廣義模糊粗糙集的包含度和相似度的關(guān)系

黃衛(wèi)華，楊國增

（1.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000；

2.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州450044）

廣義模糊粗糙集的包含度和相似度的關(guān)系

黃衛(wèi)華1，楊國增2

（1.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000；

2.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州450044）

在廣義模糊粗糙集模型的基礎(chǔ)上，討論了其中定義的包含度和相似度的關(guān)系，給出并證明了包含度和相似度關(guān)系的一些性質(zhì)定理，為粗糙集理論的研究和應(yīng)用奠定了一定的理論基礎(chǔ).

包含度；相似度；模糊粗糙集；關(guān)系

波蘭數(shù)學(xué)家Z.Paw1ak［1］于1982年首次提出了粗糙集［1］理論，美國著名控制論專家Zadeh［2］在1965年提出了模糊集［2］理論.這兩種理論在處理不精確性或不確定性問題上都推廣了經(jīng)典集合理論.對兩者的比較和有機(jī)結(jié)合一直都是人們感興趣的話題.因此，對模糊粗糙集模型的推廣以及縱深研究已成為當(dāng)前數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.文獻(xiàn)［3］定義了模糊粗糙集的包含度和相似度，文獻(xiàn)［4］將變精度粗糙集模型推廣到基于一般包含度的廣義變精度粗糙集，文獻(xiàn)［5］解決了普通二型模糊相似度與包含度的關(guān)系，文獻(xiàn)［6］提出了新的區(qū)間二型模糊相似度和包含度，并討論了它們的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，文獻(xiàn)［7］定義了直覺模糊集相似度和包含度兩個(gè)概念，并給出了一些實(shí)例，文獻(xiàn)［8］研究了有限論域上直覺模糊集的e-相似度和e-包含度及其相互誘導(dǎo)關(guān)系.文獻(xiàn)［9］定義了一種基于粗糙隸屬函數(shù)的包含度和另外一種粗糙集間的相似性度量方法，并研究了這兩種度量方法的相關(guān)性質(zhì).

本文在廣義模糊粗糙集上的包含度與相似度定義的基礎(chǔ)上，研究了包含度和相似度性質(zhì)關(guān)系.

1 預(yù)備知識

定義1［1］設(shè)（L，≤）是一個(gè)非空的偏序集，若映射D：L×L→［0，1］，對于任意x，y，z∈L滿足：

1）當(dāng)x≤y時(shí)，D（y/x）=1；

2）當(dāng)x≤y≤z時(shí)，D（x/y）≤D（x/z）.

稱D為L上的包含度.若D還滿足：

3）當(dāng)x≤y時(shí)，D（x/z）≤D（y/z），則稱D為L上的強(qiáng)包含度.

定義2［3］設(shè)T：［0，1］2→［0，1］的映射，若對任意a，b，c，d∈［0，1］滿足：

1）T（a，1）=a；

2）T（a，b）=T（b，a）；

3）T［T（a，b），c］=T［a，T（b，c）］；

4）T（a，b）≤T（c，d），（a≤c，b≤d），稱T為三角模.

若定義2中條件1）改為T（0，a）=a，稱T為反三角模，記作S.

定義3［3］設(shè)X1，X2，…，Xn為有限論域，X=X1×X2×…×Xn，F(xiàn)（Xi）是Xi上模糊集合組成的集合，i=1，2，

定義4［3］設(shè)（L，≤）是非空的偏序集，若映射SM：L×L→［0，1］，?x，y，z∈L滿足：

1）SM（x，x）=1；

2）SM（x，y）=SM（y，x）；

3）當(dāng)x≤y≤z時(shí)，SM（x，z）≤SM（x，y）.

稱SM為L上的相似度.若定義4中的條件3）改為SM（x，z）≤SM（x，y）∧SM（y，z），稱SM為L上的強(qiáng)相似度.

定義5［5］設(shè)（U，≤1），（V，≤2）是兩個(gè)非空的偏序集，若映射g：U→V，?A1，A2∈U，當(dāng)A1≤1A2時(shí)，有g(shù)（A1）≤2g（A2），稱g為保序映射.

定義6 設(shè)U，W是兩個(gè)非空有限的論域，R是從U到W的任意一個(gè)模糊關(guān)系，稱（U，W，R）為模糊廣義近似空間.

設(shè)F（W）是W的模糊子集所成的類，?X∈F（W），則X關(guān)于模糊廣義近似空間（U，W，R）的下近似與上近似是定義在U上一對模糊集，其隸屬函數(shù)定義為：

定義7［5］設(shè)（U，W，R）是模糊近似空間，X，Y是論域U上的兩個(gè)模糊集.

4）若X?RY，Y?RX，稱模糊粗糙集與模糊粗糙集相等，記為X=RY；若X?*RY且Y，稱模糊粗糙集與模糊粗糙集下相等，記為X=*RY；若，稱模糊粗糙集與模糊粗糙集上相等，記為

定義8［3］設(shè)FR（W）是由模糊近似空間（U，W，R）上模糊粗糙集組成的集合，如果存在映射 SM： FR（W）×FR（W）→［0，1］，，滿足：

1）當(dāng)X?RY時(shí)，

稱DR為FR（W）上的包含度.把簡單地記為DR（X/Y）.若DR還滿足：FR（W），當(dāng)時(shí)X?RY，DR（X/Z）≤DR（Y/Z），稱DR為強(qiáng)包含度.

