有限長圓柱磁屏同軸線圈電感計(jì)算方法

羅　垚　陳柏超　周　洪

（1. 武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院　武漢　430072　2. 武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院　武漢　430072）

有限長圓柱磁屏同軸線圈電感計(jì)算方法

羅垚1陳柏超2周洪1

（1. 武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院武漢4300722. 武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院武漢430072）

對放置于有限長圓柱磁屏中的同軸載流圓環(huán)，借助其磁標(biāo)勢在復(fù)平面上的積分表達(dá)式，以圍道變形和留數(shù)定理得到了一種收斂速度很快的屏蔽圓環(huán)互感級(jí)數(shù)表達(dá)式，該表達(dá)式比傳統(tǒng)公式的運(yùn)算速度快至少兩個(gè)數(shù)量級(jí)。隨后引入對磁標(biāo)勢的一種擬設(shè)，并借助磁標(biāo)勢在圓環(huán)所圍區(qū)域上的跳躍性質(zhì)求出屏蔽圓環(huán)磁標(biāo)勢的另一種級(jí)數(shù)表達(dá)式，其本征值依賴于零階Bessel函數(shù)的正零點(diǎn)。在這種表達(dá)式基礎(chǔ)上，求得放置于有限長圓柱磁屏中的同軸矩形截面圓柱線圈的自感和互感表達(dá)式，并將它們在數(shù)值計(jì)算中與有限元模擬的結(jié)果進(jìn)行了對比，其結(jié)果顯示所提出的表達(dá)式與有限元模擬結(jié)果具有很好的一致性。

電感圓柱磁屏留數(shù)定理磁標(biāo)勢

0　引言

圓柱線圈是電力及電子設(shè)備中大量采用的電磁元件，而其自感、互感是相關(guān)電磁結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)。對置于空氣中的圓柱線圈自感、互感的計(jì)算，已有大量文獻(xiàn)進(jìn)行了討論［1-12］。然而在實(shí)際應(yīng)用中，為了減小高強(qiáng)度磁場對周圍環(huán)境的影響以及降低其對人體健康的潛在危害［13］，往往需要將圓柱線圈置于某種屏蔽結(jié)構(gòu)之內(nèi)。考慮到低頻磁場激發(fā)的渦流效應(yīng)不夠強(qiáng)，故實(shí)際中對低頻線圈采用較多的是磁屏，即利用屏蔽材料的高磁導(dǎo)率而形成屏蔽作用。在計(jì)算磁屏蔽對圓柱線圈自感和互感的影響時(shí)，可視磁屏的磁導(dǎo)率μ→∞，其相關(guān)計(jì)算方法可在文獻(xiàn)［5］中查到。對于磁屏的這種理想化處理，文獻(xiàn)［5］中已指出在一般工程計(jì)算中準(zhǔn)確度已經(jīng)足夠。對于同軸線圈置于圓柱磁屏（有限長且兩端有與圓柱軸線相垂直的平蓋）中的情形，文獻(xiàn)［5］中提供的方法需要對廣義積分式和級(jí)數(shù)式進(jìn)行數(shù)值求解，其形式對于實(shí)際應(yīng)用是較為復(fù)雜的，且數(shù)值計(jì)算效率也不夠高。對此，本文將基于載流圓環(huán)的磁標(biāo)勢來求得一組新的電感計(jì)算表達(dá)式，在線圈徑向參數(shù)未重合的情形下，將以復(fù)平面積分解析延拓的方式，通過積分圍道變形和留數(shù)定理求得一組收斂很快的級(jí)數(shù)解；而對線圈徑向參數(shù)重合的情形，將基于載流圓環(huán)磁標(biāo)勢的擬設(shè)（Ansatz）給出對徑向參數(shù)無限制的同軸圓柱線圈的電感級(jí)數(shù)表達(dá)式。在數(shù)值驗(yàn)證部分，本文給出的結(jié)果將與文獻(xiàn)［5］中提供的計(jì)算方法以及有限元法（Finite Element Method， FEM）數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行比對。數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果顯示，本文提出的計(jì)算方法較已有方法運(yùn)算效率更高，計(jì)算準(zhǔn)確度亦可充分保證，且能處理已有方法難以處理的更一般情形。有限長圓柱磁屏同軸線圈結(jié)構(gòu)如圖 1所示。本文計(jì)算中所用到的各種特殊函數(shù)見表1。

圖1　有限長圓柱磁屏同軸矩形截面圓柱線圈側(cè)視及俯視圖Fig.1　Side and plan view of coaxial circular coils of rectangular cross section shielded by the cylindrical magnetic screen of finite length

