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    矩陣環(huán)Mn(R)的中心圖

    2016-10-12 02:44:46曾慶雨唐高華劉衍民
    關(guān)鍵詞:連通分支同構(gòu)師范學(xué)院

    曾慶雨,易 忠,唐高華,劉衍民,李 湘

    (1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,貴州遵義 563002;2.桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部,廣西桂林 541004;3.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西南寧 530023)

    ?

    矩陣環(huán)Mn(R)的中心圖

    曾慶雨1,易忠2,唐高華3,劉衍民1,李湘1

    (1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,貴州遵義563002;2.桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部,廣西桂林541004;3.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西南寧530023)

    矩陣環(huán);中心圖;連通性;直徑;圍長

    3.College of Mathematics and Statistics,Guangxi Teachers Education University,Nanning 530023,Guangxi,China)

    0 引言

    有限環(huán)是代數(shù)學(xué)中非常重要的研究對象,它在眾多數(shù)學(xué)分支及工程科學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用.用圖的性質(zhì)去研究代數(shù)結(jié)構(gòu),是近20年來非常熱門的一個課題,它建立了環(huán)論和圖論兩大數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系,同時也導(dǎo)出了很多迷人的結(jié)果.

    2011年,Balakrishnan等[1]提出了群的中心圖的概念,記群G的中心圖為Γ(G),其頂點集為G中所有的元素,且任意兩個頂點a與b相連當且僅當ab∈Z(G).文獻[2-4]研究了一些特殊群的中心圖;文獻[5]引進環(huán)的中心圖的概念,并研究了群環(huán)ZnS3的中心圖的連通性和直徑.本文研究矩陣環(huán)Mn(R)的中心圖.在不引起混淆的情況下,記任意環(huán)R的中心圖為Γ(R),其頂點集為R(R),兩個不同的頂點a與b相連當且僅當ab∈Z(R)或ba∈Z(R),這里Z(R)是R的中心.

    記交換環(huán)R的所有零因子做成的集合為D(R),R的單位群為U(R),R上的n階矩陣環(huán)Mn(R)的所有可逆矩陣、零因子矩陣、對合矩陣和弱對合矩陣做成的集合為Un(R),Dn(R),εn(R),ωn(R).記數(shù)域F上的n階矩陣環(huán)Mn(F)的所有n×n可逆矩陣、零因子矩陣、對合矩陣和弱對合矩陣做成的集合為Un(F),Dn(F),εn(F),ωn(F).

    1 主要引理

    首先,A∈Mn(R)稱為對合矩陣,若A2=E,其中E是Mn(R)的單位元.

    定義1設(shè)R是任意交換環(huán),A∈Mn(R)稱為弱對合矩陣,若對某個u∈U(R),有A2=uE,其中E是Mn(R)的單位元.

    引理1[6]設(shè)F是有限域且ch(F)≠2,則

    引理2[7]設(shè)F是有限域,則

    引理3設(shè)A≠0是Mn(F)的零因子,則存在0≠B∈Mn(F),使得AB∈Z(Mn(F))當且僅當AB=0.

    證明首先,Z(Mn(F))=kE,E是Mn(F)的單位元.設(shè)A≠0是Mn(F)的零因子,那么A?Z(Mn(F)).若存在0≠B∈Mn(F),使得AB∈Z(Mn(F)),則B既不是中心元,也不是單位元.事實上,若B∈Z(Mn(F)),則對某個0≠t∈F有B=tE,但對某個k∈F有AB=kE,因此A=t-1kE,這與A?Z(Mn(F))矛盾.進一步,若B∈Un,AB=kE,則A=kEB-1,即A是可逆矩陣,矛盾.反之顯然.】

    引理4[6]設(shè)Mn(F)是有限域F上的n階矩陣環(huán),則Γ(Dn(F))是連通的且diam(Γ(Dn(F)))=2.

    引理6[9]一個有限圖是可平面的當且僅當其不含K5或K3,3的子圖.

    引理7[6]設(shè)R是交換環(huán).若每個R的有限零因子集都有非零零化子,則diam(Γ(Dn(R)))=2.

    2 主要結(jié)果與證明

    定理2設(shè)F是一個有限域,

    情形1若S=T,說明A是一個弱對合矩陣,因此Γ(S∪T)?Kp-1.

