廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)及其積分不等式

王淑紅

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)及其積分不等式

王淑紅

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

凸函數(shù)及其推廣是分析不等式研究中的一個(gè)熱點(diǎn)，它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用.推廣了凸函數(shù)的概念，定義了廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)，然后討論了廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)的積分不等式，得到了若干個(gè)結(jié)果.

Hi1bert空間；有界自伴算子；廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)；積分不等式

1 有關(guān)定義和引理

設(shè)B（H）sa為Hi1bert空間〈H；〈·，·〉〉上的所有有界線性算子的集合，對(duì)于任意的自伴算子A，B∈B（H）sa和x∈H，如果〈Ax，x〉≤〈Bx，x〉，則A≤B，稱其為算子序.

設(shè)A是復(fù)Hi1bert空間〈H；〈·，·〉〉上的有界線性自伴算子，C（Sp（A））是定義在A的譜Sp（A）上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)的集合，C*（A）是由A產(chǎn)生的C*-代數(shù)，1H是H上的單位算子.對(duì)于任意f，g∈C（Sp（A））和α，β∈C，Ge1fand映射在C（Sp（A））和C*（A）之間建立了一個(gè)*-等距同構(gòu)Φ（［1］）：

1）Φ（αf+βg）=αΦ（f）+βΦ（g）；

2）Φ（fg）=Φ（f）Φ（g），Φ（f*）=Φ（f）*；

4）Φ（f0）=1H，Φ（f1）=A，其中f0（t）=1，f1（t）=tf，對(duì)于t∈Sp（A）.

令f∈C（Sp（A）），定義：

稱條件1）為有界自伴算子A的連續(xù)泛函運(yùn)算.

假設(shè)A是有界自伴算子，f是Sp（A）上的實(shí)值連續(xù)函數(shù).對(duì)于任意的t∈Sp（A），如果f（t）≥0，則f（A）≥0，即f（A）是H上的正算子.而且如果f和g都是Sp（A）上的實(shí)值函數(shù)，且f（t）≤g（t），則在B（H）的算子序意義下f（A）≤g（A）.

假設(shè)f是區(qū)間I?R上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，A和B是B（H）的有界自伴算子，其譜均在區(qū)間I內(nèi).如果對(duì)于任意λ∈［0，1］，不等式：f（（1-λ）A+λB）≤（≥）（1-λ）f（A）+λf（B）.

在B（H）的算子序意義下成立，則稱f是區(qū)間I上的算子凸函數(shù)（或算子凹函數(shù)）.

關(guān)于算子凸函數(shù)（或算子凹函數(shù)）和算子單調(diào)函數(shù)的更多結(jié)論，請(qǐng)見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.在文獻(xiàn)［2］定義了算子預(yù)不變函數(shù).

定義1［2］令X是實(shí)向量空間，集合K?X，η：K×K→X.如果對(duì)于任意x，y∈K和t∈［0，1］，x+tη（x，y）∈K，則稱K是關(guān)于η的凸集.

令K?X是關(guān)于η：K×K→X的凸集.對(duì)于任意x，y∈K，定義連接點(diǎn)x和v=x+η（y，x）的η-路徑Pxv：Pxv：=｛z：z=x+tη（y，x），t∈［0，1］｝.

如果對(duì)于任意x，y∈K和t∈［0，1］，

稱映射η滿足條件（2）.

由條件（2）即得對(duì)于任意x，y∈K和t1，t2∈［0，1］，

更多結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)［3-4］.

令A(yù)是一個(gè)C*-代數(shù)，Asa是A的所有自伴元的集合.

定義2［2］令K?B（H）sa是關(guān)于η：K×K→B（H）sa的凸集，f：R→R是連續(xù)函數(shù).如果對(duì)于任意的A，B∈K 和t∈［0，1］，不等式：f（A+tη（B，A））≤（1-t）f（A）+tf（B）.

在B（H）的算子序意義下成立，則稱f是K上的關(guān)于η的算子預(yù)不變凸函數(shù).

本文，定義了廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)，建立一些新的關(guān)于廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)的積分不等式.

2 主要結(jié)論

算子A，B∈K，其譜均包含在區(qū)間I內(nèi).假設(shè)函數(shù)f：I→R是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).如果對(duì)于任意的s∈［-1，1］和t∈［0，1］，不等式：

在算子序意義下成立，則稱函數(shù)f是區(qū)間I上的關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù).

