Rosenau-KdV方程的一個非線性守恒加權(quán)差分逼近

陳利婭，胡勁松*

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川成都　610039)

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Rosenau-KdV方程的一個非線性守恒加權(quán)差分逼近

陳利婭，胡勁松*

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川成都610039)

利用LXA加權(quán)差分格式的構(gòu)造思想，在空間層引入加權(quán)系數(shù)，對Rosenau-KdV方程的初邊值問題進(jìn)行數(shù)值研究，提出了一個三層非線性加權(quán)差分格式，合理模擬了該問題的兩個守恒性質(zhì)，得到了差分解的先驗估計，并利用離散泛函分析方法分析了格式的二階收斂性與無條件穩(wěn)定性.數(shù)值實驗表明，該方法是可靠的，且適當(dāng)調(diào)整加權(quán)系數(shù)可以大幅提高計算精度.

Rosenau-KdV方程；差分格式；守恒；收斂性；穩(wěn)定性

在描述緊離散系統(tǒng)的動力學(xué)行為時，Rosenau方程：

(1)

一經(jīng)提出就引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-7].作為非線性波的進(jìn)一步考慮，對Rosenau方程(1)添加粘性項uxxx，則得到Rosenau-KdV方程[8]：

(2)

文獻(xiàn)[8]討論了Rosenau-KdV方程(2)的孤波解和周期解，文獻(xiàn)[9-11]進(jìn)一步給出了帶通常的冪指數(shù)非線性項的廣義Rosenau-KdV方程的孤波解以及兩個守恒量.

本文考慮如下Rosenau-KdV方程的初邊值問題:

(3)

(4)

(5)

其中u0(x)是已知光滑函數(shù).由于Rosenau-KdV方程(2)的單個孤波解[8]為：

即Rosenau-KdV方程(2)的物理邊界滿足：

因此，當(dāng)-xL?0,xR?0時，初邊值問題(3)～(5)與Rosenau-KdV方程(2)的Cauchy問題是一致的，故邊界條件(5)的假設(shè)是合理的.問題(3)～(5)具有如下守恒律[12]：

(6)

(7)

其中Q(0),E(0)均為僅與初始條件有關(guān)的常數(shù).

文獻(xiàn)[12]對初邊值問題(3)～(5)提出了一個具有二階精度的三層線性守恒差分格式，且模擬了守恒量(6)和(7)；文獻(xiàn)[13,14]進(jìn)一步對一類廣義Rosenau-KdV方程提出了兩層和三層有限差分格式，但它們都只能模擬守恒量(7).本文在保持二階理論精度的前提下，利用LAX加權(quán)格式的構(gòu)造思想，在空間層引入加權(quán)系數(shù)θ，對初邊值問題(3)～(5)構(gòu)造了一個具有二階精度的含有加權(quán)系數(shù)的非線性差分格式，該格式合理模擬了守恒量(6)和(7)，通過適當(dāng)調(diào)整加權(quán)系數(shù)θ，可以使計算精度大幅度提高，且計算效果明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[12]中的二階格式.

1　差分格式及守恒律

用C表示與τ和h無關(guān)的一般正常數(shù)(即在不同地方有不同的取值)，并定義如下記號：

(8)

(9)

(10)

為便于分析，定義

則差分格式(8)～(10)對守恒量(6)和(7)的數(shù)值模擬如下：

定理1差分格式(8)～(10)關(guān)于以下離散能量是守恒的，即

(11)

(12)

其中，n=1,2,…,N.

證明將(8)式兩端乘以h然后對j從1到J-1求和，考慮到邊界條件(10)以及分部求和公式[15]可得

(13)

由Qn的定義，將(13)式遞推即可得(11)式.

(14)

又因為

(15)

(16)

所以，由En的定義，將(15)和(16)式代入(14)式，然后遞推即可得(12)式.】

2　差分格式的收斂性與穩(wěn)定性

下面在先驗估計的基礎(chǔ)上，運(yùn)用離散泛函分析方法討論差分解的收斂性和穩(wěn)定性.

