變形Boussinesq方程與Benjamin-Ono方程的可積性與達(dá)布變換解

房春梅，薛麗紅*，田守富

（1.集寧師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古烏蘭察布012000；2.中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，山東徐州221116）

變形Boussinesq方程與Benjamin-Ono方程的可積性與達(dá)布變換解

房春梅1，薛麗紅1*，田守富2

（1.集寧師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古烏蘭察布012000；2.中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，山東徐州221116）

通過引入新的特征值問題首次獲得了Benjamin-Ono方程與變形Boussinesq方程的Lax對(duì)，并通過函數(shù)變換構(gòu)造了變形Boussinesq方程的達(dá)布變換以及此方程與Benjamin-Ono方程的Miura變換，最后通過達(dá)布變換與Miura變換獲得了這兩個(gè)方程的若干組精確解.

Benjamin-Ono方程；變形Boussinesq方程；達(dá)布變換；Lax對(duì)

在非線性科學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于孤子方程的研究顯得尤為重要，在過去幾十年的時(shí)間里，人們已經(jīng)研究出許多構(gòu)造孤子方程精確解的方法［1-4］，主要有Back1und變換法、反散射方法、hirota雙線性方法、ck直接法、Darboux變換方法等等.其中，Darboux變換法已經(jīng)成功地求解了一系列與特征值問題相關(guān)聯(lián)的孤子方程.

本文主要考慮Benjamin-Ono方程：

文獻(xiàn)［5-7］已對(duì)該方程做了一系列的研究，獲得了該方程的Back1und變換與精確解.

本文的具體工作如下：

先引入一個(gè)特征值問題導(dǎo)出了一個(gè)新的變形Boussinesq方程，

并獲得了此方程的Lax對(duì)與達(dá)布變換.同樣引入一個(gè)特征值問題導(dǎo)出了Benjamin-Ono方程，以及此方程與變形Boussinesq方程的Miura變換；最后通過達(dá)布變換與Miura變換獲得了變形Boussinesq方程的與Benjamin-Ono方程的若干組精確解.

1 變形Boussinesq方程的Lax對(duì)與達(dá)布變換

引入一個(gè)特征值問題：

對(duì)應(yīng)于（3）的特征函數(shù)的時(shí)間演化為：

那么，通過直接計(jì)算可以得到下面的命題：

定理1 假定?滿足式（3）和式（4），則Lt=［B，L］就是變形Boussinesq方程（2）.

對(duì)于定理1可直接通過計(jì)算驗(yàn)證.

命題1 假定當(dāng)λ=λ0時(shí)，f滿足式（3）和式（4）且具有如下形式，

證明 當(dāng)λ=λ0時(shí)，f滿足：

命題2 假定當(dāng)λ=λ0時(shí)，f滿足式（3）和式（4）且具有式（5）與式（6）形式，則?_滿足：

從式（14）～（16）即可推出式（13）成立.

命題1，2說明了變換式（5）、（6）將Lax對(duì)式（3）、（4）變成具有完全相同形式的Lax對(duì)式（7）、（13）.由定理1可知，兩個(gè)Lax對(duì)對(duì)應(yīng)的是同一方程（2）.稱為變形Boussinesq方程（2）的一個(gè)達(dá)布變換［8-9］.綜上，可得出下面的定理：

定理2 變形Boussinesq方程（2）的解u在變換式（5）、（6）下變成一個(gè)新解.

2 Benjamin-Ono方程的Lax對(duì)以及與變形Boussinesq方程的Miura變換

引入兩個(gè)算子L1，B1如下：

通過直接計(jì)算L1，t=［B1，L1］就能得到Benjamin-Ono方程（1）.所以方程（1）在Lax意義下是可積的.算子L1，B1稱為Benjamin-Ono方程（1）的Lax對(duì).

假定u=?x?-1，則容易得出式（17）、（18）兩式能改寫成如下形式：

將式（19）關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，再將上幾式帶入得到：

由式（20）可以計(jì)算出：

從而可得出Benjamin-Ono方程與變形Boussinesq方程之間的Miura變換.

經(jīng)過以上分析，能得出以下定理：

定理3 假定u是變形Boussinesq方程的解，那么在變換（20）下所得解是Benjamin-Ono方程的解.

稱變換（20）為Benjamin-Ono方程與變形Boussinesq方程之間的Miura變換.

