廣義Virasoro代數(shù)到中間序列模的導(dǎo)子

方政蕊

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山　354300)

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廣義Virasoro代數(shù)到中間序列模的導(dǎo)子

方政蕊

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300)

廣義Virasoro代數(shù)； 中間序列模； 導(dǎo)子；1-上同調(diào)群

(1)

其中L0=CL0Cc,Lg=CLg(g≠0).

李代數(shù)導(dǎo)子的研究是李理論中的一個(gè)重要課題，因?yàn)閷?dǎo)子與李代數(shù)的低階上同調(diào)群有密切聯(lián)系，李代數(shù)定義關(guān)系中看不出的一些結(jié)構(gòu)特性往往能隨著導(dǎo)子的確定而洞察.近年來，很多代數(shù)的導(dǎo)子已被廣泛研究，2006年Ren等[9]研究了扭Heisenberg-Virasoro代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)和自同構(gòu)群；高壽蘭等[10]研究了無中心的Virasoro李代數(shù)(即witt代數(shù))的一類擴(kuò)張李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，并給出了它的導(dǎo)子代數(shù).對于導(dǎo)子研究的文獻(xiàn)還有很多[11-13].

1　相關(guān)概念

本文討論復(fù)數(shù)域C上的李代數(shù)，設(shè)G為復(fù)數(shù)域C的任意非零加法子群.下面先給出本文要用到的一些基本概念.

定義1.1[15]如果李代數(shù)L有子空間直和分解L=g∈GLg，使得?g,h∈G，都有[Lg,Lh]?Lg+h，那么稱L是G-階化李代數(shù).

定義1.2[15]設(shè)L是G-階化李代數(shù)，W是L-模.如果W有子空間直和分解W=g∈GWg，使得?g,h∈G，都有Lg·Wh?Wg+h，那么稱W是G-階化L-模.

定義1.3[15]設(shè)L是G-階化李代數(shù)，W是L-模，φ:L→W是一個(gè)線性映射.如果?x,y∈L，都有

那么稱φ是L-模W的導(dǎo)子，簡稱W的導(dǎo)子.?ν∈W，線性變換Dν:x|→x·ν是W的導(dǎo)子，稱為W的內(nèi)導(dǎo)子；不是內(nèi)導(dǎo)子的導(dǎo)子稱為外導(dǎo)子.W的導(dǎo)子全體構(gòu)成的集合記為Der(L,W)，內(nèi)導(dǎo)子全體構(gòu)成的集合記為DerInn(L,W).

記H1(L,W)為李代數(shù)L到L-模W上的一階上同調(diào)群，則有

引理1.1[15]設(shè)L=g∈GLg是有限生成的G-階化李代數(shù)，W=g∈GWg是G-階化L-模，則Der(L,W)也是G-階化的，即有：

Der(L,W)=g∈GDer(L,W)g,

引理1.2[14]設(shè)L=g∈GLg是有限生成的G-階化李代數(shù)，W=g∈GWg是G-階化L-模.如果

1)H1(L0,Wg)=0,?g∈G{0}；

2)HomL0(Lg,Wh)=0,?g≠h，那么，Der(L,W)=Der(L,W)0+DerInn(L,W).

Aa,b(G): Lgwh=(a+h+gb)wg+h;

Aa(G): Lgwh=(h+g)wg+h,h≠0;

Lgw0=g(g+a)wg;

Ba(G): Lgwh=hwg+h,h≠-g,

Lgw-g=-g(g+a)w0;

其中g(shù),h∈G，c在Aa,b(G),Aa(G),Ba(G)上的作用都為0.

對于引理1.3中L的三類中間序列模及子商模，有以下同構(gòu)關(guān)系：

(i)Aa,b(G)?Aa′,b(G),a-a′∈G;

(ii)Aa,0(G)?Aa′,1(G),a?G,a-a′∈G;

下面討論廣義Virasoro代數(shù)到三類中間序列模的導(dǎo)子，記廣義Virasoro代數(shù)為L.

