基于可能度的Vague軟集排序方法

侯文艷，秦克云

（西南交通大學數(shù)學學院，四川成都610031）

基于可能度的Vague軟集排序方法

侯文艷，秦克云

（西南交通大學數(shù)學學院，四川成都610031）

軟集理論是一種新的處理不確定性問題的數(shù)學工具.基于Vague軟集的相關運算以及可能度理論，針對Vague軟集中對象提出了一種排序方法，進而借助聚合算子給出Vague軟集的一種排序方法，討論排序方法的基本性質(zhì).通過例子說明提出的對象排序方法以及Vague軟集排序方法的有效性.

軟集；Vague軟集；可能度

Zadeh在1965年提出了模糊集的概念，開創(chuàng)了Fuzzy集理論［1］.Fuzzy集合概念的提出使得數(shù)學的方法和思維能夠用于處理模糊的現(xiàn)象，從而構成了Fuzzy集合論的基礎.模糊集理論已廣泛應用于模糊控制、模糊推理、模式識別、醫(yī)療診斷等領域.模糊集概念的推廣是模糊集理論研究的一個重要方向.由于Fuzzy集的隸屬函數(shù)值是一個單一的值，它不能同時地表達反對和支持的證據(jù)，為此，Buehrer和Gau在1993年提出了Vague集的概念［2］，它是Fuzzy集的一種推廣［3］，也是一種直覺模糊集［4］.隨著以后的發(fā)展，Vague集理論及其應用受到國內(nèi)外的學者的廣泛關注［5-6］.1999年，Mo1odtsov［7］提出了軟集概念，旨在為多種處理不確定性問題理論提供統(tǒng)一的框架.模糊集、粗糙集都可以看作特殊的軟集.現(xiàn)在軟集理論已經(jīng)成功地被應用于決策問題的研究［8］.對于軟集理論和Vague集理論的融合研究，Xu［9］提出了Vague軟集的概念，并討論了Vague軟集之間的運算.文獻［10］討論了Vague軟集之間的一些代數(shù)性質(zhì).本文借助可能度研究基于Vague軟集的決策問題，定義一種反映一個Vague軟集大于另一個Vague軟集的可能度，并以該度量為基礎給出了Vague軟集之間的一種排序方法.

1 Vague集和Vague軟集

本節(jié)回顧Vague集及Vague軟集的一些基本概念和性質(zhì).具體參見文獻［1-2，7，9］.

定義1［2］論域U上的一個Vague集A表示為A=｛（x，［tA（x），1-fA（x）］）；x∈U｝，即A（x）=［tA（x），1-fA（x）］且對于任意x∈U，有0≤tA（x）≤1-fA（x），其中tA（x）為x對A的隸屬度（真隸屬度），fA（x）為x對A的假隸屬度.

在這個定義中，fA（x）是由反對x的證據(jù)所得出的否定隸屬度的下界，tA（x）則是由支持x的證據(jù)所得出的隸屬度的下界.Vague值A（x）=［tA（x），1-fA（x）］刻畫了x相對于Vague集A的隸屬程度，其值介于tA（x）與1-fA（x）之間.論域U上的所有Vague集構成的集合記為V（U）.

定義2［2］設A，B為論域U上的Vague集.A與B的并、交、補運算定義如下：

定義3［2］設A，B為論域U上的Vague集.若對于任意x∈U，有tA（x）≤tB（x），1-fA（x）≤1-fB（x），則稱A 為B的Vague子集，記作A?B.

定義4［2］設A，B為論域U上的Vague集.若對于任意x∈U，有tA（x）=tB（x）且fA（x）=fB（x），則稱A和B相等，記作A=B.

設U為論域，E為關于U中對象的所有參數(shù)（或?qū)傩裕嫵傻募?，稱（U，E）為一個軟空間.Mo1odtsov提出了軟集的概念.

定義5［7］設（U，E）為一個軟空間，A?E，稱二元組（F，A）為U上的一個軟集，其中F：A→P（U）是一個映射，P（U）為U的冪集.

在此定義中，軟集是一個二元組（F，A）.對于任意參數(shù)a∈A，F(xiàn)（a）表示具有屬性a的對象構成的集合，可看作關于a的一種近似描述.Maji et a1.［11］研究了軟集與模糊集相融合的模型，提出了模糊軟集概念，并對相關性質(zhì)進行了討論.許多學者針對這個概念展開研究，提出了模糊軟集的多種擴展形式.Xu在文獻［9］中提出了Vague軟集的概念.

定義6［9］設（U，E）為一個軟空間，A?E，稱二元組（F，A）為U上的一個Vague軟集，其中F：A→V（U）是一個映射.

定義7［9］對于論域U上的Vague軟集（F，A）和（G，B），若A?B且對于任意e∈A，F(xiàn)（e）是G（e）的Vague子集，則稱（F，A）是（G，B）的Vague軟子集，記作（F，A）?（G，B）.