定義9［3］設(shè)FR（W）是廣義模糊近似空間（U，W，R）上模糊粗糙集組成的集合，如果存在映射SM： FR（W）×FR（W）→［0，1］，對任意的，滿足：

稱SMR為FR（W）上的相似度.把簡單地記為SMR（X，Y）.若定義9中的條件3）為：

當(dāng)X?RY?RZ時(shí)，SMR（X，Z）≤SMR（X，Y）∧SMR（Y，Z），稱SMR為FR（W）上的強(qiáng)相似度.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A，B∈Hn（x），Di是F（Xi）（i≤2）上的包含度，則：

2）類似1）證明.

定理2 設(shè)g是從（U，≤1）到（V，≤2）上的保序映射，D是（V，≤2）上的包含度，則D＇（B/A）=D（g（B）/ g（A））是（U，≤1）上的包含度，其中A，B∈U.若D為強(qiáng)包含度，則D＇也是強(qiáng)包含度.

證明 1）因?yàn)間是從（U，≤1）到（V，≤2）上的保序映射，對于任意A，B∈U，當(dāng)A≤1B時(shí)，有g(shù)（A）≤2g（B）.

又因?yàn)镈是（V，≤2）上的包含度，則D（g（B）/g（A））=1，即當(dāng)A≤1B時(shí)，有D＇（B/A）=1.

定理3 設(shè) g是從（U，≤1）到（V，≤2）上保序映射，SM是（V，≤2）上的相似度，則 SM＇（A，B）= SM（g（A），g（B））是（U，≤1）上的相似度，其中A，B∈U.若SM是強(qiáng)相似度，則SM＇也是強(qiáng)相似度.

證明 1）因?yàn)間是從（U，≤1）到（V，≤2）上的保序映射，對于任意A∈U，根據(jù)S-模的自反性，易證SM＇（A，A）=1.

2）根據(jù)S-模的對稱性，?A，B∈U，SM'（A，B）=SM（g（A），g（B））=SM（g（B），g（A））=SM＇（B，A）.

3）因?yàn)間是從（U，≤1）到（V，≤2）上的保序映射，對于任意A≤1B≤1C，有g(shù)（A）≤2g（B）≤2g（C），所以SM＇（A，C）=SM（g（A），g（C））≤SM（g（A），g（B））=SM＇（A，B）.即SM＇（A，B）=SM（g（A），g（B））是（U，≤1）上的相似度.

設(shè)F（W）是W的模糊子集所成的類，X∈F（W），那么X關(guān)于廣義近似空間（U，W，R）的上近似X_與下近似X是一對模糊集，隸屬函數(shù)定義為：

定理4 設(shè)FR（W）是模糊廣義近似空間（U，W，R）上的模糊粗糙集（FR（W），?*R），（FR（W），?R）均為偏序集.

利用偏序集的定義和定義7可證得.

3 結(jié)論

本文在廣義模糊粗糙集的包含度和相似度定義的基礎(chǔ)上，證明了包含度和相似度的性質(zhì)關(guān)系.下一步，可以考慮利用包含度和相似度的性質(zhì)，給出廣義模糊粗糙集的包含度和相似度的生成方法.

［1］ PAWLAK Z.Rough sets［J］.Internationa1 Journa1 of Computer and Information Sciences，1982，11（5）：341-356.

［2］ ZADEH L A.Fhzzy sets［J］.Inform and Contro1，1965，8（3）：338-356.

［3］ 袁修久，張文修.模糊粗糙集的包含度和相似度［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2005，9（1）：111-115.

［4］ 張紅英，董鳴皋.基于一般包含度的廣義變精度粗糙集［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（1）：37-46.

［5］ 鄭高，肖建，蔣強(qiáng)，等.普通二型模糊相似度與包含度及其關(guān)系［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，39（8）：119-123.

［6］ 鄭高，肖建，蔣強(qiáng)，等.區(qū)間二型模糊相似度與包含度及其關(guān)系［J］.控制與決策，2011，26（6）：861-866.

［7］ 王偉志，襲著有.直覺模糊集的相似度和包含度［J］.遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（2）：133-135.

［8］ 張旭慧，辛小龍.直覺模糊集的e-相似度和e-包含度及其相互誘導(dǎo)關(guān)系［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2011，25（3）：94-99.

［9］ 林娟，米據(jù)生，解濱.粗糙集的兩種相似性度量［J］.計(jì)算機(jī)科學(xué)，2015，42（6）：97-100.

責(zé)任編輯：高 山

The Relations between Inclusion Degree and SimilaritY in the Generalized FuzzY Rough Set

HUANG Weihua1，YANG Guozeng2
（1.Schoo1 of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China；2.Schoo1 of Mathematics and Statistics，Zhengzhou Norma1 University，Zhengzhou 450044，China）

Based on the genera1ized fuzzy rough set mode1，we discuss the re1ationship between its defined inc1usion degree and simi1arity，give and prove some theorems of properties on the re1ationship between inc1usion degree and simi1arity，which provides the theoretica1 basis for the rough set theory and its app1ication.

inc1usion degree；simi1arity；fuzzy rough sets；re1ationship

O152

A

1008-8423（2016）02-0124-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.002

2016-03-28.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11361074）；云南省教育廳科研基金項(xiàng)目（2015Y470）；文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項(xiàng)目（12WSXK01）.

黃衛(wèi)華（1979-），女，碩士，講師，主要從事信息代數(shù)和粗糙集理論的研究.