軸承過盈配合量對主軸動力學(xué)特性的影響

郭鐵能，馬小超，谷昀超，陳劍科

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

軸承過盈配合量對主軸動力學(xué)特性的影響

郭鐵能，馬小超，谷昀超，陳劍科

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

為探索軸承配合過盈量在轉(zhuǎn)速和溫升等因素影響下的變化規(guī)律及對主軸系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律，首先建立了考慮轉(zhuǎn)速引起的內(nèi)圈離心膨脹和溫升引起的熱位移軸承過盈配合模型，然后將過盈配合模型耦合進(jìn)Harries軸承動力學(xué)模型，建立了考慮軸承配合的軸承動力學(xué)模型，并基于Timoshenko理論建立機(jī)床主軸系統(tǒng)有限元模型.針對實(shí)驗(yàn)室自建主軸系統(tǒng)，進(jìn)行了軸承配合過盈量對主軸動力學(xué)特性影響分析.結(jié)果表明：軸承內(nèi)、外圈初始過盈量增加，原始接觸角線性減?。怀跏歼^盈量在溫升及離心力的雙重影響因素下會增大；初始過盈量、內(nèi)圈離心膨脹及內(nèi)外圈熱膨脹會導(dǎo)致軸承剛度增大，軸承剛度增大導(dǎo)致主軸系統(tǒng)固有頻率增加，相比較一、二階固有頻率，三、四階固有頻率受過盈量及其影響因素的影響較大.

過盈配合量；有限元；固有頻率

影響主軸系統(tǒng)動力學(xué)特性的因素很多，包括主軸系統(tǒng)受到的驅(qū)動力、預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速等，然而主軸系統(tǒng)又包括了軸承、主軸等部件，每一個部件及其影響因素對整體主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性都有影響，許多學(xué)者也對主軸系統(tǒng)動力學(xué)特性及影響規(guī)律做了大量的研究，但涉及主軸軸承配合對主軸系統(tǒng)動力學(xué)特性及影響因素的作用規(guī)律很少.2003年，Lin等［1］建立了主軸系統(tǒng)熱-機(jī)械力模型，考慮了熱特性、軸承預(yù)緊力和剛度的影響，但是其只考慮了軸承的靜態(tài)支撐剛度，沒有考慮高速狀態(tài)下軸承剛度的變化. 2006年，Chen等［2］研究了轉(zhuǎn)速和載荷對轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，發(fā)現(xiàn)離心力引起的軸承剛度軟化是引起電主軸系統(tǒng)剛度降低的主要原因，其次是主軸的陀螺效應(yīng).2007年，British Columbia大學(xué)Cao等［3］的主軸系統(tǒng)模型中包含了離心力、陀螺效應(yīng)，以及軸承接觸角、預(yù)載、主軸轉(zhuǎn)子和軸套偏移等的影響，比較系統(tǒng)地提出了主軸系統(tǒng)的通用建模方法.湖南大學(xué)的張峻暉等［4］研究高速軸承過盈配合量的計算方法，系統(tǒng)分析了過盈配合的影響因素，但沒有考慮其對軸承及主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.中國科技大學(xué)的王碩貴［5］研究了初始過盈配合量和預(yù)緊力對軸承剛度的影響，但是沒有考慮由轉(zhuǎn)速引起的離心力及溫升引起的過盈量的變化.西安交通大學(xué)的田久良等［6］建立了考慮軸承過盈量的主軸系統(tǒng)熱-力耦合模型，重點(diǎn)分析了離心效應(yīng)和陀螺力矩對主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.

本文首先建立了考慮轉(zhuǎn)速引起的內(nèi)圈離心膨脹和溫升熱位移等影響因素的軸承過盈配合模型，并將過盈配合模型耦合進(jìn)Harries軸承動力學(xué)模型，建立了考慮軸承配合的軸承動力學(xué)模型.然后基于Timoshenko理論建立機(jī)床主軸系統(tǒng)有限元模型，并與軸承模型集成，得到整體高速主軸系統(tǒng)的有限元模型.最后分析了過盈配合量及其影響因素對軸承結(jié)構(gòu)和其動態(tài)特性以及主軸系統(tǒng)力學(xué)特性的影響規(guī)律.

