ρ（A）u，u稱為A的右Perron特征向量.

引理1［1］若A是不可約非負(fù)矩陣，并且有正向量z，使得Az≤kz，則ρ（A）≤k.

引理2［2］設(shè)B=（bij）∈Mn且不可約，y=（yi）是正向量，且使得JBy=ρ（JB）y，則對(duì)于有下面的不等式成立：

1 主要結(jié)論

本部分首先給出不可約M矩陣的逆矩陣主對(duì)角元素下界的新估計(jì)式，其次利用該新估計(jì)式，得到最小特征值的下界.

定理1 設(shè)B=（bij）∈Mn且不可約，則對(duì)于B-1=（βij）有下面的不等式成立

證明 設(shè)D=diag（yi），，因?yàn)镴By=ρ（JB）y，則，即，又由引理2知：，且B1B-11=I，則有：

定理2 設(shè)A=（aij）是不可約非負(fù)矩陣，B=（bij）∈Mn，B-1=（βij），則：

證明 首先假設(shè)A，B是不可約的，令JATx=ρ（JAT）x，JBy=ρ（JB）y，其中x=（xi），y=（yi）是正向量，定義z，令C=A。B-1，因?yàn)锽-1＞0，所以C是非負(fù)不可約矩陣.

定理3 設(shè)B=（bij）∈Mn，B-1=（βij），則：

證明 在定理2中令A(yù)=J，J的每個(gè)元素都是1，則ρ（JA）=n-1，并且對(duì)于M矩陣B，有

推論1 設(shè)B=（bij）∈Mn，B-1=（βij），則：

證明 JB=D-1C，D=diag（b11，b22，…，bnn），C=D-B，C是非負(fù)矩陣，則，即ρ（JB）≤σ，那么-ρ2（JB）≥-σ2，所以

注1 本文所得估計(jì)式的一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)是只與矩陣的元素有關(guān)，易于計(jì)算.

2 數(shù)值算例

得：τ（B）≥0.085，τ（B）≥0.093，事實(shí)上真值τ（B）=0.47.通過該例發(fā)現(xiàn)，本文所給出的估計(jì)式一定情況下，優(yōu)于現(xiàn)有的結(jié)果.所以本文的結(jié)論是對(duì)M矩陣最小特征值估計(jì)的有益補(bǔ)充和進(jìn)一步完善.

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Bound for the Minimum Eigenvalue of the Irreducible M-matrix

LI Yanyan
（Schoo1 of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China）

In the paper，using the properties of irreducib1e nonnegative matrix A and irreducib1e M matrix B，we give the new upper boundof irreducib1e nonnegative，and the new 1ower boundof the minimum eigenva1ue τ（B）for matrix B.Numerica1 examp1es show the va1idity of the resu1t.

irreducib1e；M matrix；Hadamard product；minimum eigenva1ue

O151.21

A

1008-8423（2016）02-0140-02

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.006

2016-04-08.

云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（2013Y585）.

李艷艷（1982-），女，碩士，講師，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用的研究.