2　L到模Aa,b(G)的導(dǎo)子

由于?a,a′∈C，當(dāng)a-a′∈G時(shí)，有Aa,b(G)?Aa′,b(G)，因此，可以假定a?G或a=0.記W=Aa,b(G)，則W=g∈GCwg，且

定義L到W的4個(gè)線性映射如下：

容易驗(yàn)證這4個(gè)線性映射和Dw0具有如下性質(zhì)，其中Dw0為內(nèi)導(dǎo)子.

性質(zhì)2.1(1)當(dāng)a=0,b=1時(shí)，θ1∈Der(L,Wg)0，且θ1,Dw0線性無關(guān)；

(2)當(dāng)a=0,b=2時(shí)，θ2∈Der(L,Wg)0，且θ2,Dw0線性無關(guān)；

(3)當(dāng)a=0,b=2時(shí)，Dw0=0,θ3,θ4∈Der(L,Wg)0，且θ3,θ4線性無關(guān)；

引理2.1對?g∈G，當(dāng)g≠0時(shí)，有H1(L0,Wg)=0.

證明設(shè)D∈Der(L0,Wg),?x∈L0，將D作用等式0=[L0,x]，得

引理2.2對?g,h∈G，當(dāng)g≠h時(shí)，有HomL0(Lh,Wg)=0.

證明設(shè)φ∈HomL0(Lh,Wg),?x∈Lh,φ(x)∈Wg.將φ作用等式hx=[L0,x]，得

移項(xiàng)得(a+g-h)φ(x)=0.由于a?G或a=0，且g≠h，所以a+g-h≠0，進(jìn)而有φ(x)=0.由此得φ=0，所以HomL0(Lh,Wg)=0.

由引理2.1,引理2.2以及文獻(xiàn)[14]的命題1.2，可得命題2.1.

命題2.1Der(L,W)=Der(L,W)0+DerInn(L,W).

由命題2.1，只需計(jì)算Der(L,W)0.為此，下面分5種情況進(jìn)行計(jì)算.

引理2.3當(dāng)a≠0時(shí)，Der(L,W)0?DerInn(L,W).

證明任取D∈Der(L,W)0，對?x∈Lg，有D(x)∈Wg.將D作用等式gx=[L0,x]，得

整理得

引理2.4當(dāng)a=0, b≠0,1,2時(shí)，DerInn(L,W)0?DerInn(L,W).

證明任取D∈Der(L,W)0，對?g∈G{0}，將D分別作用等式gLg=[L0,Lg]和0=[c,Lg]，得

在上式中比較wg+h的系數(shù)，可得

(2)

進(jìn)一步地，在(2)中，用-g替換h，有

(3)

利用(3)式及b≠1的條件，可得

(4)

在(2)式中，取h=1，可得

(5)

在(2)式中，取h=-1，并用g+1替換g，可得

(6)

聯(lián)立(5)，(6)式，消去f(g+1)，并利用(4)式有f(1)=-f(-1)，可得，

當(dāng)b≠-1時(shí)，利用b≠2的條件消去2+b-b2，可得f(g)=gf(1)；

注意到，將b=-1代入(5)，(6)式中，也可得，f(g)=gf(1)，所以取k=f(1)，即得到

即

Der(L,W)0?DerInn(L,W).

引理2.5當(dāng)a=0,b=1時(shí)，Der(L,W)0=Cθ1CDw0.

證明由性質(zhì)2.1，只需證明Der(L,W)0?Cθ1CDw0.任取D∈Der(L,W)0，由引理2.4的證明可得，D(L0)=D(c)=0.對?g∈G，設(shè)D(Lg)=f(g)wg，有f(0)=0.

將b=1代入(5)，(6)式，可得

(7)

(8)

聯(lián)立(7)，(8)式，消去f(g+1)，可得

即得到f(g)=k1g2+k2g，

因此，D(Lg)=f(g)wg=k1g2wg+k2gwg,

由于k2gwg=Lg·w0，所以

因此Der(L,W)0?Cθ1CDw0，從而，Der(L,W)0=Cθ1CDw0.

引理2.6當(dāng)a=0,b=2時(shí)，Der(L,W)0=Cθ2CDw0.