定義8［9］設（F，A）為論域U上的一個Vague軟集.如果對于任意的e∈A以及x∈U，有tF（e）（x）=0，1-fF（e）（x）=0，則稱（F，A）為空Vague軟集，記為?A.如果對于任意的e∈A以及x∈U，有tF（e）（x）=1，1-fF（e）（x）=1，則稱（F，A）為完全Vague軟集，記為UA.

根據(jù)真隸屬度與假隸屬度的意義，空Vague軟集?A實際上是一個軟集（F，A），且對于任意的e∈A，有F（e）=?.完全Vague軟集實際上是一個軟集（F，A），且對于任意的e∈A，有F（e）=U.

定義9［9］Vague軟集（F，A）的補集記為（F，A）c=（Fc，A），其中Fc：A→V（U）是一個映射，且對于任意的e∈A與x∈U，有tFc（e）（x）=fF（e）（x），1-fFc（e）（x）=1-tF（e）（x）.

定義10［2］設（F，A），（G，B）為U的上Vague軟集，定義（F，A）與（G，B）的并為如下的Vague軟集（H，A∩B）=（F，A）∪R（G，B），其中對于任意e∈A∩B，x∈U，

定義11［2］設（F，A），（G，B）為U的上兩個Vague軟集，定義（F，A）與（G，B）的交為如下的Vague軟集（H，A∩B）=（F，A）∩R（G，B），其中對于任意e∈A∩B，x∈U，

Vague軟集的交、并、補運算具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1 設（F，A）為U上的一個Vague軟集，則：

1）（F，A）∪R（F，A）=（F，A）；2）（F，A）∩R（F，A）=（F，A）；

3）（F，A）∪R?A=（F，A）；4）（F，A）∩R?A=?A；

5）（F，A）∪RUA=UA；6）（F，A）∩RUA=（F，A）.

性質(zhì)2 設（F，A），（G，B）為U上的Vague軟集，則：

1）（（F，A）∩R（G，B））c=（F，A）c∪R（G，B）c；2）（（F，A）∪R（G，B））c=（F，A）c∩R（G，B）c.

證明 1）設（F，A）∩R（G，B）=（H，A∩B），其中，任意e∈A∩B，x∈U有：

由于（（F，A）∩R（G，B））c=（H，A∩B）c=（Hc，A∩B），故對于任意e∈A∩B，x∈U，有：

另一方面，（F，A）c∪R（G，B）c=（Fc，A）∪R（Gc，B）=（K，A∩B），故對于任意e∈A∩B，x∈U有：

故有（（F，A）∩R（G，B））c=（F，A）c∪R（G，B）c.

2）的證明與1）類似.

2 Vague軟集上的可能度公式及性質(zhì)

區(qū)間數(shù)的比較在模糊決策中具有重要的意義，很多文獻對區(qū)間數(shù)的大小進行了比較和研究.Facchinetti等［12］提出了對于區(qū)間數(shù)比較的可能度法，文獻［13-14］給出了與之等價的可能度計算公式.本節(jié)基于一種簡明的區(qū)間數(shù)比較的可能度法［15］，提出Vague軟集的可能度計算方法.以下用VSS（U）表示論域U上的Vague軟集構成的集合.

定義12 設（U，E）為一個軟空間，其中U=｛u1，u2，…，un｝，E=｛e1，e2，…，em｝.對于任意（F，A），（G，A）∈VSS（U），1≤i≤m，1≤j≤n，稱：

為F（ei）（uj）大于G（ei）（uj）的可能度，其中，lF（ei）G（ei）表示［tG（ei）（uj），1-fG（ei）（uj）］與［tF（ei）（uj），1-fF（ei）（uj）］相交部分的長度.

定義13 設（U，E）為一個軟空間，其中U=｛u1，u2，…，un｝，E=｛e1，e2，…，em｝.對于任意（F，A），（G，A）∈VSS（U），稱：

為Vague軟集（F，A）大于Vague軟集（G，A）的可能度.

設（F，A），（G，A），（H，A）為U的上Vague軟集，則由式（2）定義的可能度計算公式滿足以下性質(zhì)：

性質(zhì)3 0≤P（（F，A），（G，A））≤1.

性質(zhì)4（互補性） P（（F，A），（G，A））+P（（G，A），（F，A））=1.

證明 由于：

性質(zhì)5 P（（F，A），（G，A））=1當且僅當對于任意的i=1，2，…，m；j=1，2，…，n有：

證明 下面只證必要性，充分性同理可證.

性質(zhì)6 若P（（F，A），（G，A））≥1/2，P（（G，A），（H，A））≥1/2，則P（（F，A），（H，A））≥1/2.

若P（（F，A），（G，A））≤1/2，P（（G，A），（H，A））≤1/2，則P（（F，A），（H，A））≤1/2.