表1　本文用到的特殊函數(shù)Tab.1　Special functions applied

1　有限長圓柱磁屏中同軸圓環(huán)的磁標(biāo)勢的級(jí)數(shù)解

1.1有限長圓柱磁屏中同軸圓環(huán)的磁標(biāo)勢的復(fù)平面積分表示法

設(shè)有一橫截面無窮小的理想載流圓環(huán)，其半徑為a1且流過電流I。現(xiàn)將其置于一對相距2l的平行無窮大平面磁屏（μ→∞）之間，且圓環(huán)軸線與磁屏面垂直。將圓環(huán)軸線取為圓柱坐標(biāo)（ρ， ?， z）的 z軸，坐標(biāo)原點(diǎn)則取為z軸被兩平行磁屏所截線段的中點(diǎn)。設(shè)在此設(shè)置下，記圓環(huán)中心點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 0，ζ1），則此系統(tǒng)的磁標(biāo)勢可寫為［6］

對式（1）在t平面的正實(shí)軸上進(jìn)行廣義積分。由于極角方向的對稱性，磁標(biāo)勢不含?。為了求解這對積分，文獻(xiàn)［6］中以第一類Hankel函數(shù)將它們解析延拓到復(fù)t平面上，其結(jié)果為

式（2）、式（3）中的積分路徑 W1平行于實(shí) t軸，從t平面的-∞方向延伸至+∞方向，且其與虛軸的交點(diǎn)iτ 滿足0＜τ ＜π/（2l），如圖2所示。

圖2　屏蔽圓環(huán)磁標(biāo)勢的復(fù)平面積分表達(dá)式的圍道及其在虛軸上的極點(diǎn)Fig.2　The contours and the poles of the complex integrals of the magnetic scalar potential of the shielded circular rings

現(xiàn)將以上平行雙平面磁屏的結(jié)果拓展至有限長同軸圓柱磁屏的情形。該屏蔽結(jié)構(gòu)的各項(xiàng)參數(shù)及坐標(biāo)系如圖 1所示。為了計(jì)入圓柱磁屏的影響，現(xiàn)將式（2）中第二式的徑向函數(shù)中添加一項(xiàng)，以代替原式中的并注意到邊值條件

即可得

故有

從而得到有限長同軸圓柱磁屏圓環(huán)磁標(biāo)勢的復(fù)平面積分表達(dá)式為

式（4）、式（5）中，在復(fù)t平面的正半虛軸上具有一階極點(diǎn)，即

因此，為了運(yùn)用留數(shù)定理解出式（4）、式（5），將圍道 W1變形為W2（見圖2），即一條從+i∞出發(fā)向下，逆時(shí)針圍繞iπ/（2l），并再次延伸至+i∞的路徑。此路徑將虛軸上所有極點(diǎn)均包含在內(nèi)，故可運(yùn)用留數(shù)定理將式（4）、式（5）解為級(jí)數(shù)，即

對z＜ζ1的情形，只需將式（6）中第一式的第一項(xiàng)置換為其他各項(xiàng)均保持不變。

1.2有限長圓柱磁屏中同軸圓環(huán)的磁標(biāo)勢的擬設(shè)

式（6）的級(jí)數(shù)需要對徑向參數(shù)的大小關(guān)系進(jìn)行區(qū)分。為了隨后可以處理圓柱線圈徑向參數(shù)重疊的情形，現(xiàn)推導(dǎo)一種對徑向參數(shù)無限制的磁標(biāo)勢級(jí)數(shù)表達(dá)式。為此引入對磁標(biāo)勢的擬設(shè)（Ansatz）為

式中，Aλ為待定系數(shù)；pλ為本征值，使得bpλ是J0（x）的第λ個(gè)正零點(diǎn)；f （pλ， z， ζ1）為待求的軸向函數(shù)。由于一個(gè)載有電流 I的圓環(huán)在物理上可視為一具有常數(shù)密度I的磁雙層勢，則在磁標(biāo)勢V穿過該圓環(huán)所包圍的區(qū)域（記為FR）時(shí)，V將有一大小為I的躍變，而在圓環(huán)所在平面的剩余區(qū)域（記為 F）保持連續(xù)，即

則

因此，結(jié)合式（7）、式（8）和式（10）可得

將式（11）兩邊同時(shí)乘以本征函數(shù)，得

因而有

應(yīng)用正交關(guān)系

可得

最終得到磁標(biāo)勢為

2　有限長圓柱磁屏中同軸圓柱線圈自感、互感的級(jí)數(shù)解

2.1同軸圓環(huán)互感的級(jí)數(shù)解

設(shè)有一圓環(huán)（圓環(huán)2），其圓心坐標(biāo)為（0， 0， ζ2），半徑為a2，與第1節(jié)中所述圓環(huán)（圓環(huán)1）同軸地置于有限長圓柱磁屏中。為了得到這兩個(gè)圓環(huán)之間的互感，可計(jì)算穿過圓環(huán)2所圍區(qū)域的磁通，即