證明由性質(zhì)2.1，只需證明Der(L,W)0?Cθ2CDw0.任取D∈Der(L,W)0，由引理2.4的證明可得，D(L0)=D(c)=0.對?g∈G，設(shè)D(Lg)=f(g)wg，有f(0)=0.

將b=2 代入(2)式，可得

(9)

進(jìn)一步地，在(9)式中，用-g替換h，可得

(10)

即f(1)=f(-1),f(2)=f(-2)

在(9)式中，取h=1，可得

(11)

取f(1)=2k1,f(2)-2f(1)=k2，即得到

因此D=k1Dw0+k2θ2，所以

從而

Der(L,W)0=Cθ2CDw0

引理2.7當(dāng)a=0,b=0時(shí)，Der(L,W)0=Cθ3Cθ4.

證明由性質(zhì)2.1，只需證明Der(L,W)0?Cθ3Cθ4.任取D∈Der(L,W)0，對?g∈G，設(shè)D(Lg)=f(g)wg，將b=0代入(5)，(6)式，可得

(12)

(13)

聯(lián)立(12)，(13)式，消去f(g+1)，可得

所以D=k3θ3+k4θ4，Der(L,W)0?Cθ3Cθ4，從而Der(L,W)0=Cθ3Cθ4.

由命題2.1和引理2.3～2.7，可得下面的定理.

定理2.1設(shè)W=Aa,b(G)有

(1)當(dāng)a?G時(shí)，Der(L,W)=DerInn(L,W)；

(2)當(dāng)a=0,b≠0,1,2時(shí)，Der(L,W)=DerInn(L,W)；

(3)當(dāng)a=0,b=1時(shí)，Der(L,W)=DerInn(L,W)Cθ1；

(4)當(dāng)a=0,b=2時(shí)，Der(L,W)=DerInn(L,W)Cθ2；

(5)當(dāng)a=0,b=0時(shí)，Der(L,W)=DerInn(L,W)Cθ3Cθ4；

推論2.1

3　L到模Aa(G)的導(dǎo)子

由文獻(xiàn)[8]中關(guān)于模的同構(gòu)關(guān)系可知，A0(G)?A0,1(G)，下面只對a≠0的情形進(jìn)行討論.

記W=Aa(G)，則W=g∈GCwg，且

Lgw0=g(g+a)wg.

性質(zhì)3.1定義L到W的線性映射為：Ψ(Lg)=gwg,Ψ(c)=0.則當(dāng)a≠0時(shí)，這個(gè)線性映射Ψ∈Der(L,Wg)0，且Ψ，Dw0線性無關(guān)，其中Dw0為內(nèi)導(dǎo)子.

引理3.1對?g∈G，當(dāng)g≠0時(shí)，有H1(L0,Wg)=0.

證明設(shè)D∈Der(L0,Wg),?x∈L0，則D(x)∈Wg, D(c)∈Wg，

設(shè)D(x)=f(g)wg，對?g∈G，當(dāng)g≠0時(shí)，有

引理3.2對?g,h∈G，當(dāng)g≠h時(shí)，有HomL0(Lh,Wg)=0.

證明設(shè)φ∈HomL0(Lh,Wg),?x∈Lh,φ(x)∈Wg.將φ作用等式hx=[L0,x]，得

gφ(x)=hφ(x),

經(jīng)移項(xiàng)得

對?g,h∈G，當(dāng)g≠h時(shí)，有g(shù)-h≠0，所以φ(x)=0，由此得φ=0，所以HomL0(Lh,Wg)=0.

由引理3.1、引理3.2以及文獻(xiàn)[14]的命題1.2，可得命題3.1.

命題3.1Der(L,W)=Der(L,W)0+DerInn(L,W).

由命題3.1，只需計(jì)算Der(L,W)0.

引理3.3Der(L,W)0=CΨCDw0.

證明由性質(zhì)2.1，只需證明Der(L,W)0?CΨCDw0.任取D∈Der(L,W)0，對?g∈G，設(shè)D(Lg)=f(g)wg,D(c)=c0w0.

將D作用于[L-1,c]=0和[L1,L-1]=-2L0上，可得c0=f(0)=0.