注1 顯然廣義算子1-預(yù)不變凸函數(shù)就是算子預(yù)不變凸函數(shù)，廣義算子0-預(yù)不變凸函數(shù)就是算子P-預(yù)不變凸函數(shù)，廣義算子-1-預(yù)不變凸函數(shù)就是算子Godunova-Levin預(yù)不變凸函數(shù).而且，如果取η（A，B）=A-B，就得到廣義算子s-凸函數(shù).對(duì)于η（A，B）=A-B，分別取s=1，0，-1，就得到算子凸函數(shù)，算子P-凸函數(shù)，算子Godunova-Levin凸函數(shù).更多相關(guān)結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)［5-9］.

其中x∈H.如果對(duì)于任意的正算子A，B∈K和V=A+η（B，A），A和V的譜均包含在區(qū)間I內(nèi)，則對(duì)于任意的s∈［-1，1］，函數(shù)f在η-路徑PAV上是關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)充分必要條件是函數(shù)φx，A，B在區(qū)間［0，1］上是廣義s-凸函數(shù).

證明 假設(shè)s∈［-1，1］和x∈H，φx，A，B：［0，1］→R是區(qū)間上的廣義s-凸函數(shù).令C1：=A+t1η（B，A）∈PAV，C2：=A+t2η（B，A）∈PAV，λ∈［0，1］，由式（3）得：

因此，f在η-路徑PAV上是關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù).

反之，令s∈［-1，1］和A，B∈K，f在η-路徑PAV上是關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù).假設(shè)t1，t2∈［0，1］，則對(duì)于任意λ∈［0，1］和x∈H，有：

因此，φx，A，B是區(qū)間［0，1］上的廣義s-凸函數(shù).證畢.

B∈K和V=A+η（B，A），A和V的譜均包含在區(qū)間I?R0內(nèi).假設(shè)連續(xù)函數(shù)f：I→R在η-路徑PAV上是關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)，則對(duì)于任意的s∈（-1，1］，下述不等式成立：

證明 令x∈H，由于〈Ax，x〉∈Sp（A）?I和〈Vx，x〉∈Sp（V）?I，則有：

再由η在K上滿足條件（2）和f在η-路徑PAV上是關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)，有：

不等式（5）兩邊對(duì)t在區(qū)間［0，1］上積分，得到：

又因?yàn)椋?/p>

整理不等式（5）即得不等式（4）.證畢.

和

證明 由η在K上滿足條件（2）和f在η-路徑PAV上是關(guān)于η的廣義算子s-預(yù)不變凸函數(shù)，取s=-1，有：

不等式（9）兩邊對(duì)t在區(qū)間［0，1］上積分，得到：

又因?yàn)椋?/p>

整理不等式（10）即得不等式（7）.

再次利用函數(shù)f的廣義算子s-預(yù)不變凸性，取s=-1，得到：

和：

將不等式（11）和不等式（12）相加，得到：

不等式（13）兩邊對(duì)t在區(qū)間［0，1］上積分，即得到不等式（8）.證畢.

［2］ GHAZANFARI A G，SHAKOORI M，BARANI A，et a1.Hermite-Hadamard type inequa1ity for operator preinvex functions［J］.arXiv，2013，9 pages. ［3］ MOHAN S R，NEOGY S K.On invex sets and preinvex function［J］.J Math Ana1 App1，1995，189：901-908.

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Integral Inequalities for OPerator Extended s-Preinvex Function

WANG Shuhong
（Co11ege of Mathematics，Inner Mongo1ia University for Nationa1ities，Tong1iao 028043，China）

The convex function and its genera1ization are a hot area in the research of ana1ysis inequa1ity. It has a wide range of app1ications in numerous fie1ds of pure mathematics and app1ied mathematics.In this paper，we genera1ize the concept of convex function and define operator extended s-preinvex function. Then we discuss the integra1 inequa1ities for operator extended s-preinvex function and obtain some resu1ts.

Hi1bert space；bounded se1f-adjoint operator；operator extended s-preinvex function；integra1 inequa1ity

O177

A

1008-8423（2016）02-0121-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.001

2016-03-29.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11361038）；內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（NJZZ16175）.

王淑紅（1980-），女，碩士，副教授，主要從事凸函數(shù)理論、算子理論、分析不等式等的研究.