1　過盈配合量對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)影響

角接觸球軸承由滾動體、保持架及內(nèi)、外圈4個部分構(gòu)成，其中為使軸承內(nèi)外圈嚴(yán)格定位，并使配合面不產(chǎn)生間隙，軸承內(nèi)、外圈分別與主軸和軸承座（或箱體）進(jìn)行過盈配合，軸承座相對主軸系統(tǒng)是固定的.初始過盈配合量和預(yù)緊力的大小會改變軸承內(nèi)部的結(jié)構(gòu)參數(shù)，軸承內(nèi)外圈發(fā)生徑向變形，接觸角發(fā)生改變.電主軸高速旋轉(zhuǎn)時，一方面產(chǎn)生的離心力會改變主軸與軸承內(nèi)圈的過盈配合量，另一方面由于溫度的升高，軸承內(nèi)、外圈發(fā)生膨脹，初始過盈量發(fā)生改變，軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)將會進(jìn)一步發(fā)生改變，進(jìn)而影響軸承的動態(tài)特性.

1.1初始過盈量的影響

根據(jù)文獻(xiàn)［7］可知，如果壓力均勻地施加在內(nèi)圓周或外圓周上，而且壁厚超過直徑的20%，則視之為厚壁圓環(huán).滾動軸承的套圈壁厚大多為直徑的20%左右，所以將其視為厚壁圓環(huán)處理.

軸承內(nèi)圈與主軸過盈配合，軸承內(nèi)圈將發(fā)生膨脹，軸承內(nèi)圈溝道直徑將增大，根據(jù)彈性力學(xué)理論得到內(nèi)圈溝道的徑向位移［7］

式中：d為軸承內(nèi)徑；Δf1為軸與軸承直徑方向的過盈量；di為內(nèi)圈溝道直徑.

同理，軸承外圈與箱體過盈配合，軸承外圈將收縮，軸承外圈溝道直徑將縮小，外圈溝道的徑向位移為

式中：Δf2為軸承外圈與軸承座孔直徑方向的過盈量；de為外圈溝道直徑；Eb、Eh、μb、μh分別為軸承和軸承座的彈性模量和泊松比.

軸承的原始接觸角與軸承的徑向游隙、溝道曲率半徑系數(shù)和滾珠直徑的關(guān)系為［8］27

式中：α0為原始接觸角；μr為徑向原始游隙；Dw為滾珠直徑；fi、fo為內(nèi)、外圈溝道半徑曲率系數(shù).

當(dāng)軸承過盈安裝后，考慮過盈量對安裝的影響，此時的接觸角為配合接觸角α1，則有

當(dāng)軸承與軸承座以及軸安裝好后，施加一定的預(yù)緊力，接觸變形使軸承內(nèi)外圈發(fā)生軸向位移，此時軸承的接觸角α與預(yù)緊前接觸角α1的關(guān)系為［8］84

式中：Fa為軸向預(yù)緊力；B=fi+fo-1；N為滾珠數(shù).

1.2離心力的影響

主軸在高速運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于離心力的存在，軸承內(nèi)圈會發(fā)生徑向變形并對軸承內(nèi)圈與主軸之間的初始過盈配合量產(chǎn)生影響，而一般軸承外圈與軸承座（或箱體）之間不產(chǎn)生相對運(yùn)動，所以外圈與軸承座之間的過盈配合不受旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致離心力的影響.

軸承內(nèi)圈溝道因離心力導(dǎo)致的徑向變形為

軸承內(nèi)圈內(nèi)徑因離心力導(dǎo)致的徑向變形為

式中：ρb為材料密度；ω為主軸轉(zhuǎn)速.

主軸外徑因離心力導(dǎo)致的徑向變形為

式中：Es、μs分別為主軸的彈性模量和泊松比；dk為主軸內(nèi)徑；ρs為材料密度.

1.3溫度的影響

主軸系統(tǒng)高速旋轉(zhuǎn)過程中，主軸系統(tǒng)內(nèi)部溫度分布不均勻，圖1所示為引用文獻(xiàn)［9］，預(yù)緊力一定的情況下，溫升隨轉(zhuǎn)速的變化情況.溫升的變化使軸承內(nèi)、外圈與主軸外徑均會發(fā)生徑向熱變形，而熱變形將會影響軸承與主軸及箱體的過盈配合狀態(tài)以及軸承的徑向工作間隙.