進(jìn)一步由式（6）并考慮

可得

當(dāng) a2＞a1時(shí)交換式（18）中 a1和 a2的位置即可。類似地，由式（16）可得

當(dāng)ζ2＜ζ1時(shí)交換式（19）中ζ1和ζ2的位置即可。式（18）和式（19）分別以兩圓環(huán)間的半徑和軸向位置間的大小關(guān)系進(jìn)行區(qū)分，且在形式上前者的本征值αλ較后者的本征值pλ簡單。對圓環(huán)自感也可用同樣的方式給出一個(gè)級(jí)數(shù)解，但由于理想圓環(huán)的截面積被假定為無窮小，故其自感將趨于無窮大，在此處不再對其進(jìn)行討論。

2.2同軸矩形截面圓柱線圈自感、互感的級(jí)數(shù)解

設(shè)有兩同軸矩形截面圓柱線圈，匝數(shù)分別為N1、N2，其他幾何參數(shù)及布置方式如圖1所示。它們的自、互感可在 2.1節(jié)得到的級(jí)數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行徑向和軸向積分得到。式（18）雖具有本征值αλ形式簡單的優(yōu)點(diǎn)，但不適合用來推導(dǎo)此處矩形截面圓柱線圈的自感、互感，因?yàn)閷τ趶较騾?shù)重疊的情形，其積分將導(dǎo)致極為復(fù)雜的結(jié)果。因此以下推導(dǎo)將基于式（19）。對式（19）的軸向參數(shù)ζ1、ζ2和徑向參數(shù)a1、a2分別積分，并運(yùn)用［14-16］

得到以下結(jié)果：

式中

式中

式中

于是，置于有限長圓柱磁屏中的一對同軸矩形截面圓柱線圈的互感即可由式（21）～式（23）的級(jí)數(shù)完全描述。進(jìn)一步，對一個(gè)參數(shù)為R1、R2、h1、z1和N1的屏蔽同軸線圈可完全類似地得到其自感為

式中

有限長圓柱磁屏中的同軸螺線管（薄壁圓柱線圈）或圓盤線圈的自感和互感亦可類似地求出，此處限于篇幅不再贅述。

3　數(shù)值計(jì)算

3.1同軸屏蔽圓環(huán)互感公式的數(shù)值驗(yàn)證

對同軸屏蔽圓環(huán)的互感，文獻(xiàn)［5］中給出的計(jì)算方法是運(yùn)用無屏蔽同軸圓環(huán)互感公式

計(jì)算得出基礎(chǔ)值 M0，再以文獻(xiàn)［5］中給出的式（11-49）和式（11-123）分別求出增量Δ1M和Δ2M，最后求和 M=M0+Δ1M+Δ2M。本文給出的式（18）、式（19）將與這種方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算對比。設(shè)圓柱磁屏的直徑和高度分別為 2b=1.2m和 2l=0.8m，兩線圈半徑分別為a1=0.5m、a2=0.4m。則根據(jù)它們軸向位置ζ1和ζ2的一組取值，計(jì)算結(jié)果見表2。t2、t3分別表示以式（19）和文獻(xiàn)［5］中方法算出表2中第三列同一結(jié)果所耗的計(jì)算時(shí)長。式（18）的耗時(shí) t1未列入表中，針對表2中所有參數(shù)的計(jì)算耗時(shí)均在1ms以內(nèi)。因此，式（18）的數(shù)值性能較之另外兩種方法具有極為明顯的優(yōu)勢。式（18）收斂迅速的原因首先是其本征值αλ形式簡單；其次是其中包含呈指數(shù)衰減的函數(shù) Kn（z）。式（19）由于需要估計(jì)Bessel函數(shù)的零點(diǎn)值，故其較文獻(xiàn)［5］中的方法速度偏慢。因此對于同軸屏蔽圓環(huán)互感的計(jì)算，推薦采用式（18）。

表2　本文方法與文獻(xiàn)［5］中已有方法對屏蔽同軸圓環(huán)互感的計(jì)算性能比較Tab.2　Comparison of the mutual inductance for shielded coaxial circular rings evaluated with the proposed method and that in Ref.［5］

3.2同軸屏蔽矩形截面圓柱線圈自、互感公式的數(shù)值驗(yàn)證

驗(yàn)證同軸屏蔽矩形截面圓柱線圈的自感、互感（見式（21）～式（24））時(shí)，由于文獻(xiàn)［5］中并未提供一般情況下的相關(guān)公式（僅有線圈中心與圓柱磁屏中心重合等特殊情況），加之以文獻(xiàn)［5］中的圓環(huán)互感公式為基礎(chǔ)進(jìn)行積分，結(jié)果相當(dāng)復(fù)雜不便采用，因此將以有限元數(shù)值模擬軟件CST EM Studio仿真的結(jié)果來驗(yàn)證式（21）～式（24）的正確性。設(shè)圓柱磁屏的直徑和高度分別為 2b=2m 和 2l= 2.6m，兩線圈幾何參數(shù)分別為：R1=0.6m，R2= 0.9m，R3=0.2m，R4=0.5m，h1=0.4m，h2=0.6m，匝數(shù)分別為N1=550，N2=500。其互感計(jì)算結(jié)果見表3。可以看出兩種方法顯示出很高的一致性。式（21）～式（23）算出表中各數(shù)據(jù)所用時(shí)間均在10s以內(nèi)。