差分格式(8)～(10)的截斷誤差定義如下：

(17)

(18)

(19)

由Taylor展開可知，當(dāng)h,τ→0時，

引理1[12]設(shè)u0∈H2[xL,xR]，則初邊值問題(3)～(5)的解滿足：

從而有

證明由于

(20)

所以由定理1可得

再由Cauchy-Schwarz不等式,有

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

類似于(15)式有

(26)

利用引理1、定理2以及Cauchy-Schwarz不等式，有

(27)

(28)

將(26)～(28)式代入(25)式，并結(jié)合(21)式，整理得

(29)

令

對(29)式兩端同時乘以τ，然后從0到n-1求和得：

(30)

由于B0=O(τ2+h2)2，且

所以類似于(20)式，有

于是由離散Gronwall不等式[15]，有

再類似(21)式，有

最后由離散Sobolev不等式[15]，有

與定理3類似，可以證明：

3　數(shù)值實驗

在數(shù)值實驗中，取初值函數(shù)為：

固定xL=-70,xR=100,T=40.為了便于比較，記本文的加權(quán)格式為格式1(表1和表2中僅用加權(quán)系數(shù)θ的值來表示)，記文獻(xiàn)[12]中的三層線性格式為格式2.就τ和h的不同取值，分別列出了t=20和t=40兩個時刻格式1在加權(quán)系數(shù)θ取不同值時的誤差和格式2的誤差進(jìn)行比較，結(jié)果見表1和表2；加權(quán)系數(shù)取0.5和1.0兩種情形下的守恒量Qn和En的部分?jǐn)?shù)據(jù)見表3和表4.

表1　t=20時，格式1在不同參數(shù)下的誤差和格式2的誤差比較

表2　t=40時，格式1在不同參數(shù)下的誤差和格式2的誤差比較

表3　θ=0.5時，格式1的守恒量Q n和E n的部分?jǐn)?shù)據(jù)

表4　θ=1.0時，格式1的守恒量Q n和E n的部分?jǐn)?shù)據(jù)

從數(shù)值結(jié)果可以看出，本文格式明顯具有二階精度；隨著加權(quán)系數(shù)(θ>0.5)逐步增大，數(shù)值解的誤差也隨之增大；加權(quán)系數(shù)θ取0.5時計算效果最好，相對于文獻(xiàn)[12]中的三層線性差分格式，其計算精度提高了一個數(shù)量級.另外，格式也對守恒量(6)和(7)進(jìn)行了高精度模擬，故本文對初邊值問題(1)～(3)提出的加權(quán)格式是可靠的.

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

A weighted nonlinear conservative difference scheme for Rosenau-KdV equation

CHEN Li-ya,HU Jin-song

(School of Science,Xihua University,Chengdu 610039,Sichuan,China)

In this paper,a finite difference method for an initial-boundary value problem of Rosenau-KdV equation is considered.A nonlinear three-level conservation finite difference scheme with weighted coefficient is designed by LAX scheme.The scheme simulates two conservation properties of the problem well.The prior estimates of the finite difference solution are also obtained.It is proved that the finite difference scheme is convergent with second-order and unconditionally stable by discrete functional analysis method.Numerical experiment also shows that appropriate adjustments to the weighted parameter would significantly improve the computational accuracy.

Rosenau-KdV equation;difference scheme;conservative;convergence;stability

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.005

2016-01-14;修改稿收到日期:2016-04-01

四川省教育廳重點科研基金資助項目(16ZA0167)；西華大學(xué)重點科研基金資助項目(Z1513324)

陳利婭(1972—)，女，四川新都人，副教授.主要研究方向為偏微分方程數(shù)值解.E-mail:chenliya-1@163.com

*通訊聯(lián)系人，男，教授，博士.主要研究方向為偏微分方程數(shù)值解.E-mail:hjs888hjs@163.com

O 241.82

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0018-06