考慮主軸影響下的軸承內(nèi)圈溝道的熱位移為

考慮軸承座影響的軸承外圈溝道熱位移為

式中：ΔTi、ΔTs、ΔTh分別為軸承內(nèi)圈、主軸、軸承座的溫升.

2　考慮過盈配合量的軸承動力學(xué)建模

圖2所示為高速軸承載荷作用前后φk處軸承內(nèi)、外圈溝道中心與滾動體中心的幾何關(guān)系.在靜止?fàn)顟B(tài)無載荷情況下，內(nèi)、外圈溝道曲率中心的距離恒定.軸承過盈安裝到主軸和箱體并預(yù)緊后，軸承接觸角發(fā)生改變，內(nèi)外圈溝道曲率中心距離改變，但是中心依然在一條直線上，當(dāng)軸承高速旋轉(zhuǎn)時，由于離心力和陀螺力矩的作用，滾珠中心向外滾道移動，內(nèi)、外接觸角不再相等.假設(shè)外圈固定，外圈溝道曲率中心不變，內(nèi)圈溝道曲率中心相對移動.

由幾何關(guān)系可知，無載荷作用時內(nèi)、外圈溝道曲率中心之間的距離為

式中：Dw為滾動體直徑；fi為內(nèi)圈溝道曲率半徑系數(shù)；fo為外圈溝道曲率半徑系數(shù).

軸承運(yùn)轉(zhuǎn)達(dá)到新平衡后，內(nèi)、外圈溝道曲率中心的距離為

其中ric為內(nèi)圈溝道曲率中心至軸承中心的距離

式中：θ0為過盈安裝后滾動體與內(nèi)、外圈的接觸角；Dm為軸承中徑；Δur為過盈安裝配合帶來的軸承內(nèi)、外圈曲率中心的相對位移，包括初始安裝過盈配合量以及由于離心力和溫升引起相對位移的變化.

根據(jù)勾股定理，得到滾動體與內(nèi)外圈的變相幾何相容方程為

軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，其滾珠不僅受到與溝道之間的接觸力，由于自身的高速旋轉(zhuǎn)，還受到離心力及陀螺力矩的作用，如圖3所示.

對于第k個滾珠而言，在穩(wěn)定工況下，所受力組成的平衡方程式為

設(shè)軸承外圈固定不動，預(yù)緊力全部施加在軸承內(nèi)圈上，將單個滾珠對內(nèi)圈的作用力求和即可得所有滾珠對內(nèi)圈的作用力，且與預(yù)緊力形成平衡，得到軸承整體受力平衡方程.

因此，假設(shè)軸承包括K個滾珠，可以聯(lián)立這4K+5個方程，建立一個包含4K+5個方程及4K+5個未知數(shù)的非線性方程組.求解該方程組即可得到工作狀態(tài)下軸承5個自由度的位移及每個滾珠對應(yīng)的內(nèi)外圈接觸力、接觸變形、接觸角等動力學(xué)參數(shù).

3　高速電主軸系統(tǒng)有限元建模

本文基于Timoshenko梁理論對高速電主軸系統(tǒng)進(jìn)行有限元建模，模型考慮主軸刀柄和刀具部分，并且刀柄和刀具視為剛性連接，圖4為主軸系統(tǒng)各部分有限元模型.

4　基于過盈量的電主軸系統(tǒng)動態(tài)特性分析

本文分析對象為實(shí)驗(yàn)室自建主軸系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺，采用7212C角接觸球軸承作為支撐軸承，主軸、刀柄、刀具、軸承具體參數(shù)分別如表1～表4所示.

根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊軸承配合部分，軸承內(nèi)圈與軸的配合采用基孔制，軸承外圈與軸承座的配合采用基軸制，不同的機(jī)構(gòu)以及不同的負(fù)荷狀態(tài)選用的配合公差等級不同，不同的公差等級又對應(yīng)不同的配合量，軸承內(nèi)外圈的配合狀態(tài)也不相同.一般動圈為過盈配合，靜圈為間隙配合，以機(jī)床主軸用7212C角接觸球軸承為例，內(nèi)圈為旋轉(zhuǎn)圈，外圈與箱體固定為靜止圈，假設(shè)受載為中等載荷，根據(jù)尺寸查表得軸承內(nèi)圈與軸的過盈配合采用K5級公差，軸的尺寸為mm，軸承內(nèi)圈的尺寸為mm，過盈量范圍為 -0.002～0.022 mm，外圈本應(yīng)為間隙配合，但本文為了仿真外圈過盈量對結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，軸承外圈與軸承孔的過渡配合采用K7級公差，軸承孔的mm，軸承外圈的尺寸為mm，過盈量的范圍為-0.025～0.015 mm.由于在配合為間隙狀態(tài)下無法仿真得到過盈量的影響，所以只考慮過盈狀態(tài)下的配合量.為了仿真分析軸承過盈量從無到有對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，以下取內(nèi)、外圈過盈量均為0～10 μm，取值不超過理論最大值，在合理范圍之內(nèi).