3 變形Boussinesq方程與Benjamin-Ono方程的精確解

本節(jié)通過達(dá)布變換（6）與Miura變換（20）給出變形Boussinesq方程與Benjamin-Ono方程的若干種精確解.

假定取u=b（常數(shù)）為變形Boussinesq方程的種子解，且λ=λ0，則式（3）、（4）變?yōu)椋?/p>

下面分三種情況進(jìn)行求解：

情況1 當(dāng)b=0，λ0=0，時(shí)可以得出方程組（23）～（24）有如下解：

其中ci（i=0，1，2）是常數(shù)，且由Darboux變換式（6）得出式（2）的解為：

2）當(dāng)時(shí)，由式（26）化簡可得奇點(diǎn)解：

由達(dá)布變換式（6）得出方程（2）的孤子解：

情況3 設(shè)b=0，λ0=-β3，則可以得出方程組（23）～（24）有如下解：

1）當(dāng)r0=0，由達(dá)布變換式（6）得出方程（2）的周期解：

2）當(dāng)r2=0，由達(dá)布變換式（6）得出方程（2）的解：

最后由Benjamin-Ono方程與變形Boussinesq方程之間的Miura變換（20）可以得到與上面變形Boussinesq方程的解對(duì)應(yīng)的Benjamin-Ono方程的幾組精確解.

［1］ 耿獻(xiàn)國.變形Boussinesq方程的Lax對(duì)和Darboux變換解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1988，11（3）：324-328.

［2］ 沈守楓，于水猛，李春霞，等.2n維空間中的廣義自對(duì)偶Yang-Mi11s方程的達(dá)布變換［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2015，35A（3）：478-486.

［3］ ZHA Qi1a.A Negative Order Genera1ized WKI Hierarchy，Bi-Hami1tonian Structure，and Da rboux Transformation［J］.Journa1 of Mongo1ia Norma1 University，2014，43（5）：529-534.

［4］ HIROTA R.The Direct Method in So1iton Theory［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2004.

［5］ 張鴻慶，張玉峰.Benjamin方程的Back1und變換、非線性疊加公式及無窮守恒律［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2001，22（10）：1017-1021.

［6］ WANG Zhen，ZHANG Hongqing.A method for constructing exact so1utions and app1ication to Benjamin Ono equation［J］.Chinese Physics，2005，14：2158-2163.

［7］ 非線性長波方程組和Benjamin方程的新精確孤波解［J］.物理學(xué)報(bào)，2006，55（7）：3246-3254.

［8］ ZHA Qi1ao.N-so1iton so1utions of an integrab1e equation studied by Qiao［J］.Chinese phys B，2013，040201-1-040201-6.

［9］ ZHA Qi1ao，LI Zhibin.Periodic-so1iton so1utions of the（2+1）dimensiona1 kadomteev-Petviashvi1i equation［J］.Chinese phys B，2008，17（7）：2333-2338.

責(zé)任編輯：高 山

The IntegrabilitY and Darboux Transformation Solutions for the Benjamin-Ono Equation and the Modified Boussinesq Equation

FANG Chunmei1，XUE Lihong1*，TIAN Shoufu2
（1.Department of Mathematics，Jining Norma1 University，Wu1anchabu 012000，China；2.Department of Mathematics，China University of Mining and Techno1ogy，Xuzhou 221116，China）

In this paper，based on the new eigenva1ue prob1em，we first get the 1ax pair of Benjamin-Ono equation and the modified Boussinesq equation.With the he1p of function transformation，the Darboux transformation of the modified Boussinesq equation is constructed.The Miura transformation of Benjamin-Ono equation and the modified Boussinesq equation is obtained.Fina11y，some so1utions of the two equations are derived via the resu1ting Darboux transformation and Miura transformation.

Benjamin-Ono equation；modified Boussinesq equation；Darboux transformation；Lax pair

O175.29

A

1008-8423（2016）02-0127-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.003

2016-04-17.

國家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目（11301527）；2015年集寧師范學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目（jsky2015028）.

基金項(xiàng)目：房春梅（1985-），女（蒙古族），碩士，講師，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)的研究；*通信作者：薛麗紅（1981-），女（滿族），碩士，講師，主要從事最優(yōu)化理論與應(yīng)用的研究.