特別地，P（（F，A），（G，A））=1/2，P（（G，A），（H，A））=1/2，則P（（F，A），（H，A））=1/2.

證明 由于P（（F，A），（G，A））≥1/2，P（（G，A），（H，A））≥1/2，故：

性質(zhì)7 若P（（F，A），（G，A））=1/2，則當P（（F，A），（H，A））＞1/2時，

當P（（F，A），（H，A））＜1/2時，P（（G，A），（H，A））＜1/2.

性質(zhì)8 若P（（F，A），（G，A））=1，P（（G，A），（H，A））=1，則P（（F，A），（H，A））=1.

性質(zhì)9 如果P（（F，A），（G，A））=1，則有P（（F，A），（H，A））≥P（（G，A），（H，A））.

3 基于可能度的Vague軟集中不同對象的排序方法

利用Vague值的可能度公式（1），本節(jié)給出一種基于Vague軟集的對象排序方法：

Step3 根據(jù)λi的大小對對象進行排序.

例1 假設有3所房子構成軟空間的論域U=｛h1，h2，h3｝，參數(shù)集合為E=｛e1，e2，e3｝，其中e1，e2，e3分別代表屬性“房屋的結(jié)構”，“房屋的環(huán)境”，“房屋的面積”.（F，E）是一個Vague軟集，表示某購買者對于這些房屋的評價，假設：

下面對三所房子進行評估，考慮“房屋結(jié)構”，“房屋環(huán)境”，“房屋面積”這三個屬性作為評估指標.假定評估的權向量為w=（0.4，0.4，0.2）T，決策者以Vague值形式給出待評估房子關于每個屬性的得分情況如表1所示.

利用公式（1）計算上述各Vague值Zj（j=1，2，3）兩兩相互比較的可能度，得可能度比較矩陣，

表1　例1中的Vague軟集Tab.1 Vague soft sets in examp1e

4 基于可能度的Vague軟集排序方法

利用式（2）可以計算任意一個Vague軟集大于另一個Vague軟集的可能程度，據(jù)此可以給出如下的Vague軟集排序方法：

Step1 給定兩個Vague軟集（F，A），（G，A），

將它們進行兩兩比較，求得相應的可能度：

例2 假設有兩種類型（X-型、Y-型）的房子，所具有的屬性均以參數(shù)集E=｛e1，e2，e3，e4｝=｛價錢高，質(zhì)量好，周圍交通差，周圍環(huán)境好｝表示.兩種房子的Vague軟集評價值如表2，表3.

表2　X-型房子的VSS（U）Tab.2 VSS（U）of X-type house

表3　Y-型房子的VSS（U）Tab.3 VSS（U）of Y-type house

利用公式（1）計算上述各Vague值兩兩相互比較的可能度，得可能度比較矩陣：

故Vague軟集（F，A）大于Vague軟集（G，A）的可能度為P=0.6833.

若Vague軟集（F，A）的對象多于Vague軟集（G，A）的對象，即：

其中s＜n.則記G（ei）（uj）=［tG（ei）（uj），1-fG（ei）（uj）］=0，j=s+1，s+2，…，n.上述例子中X-型有三所房子｛u1，u2，u3｝，Y-型有兩所房子｛v1，v2｝，則相應的可能度矩陣為：

進一步計算可得P=0.7889.

5 結(jié)論

軟集是一種處理不確定性問題的數(shù)學工具，Majumdar和Samanta［16-17］研究了軟集與模糊軟集的不確定性度量，在文獻［18］考慮了模糊軟集中參數(shù)對應的模糊隸屬函數(shù)的可能度問題，提出了廣義模糊軟集.本文在Vague軟集上引入可能度的概念，利用可能度比較一個Vague軟集大于另一個Vague軟集的可能性程度，并將其應用于決策問題，在所有的屬性基礎上，比較對象的優(yōu)于程度，從而作出更好的選擇.

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責任編輯：高 山

Ranking Method for Vague Soft Sets Based on PossibilitY Degree

HOU Wenyan，QIN Keyun
（Co11ege of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Soft set theory is a new mathematica1 too1 for dea1ing with uncertainties.Based on the re1ated operations of vague soft sets and the theory of possibi1ity，we propose an approach for objects ranking in a vague soft set and an approach for the ranking of vague soft sets.The basic properties of these ranking approaches are investigated.Some examp1es are presented to i11ustrate the va1idity of these ranking approaches.

soft sets；vague soft sets；possibi1ity degree

O224

A

1008-8423（2016）02-0131-06

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.004

2016-06-09.

國家自然科學基金項目（61473239）；中央高?；A研究基金項目（2682014ZT28）.

侯文艷（1991-），女，碩士生，主要從事軟集與關聯(lián)規(guī)則挖掘的研究；*

秦克云（1962-），男，教授，博士生導師，主要從事粗糙集理論、多值邏輯、軟集理論等的研究.