表1　主軸離散單元參數(shù)Table 1 Parameters of spindle discrete element

表2　刀柄離散單元參數(shù)Table 2 Parameters of handle discrete element

表3　刀具離散單元參數(shù)Table 3 Parameters of handle discrete element

表4　角接觸陶瓷球軸承7212C參數(shù)Table 4 Parameters of angle contact ball bearing of 7212C

4.1接觸角的變化

如圖5所示，軸承過盈安裝后，原始接觸角隨內(nèi)外圈過盈量的增加線性減小，而施加預(yù)緊力后，如圖6所示，過盈安裝后的接觸角在初始過盈量一定的情況下隨預(yù)緊力的增加非線性增加.

4.2初始過盈量的變化

軸承外圈與軸承座（或箱體）之間不產(chǎn)生相對運(yùn)動，所以外圈與軸承座之間的過盈配合不受旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致離心力的影響.主要研究旋轉(zhuǎn)狀態(tài)影響下的主軸與軸承內(nèi)圈的徑向位移的變化，如圖7所示.

從圖7能看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，主軸外徑與軸承內(nèi)圈的徑向位移均呈非線性增長，軸承內(nèi)圈的變形量始終大于主軸外徑的變形量，因此過盈配合量將減小，并且減小量隨著轉(zhuǎn)速非線性增加，當(dāng)轉(zhuǎn)速在5 000 r/min時，過盈配合的減小量為0.19 μm，基本可以忽略不計，但是當(dāng)轉(zhuǎn)速為50 000 r/min時，過盈配量的減小量為18.51 μm，因此在選擇初始過盈配合量時，尤其對于高速主軸系統(tǒng)，必須預(yù)先考慮離心力對于過盈配合量的減小效應(yīng)，提前給予補(bǔ)償，否則軸承可能出現(xiàn)松脫現(xiàn)象.

從圖8能看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，軸承與主軸的熱位移均增加，當(dāng)轉(zhuǎn)速為5 000 r/min時，軸承內(nèi)圈內(nèi)徑與主軸外徑的熱位移分別為1.05 μm和1.27 μm，當(dāng)轉(zhuǎn)速為20 000 r/min時，熱位移分別為21.6 μm和27.1 μm，主軸外徑的熱位移一直大于軸承內(nèi)圈內(nèi)徑的熱位移，軸承與主軸之間的過盈量由于溫升熱位移的影響會越來越緊，結(jié)合表5得到，離心力導(dǎo)致的主軸與軸承的徑向位移使過盈量減少，溫升引起的熱位移使過盈量增加，綜合兩方面因素考慮軸承與主軸會越轉(zhuǎn)越緊.

4.3軸承剛度的變化

從圖9能看出，內(nèi)、外圈初始過盈量增加，軸承徑向剛度非線性增加，主要是因?yàn)槌跏歼^盈量的增加導(dǎo)致軸承徑向游隙減小，間接提高了軸承的徑向剛度.由圖10得知，軸承的徑向剛度隨轉(zhuǎn)速非線性降低，發(fā)生剛度“軟化”現(xiàn)象，其中考慮軸承內(nèi)、外圈熱膨脹和內(nèi)圈離心膨脹的徑向剛度較大，隨著轉(zhuǎn)速的增加差值增大，主要是因?yàn)閮?nèi)、外圈熱膨脹和內(nèi)圈離心膨脹降低了軸承的原始游隙，接觸剛度增大，間接提高軸承的徑向剛度.

4.4主軸系統(tǒng)固有頻率的變化

在一定的預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速情況下過盈量有效提高了軸承的徑向剛度.以下分析安裝過盈量對高速主軸系統(tǒng)固有頻率的影響，圖11所示為預(yù)緊力為500 N、轉(zhuǎn)速為10 000 r/min時，主軸系統(tǒng)一階固有頻率隨軸承內(nèi)、外圈過盈量的變化規(guī)律.