    另一方面,設(shè)C∈U(Mn(R)),C?S∪T,若對某個k∈U(R),AC∈kE,那么C=kA-1,所以C∈S∪T,這是一個矛盾.所以Γ(Un(R))的每一個連通分支都同構(gòu)于Kp-1或Kp-1,p-1.】

    若F是有限域且特征不等于2,由引理1~2以及定理1,我們能得到以下結(jié)果:

    個連通分支.

    由定理3,以下結(jié)果是顯然的.

    定理5設(shè)F是有限域,

    定理6若F是一個有限域,則g(Γ(Dn(F)))=3.

    證明令

    則A1,A2和A3是Dn(F)中不同的零因子,使得A1A2=A2A3=A3A1=0.】

    定理7對任意的交換環(huán)R,g(Γ(Mn(R)))=3.

    證明過程與定理6的證明類似.

    證明由定理1,Γ(ωn(F))的每一個連通分支都同構(gòu)于Kq-1.再由引理6,結(jié)果顯然.】

    證明由定理3,Γ(Un(F))的每一個連通分支都同構(gòu)于Kp-1或Kp-1,p-1.結(jié)合引理6,結(jié)果顯然.】

    由引理3,4和定理3,4,我們有以下結(jié)果:

    定理10設(shè)F是有限域且ch(F)≠2,則Γ(Mn(F))有

    個連通分支,而且,

    個連通分支同構(gòu)于Kp-1,p-1,而

    定理11設(shè)R是交換環(huán)且每個R的有限零因子集都有非零零化子,則Γ(Mn(R))是連通的且diam(Γ(Mn(R)))=3.

    情形1若A,B∈Un(R),則存在C,D∈Un(R)和k,l∈D(R),使得AC=DB=E,kl=0,從而kC,lD∈Dn(R).因此A-kC-lD-B是一條路.

    情形2若A,B∈Dn(R),則由定理7,結(jié)果顯然.

    情形3若A∈Dn(R),B∈Un(R),則存在k∈D(R)和C∈Un(R),使得kC∈Dn(R),CB=E,由引理7結(jié)果顯然.

    結(jié)合情形1~3可知,Γ(Mn(R))是連通的且diam(Γ(Mn(R)))=3.】

    [1]BALAKRISHNANP,SATTANATHANM,KALAR.Thecentergraphofagroup[J].South Asian Journal of Mathematics,2011,1(1):21.

    [2]MA Xuan-long,WEI Hua-Quan,ZHONG Guo,et al.The center graph on dihedral group[J].JournalofGuangxiTeachersEducationUniversity(NaturalScienceEdition),2012,29(2):6.

    [3]蘇華東,馬儇龍,鐘國,等.Sn和An的中心圖[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,28(4):10.

    [4]韋華全,馬儇龍,蘇華東,等.D2n和Q4n的中心圖[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,52(1):5.

    [5]曾慶雨,易忠,唐高華,等.群環(huán)ZnS3的中心圖[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,32(1):64.

    [6]BOZIC I,PETROVIC Z.Zero-divisor graphas of mathrices over commutative rings[J].CommunicationsinAlgebra,2009,37(4):1186.

    [7]MCDONALD B R.LinearAlgebraOverCommutativeRings[M].New York:Marcel Dekker Inc,1984:56.

    [8]AKBARI S,MOHAMMADIAN A.Zero-divisor graphs of non-commutative rings[J].JournalofAlgebra,2006,296(2):462.

    [9]邦迪J A,默蒂U S R.圖論及其應(yīng)用[M].吳望名,李念祖,吳蘭芳,等譯.北京:科學(xué)出版社,1984:163.

    (責任編輯馬宇鴻)

    The center graph of matrix ringMn(R)

    ZENG Qing-yu1,YI Zhong2,TANG Gao-hua3,LIU Yan-min1,LI Xiang1

    (1.School of Mathematics and Computing Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,Guizhou,China;2.Faculty of Science,Guilin University of Aerospace Technology,Guilin 541004,Guangxi,China;

    matrixring;centergraph;connectivity;diameter;girth

    10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.008

    2015-01-27;修改稿收到日期:2016-01-10

    國家自然科學(xué)基金資助項目(11161006,11171142,71461027);貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目(黔科合LH字[2015]7050,黔科合[2012]2340,黔科合LH字[2015]7047,LKZS[2012]10);貴州省自然科學(xué)基金資助項目(黔教合[2014]295)

    曾慶雨(1987—),男,貴州仁懷人,講師,碩士.主要研究方向為代數(shù)圖論.

    E-mail:963738522@qq.com

    O 153.3

    A

    1001-988Ⅹ(2016)05-0032-04

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