當(dāng)g≠0,-1時(shí),

將D作用于[L-1,Lg+1]=(g+2)Lg和[L1,Lg]=(g-1)Lg+1上，可得

(14)

(15)

聯(lián)立(14)，(15)式，可得

(16)

顯然，(16)式對g=0,-1也成立，從而對任意g成立.

因此

從而Der(L,W)0?CΨCDw0.

綜上所述，Der(L,W)0=CΨCDw0.

由A0(G)?A0,1(G)，可知當(dāng)a=0時(shí)，L到模A0(G)的導(dǎo)子與模A0,1(G)的導(dǎo)子結(jié)構(gòu)相同，所以由定理2.1以及引理3.3有以下定理.

定理3.1Der(L,A0(G))=CΨDerInn(L,A0(G)).

推論3.1dimH1(L,A0(G))=1.

4　L到模Ba(G)的導(dǎo)子

由文獻(xiàn)[8]中關(guān)于模的同構(gòu)關(guān)系可知，B0(G)?A0,0(G)，下面只對a≠0的情形進(jìn)行討論.

記W=Ba(G),a≠0，則W=g∈GCwg，且

定義L到W的線性映射θ1,θ2如下：

容易驗(yàn)證兩個(gè)線性映射具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)4.1θ1,θ2∈Der(L,Wg)0,且θ1,θ2線性無關(guān).

因?yàn)長0和c在Aa(G)和Ba(G)的基元wg上的作用相同，所以引理3.1和引理3.2對于模Ba(G)也成立.于是可直接得出以下兩個(gè)引理.

引理4.1對?g∈G，當(dāng)g≠0時(shí)，有H1(L0,Wg)=0.

引理4.2對?g,h∈G，當(dāng)g≠h時(shí)，有HomL0(Lh,Wg)=0.

由引理4.1、引理4.2以及文獻(xiàn)[14]的命題1.2，可得命題4.1.

命題4.1Der(L,W)=Der(L,W)0+DerInn(L,W).

由命題4.1，只需計(jì)算Der(L,W)0.

引理4.3Der(L,W)0=Cθ1Cθ2.

證明由性質(zhì)4.1知，θ1和θ2線性無關(guān)，只需證明Der(L,W)0?Cθ1Cθ2，任取D∈Der(L,W)0，對?g∈G，設(shè)D(Lg)=f(g)wg,D(c)=c0w0.

當(dāng)g+h≠0時(shí)，

由D[Lg,Lh]=Lg·D(Lh)-Lh·D(Lg),得

(17)

將g=1代入(17)式，得

其中h≠-1.

再將g=-1代入(17)式，并用h+1替換h，得

其中h≠0.因此，可得到

(18)

由(18)式可得，對任意的h≠0，有

從而

下面求D(L0)和D(c).

由D[L-1,L1]=L-1·D(L1)-L1·D(L-1),得

所以

最后，由于

16f(1)a-16f(-1)a)w0=

因此

進(jìn)而Der(L,W)0?Cθ1Cθ2.

由B0(G)?A0,0(G)，可知當(dāng)a=0時(shí)，L到模B0(G)的導(dǎo)子與模A0,0(G)的導(dǎo)子結(jié)構(gòu)相同，所以由定理3.1以及引理4.3，有以下定理：

定理4.1Der(L,Ba(G))=Cθ1Cθ2DerInn(L,Ba(G)).

推論4.1dimH1(L,Ba(G))=2.

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(責(zé)任編輯陸泉芳)

The derivations from the generalized Virasoro algebra to its intermediate series modules

FANG Zheng-rui

(Department of Mathematics and Computer，Wuyi College，Wuyishan 354300，F(xiàn)ujian,China)

generalized Virasoro algebra;modules of the intermediate series;derivations;the first cohomology group

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.009

2016-05-09;修改稿收到日期:2016-07-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571145)；武夷學(xué)院青年專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(XQ201107)

方政蕊(1978—)，女，福建武夷山人，講師，碩士.主要研究方向?yàn)槔畲鷶?shù).E-mail:fzr1117@163.com

O 152.5

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0036-06