表3　本文方法與有限元模擬對屏蔽同軸圓柱線圈互感的計(jì)算結(jié)果比較Tab.3　Comparison of the mutual inductance of shielded coaxial circular coils evaluated with the proposed method and that by FEM simulations

保持第一個(gè)線圈參數(shù)（R1、R2、h1和N1）以及磁屏圓柱的參數(shù)不變，采用式（24）計(jì)算其自感并與CST EM Studio模擬的結(jié)果進(jìn)行比對，其結(jié)果見表4。

表4　本文方法與有限元模擬對屏蔽同軸圓柱線圈自感的計(jì)算結(jié)果比較Tab.4　Comparison of the self-inductance of shielded coaxial circular coil evaluated with the proposed method and that by FEM simulations

由表4可以看出，兩種方法亦顯示出較高的一致性。式（24）算出表中各數(shù)據(jù)所用時(shí)間均在 10s以內(nèi)。

4　結(jié)論

本文以磁標(biāo)勢的復(fù)平面解析延拓和留數(shù)定理給出的有限長圓柱磁屏同軸圓環(huán)互感表達(dá)式（見式（18））比傳統(tǒng)公式的運(yùn)算速度快至少兩個(gè)數(shù)量級(jí)。然而該表達(dá)式由于需要在徑向參數(shù)上進(jìn)行區(qū)分而不適合于作為推導(dǎo)屏蔽同軸矩形截面圓柱線圈的自、互感表達(dá)式的基礎(chǔ)。為解決這一問題，引入基于零階Bessel函數(shù)J0（z）的正零點(diǎn)的磁標(biāo)勢擬設(shè)，而相應(yīng)地磁場強(qiáng)度以及穿過圓環(huán)的磁通可由此求得，再借助對圓環(huán)互感的軸向和徑向參數(shù)積分，即能得到所需的矩形截面圓柱線圈自、互感表達(dá)式（見式（21）～式（23））。這些表達(dá)式的適用情況已超過文獻(xiàn)［5］中相關(guān)公式的適用范圍，因文獻(xiàn)［5］中公式僅能處理圓柱線圈對稱放置于屏蔽圓柱中的情形（即圓柱線圈需與屏蔽圓柱中心重合），而本文表達(dá)式（見式（21）～式（24））對圓柱線圈的軸向位置沒有任何限制。與FEM模擬的數(shù)值計(jì)算對比表明了本文提出的屏蔽同軸矩形截面圓柱線圈自、互感公式的正確性，且其運(yùn)算效率也完全滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

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Approach for Inductance Calculations of Coaxial Circular Coils Shielded by Cylindrical Magnetic Screen of Finite Length

Luo Yao1Chen Baichao2Zhou Hong1
（1. School of Power and Mechanical EngineeringWuhan UniversityWuhan430072China 2. School of Electrical EngineeringWuhan UniversityWuhan430072China）

For the coaxial circular rings carrying currents which are placed into the cylindrical magnetic screen of finite length， a series expression of the mutual inductance is obtained. Herein， the formula of the magnetic scalar potential on the complex plane， as well as the contour deformation and the residue theorem is applied. The obtained expression is at least one hundred times faster than the traditional one. An ansatz of the magnetic scalar potential is then introduced. An alternative series expression of the mutual inductance of the coaxial circular rings is obtained， by using the spring characteristics of the magnetic scalar potential when it passing through the area surrounded by the ring. The eigenvalues of the series depend on the positive zeroes of the zero-order Bessel function. Consequently， the self and mutual inductances of the shielded coaxial circular coils with rectangular cross section are further obtained. The results of the numerical calculations are compared with those of the FEM simulations， which show good consistency.

Inductance， cylindrical magnetic screen， residue theorem， magnetic scalar potential

TM12；TM153

羅垚男，1983年生，博士，主要研究方向?yàn)殡姶艌鼋馕鲇?jì)算及函數(shù)論的應(yīng)用。

E-mail： ostpreussen@qq.com（通信作者）

陳柏超男，1960年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榇趴仉娍蛊骼碚摷皯?yīng)用、輸配電系統(tǒng)過電壓、電力電子技術(shù)在高電壓中的應(yīng)用和電能質(zhì)量及控制等。

E-mail： whgycbc@163.com

2015-05-20改稿日期 2016-02-03