從以上仿真結(jié)果能看出，軸承內(nèi)、外圈過盈量增加，主軸系統(tǒng)第一階固有頻率升高，并且固有頻率隨內(nèi)、外圈過盈量增長的趨勢與軸承徑向剛度隨過盈量增長的趨勢相近，原因?yàn)檫^盈量有效地提高了軸承的徑向剛度，主軸系統(tǒng)的整體動剛度增加，從而系統(tǒng)固有頻率增加.

表5　不同轉(zhuǎn)速下離心力和溫升對過盈量變化的影響對比Table 5 Comparison of effect of centrifugal force and temperature rise impact on the interference fit under different speed　μm

假定軸承內(nèi)、外圈的過盈配合量相同，同樣設(shè)定預(yù)緊力為500 N，轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，具體分析過盈量對前四階固有頻率的影響程度.圖12以及表6為過盈量對主軸系統(tǒng)前四階固有頻率的影響.

主軸系統(tǒng)在高速旋轉(zhuǎn)過程中，初始安裝過盈量會受到由于轉(zhuǎn)速引起的離心力以及溫升的影響，離心力和溫升影響了初始安裝過盈量，進(jìn)而影響軸承的剛度，主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性也隨之改變.以下將分別分析由于軸承內(nèi)圈離心膨脹和溫升引起熱位移對主軸系統(tǒng)固有頻率的影響，探究預(yù)緊力為500 N、初始過盈量為0.01 mm時，考慮內(nèi)圈離心膨脹下固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化情況.如圖13所示.

表6　過盈量對主軸系統(tǒng)前四階固有頻率的影響Table 6 Effect of interference fit amount impact on the first four natural frequency of spindle

從圖13能看出，相比較內(nèi)圈離心膨脹對固有頻率的影響，由于溫升引起的熱位移對主軸系統(tǒng)固有頻率的影響更大，并且隨著轉(zhuǎn)速的升高，固有頻率的變化增大.這與前面分析軸承剛度的變化趨勢相同，熱位移與內(nèi)圈離心膨脹均縮小了軸承的工作間隙，提高了軸承的徑向剛度，并且熱位移的影響大于內(nèi)圈離心膨脹的影響，最終導(dǎo)致固有頻率的升高.結(jié)合表7所示3種條件下前四階固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化情況，能看出相比較一、二階固有頻率，三、四階固有頻率受熱位移與內(nèi)圈離心膨脹的影響較大.

表7　不同因素下前四階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化Table 7 Comparison of the natural frequency of spindle with change of speed under different factors　Hz

5　結(jié)論

1）隨著轉(zhuǎn)速的提高，軸承內(nèi)部離心力和陀螺力矩的作用顯著，軸承剛度非線性減低，發(fā)生“軟化”現(xiàn)象；過盈量提高，軸承剛度明顯增加，而由于轉(zhuǎn)速引起的離心力和溫升進(jìn)而導(dǎo)致內(nèi)、外圈離心膨脹和熱位移對過盈量影響很大，并且導(dǎo)致軸承工作間隙減小，提高了軸承剛度.

2）隨著轉(zhuǎn)速的提高，固有頻率呈非線性減??；過盈量增加，主軸系統(tǒng)固有頻率增加，相比較一、二階固有頻率，三、四等高階固有頻率受影響較大.

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［6］田久良，洪軍.機(jī)床主軸系統(tǒng)熱-力耦合模型及其動態(tài)性能研究［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報，2012，46（7）：63-68. TIAN J L，HONG J.Thermo-mechanical coupling model and dynamical characteristics of machining spindle-bearing system［J］.Journal of Xi’an Jiaotong University，2012，46 （7）：63-68.（in Chinese）

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（責(zé)任編輯 張 蕾）

Effect of the Interference Fit Amount Impact on the Dynamic Characteristics of Spindle

GUO Tieneng，MA Xiaochao，GU Yunchao，CHEN Jianke
（College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

It is necessary to explore the interference fit amount under the influence of rotational speed and the temperature rise and the rules of change of dynamic characteristics of spindle system.Considering the inner ring centrifugal expansion aroused by the speed and the thermal displacement caused by temperature rise，an interference fit model of bearing was established in this paper.Then the interference fit model was coupled into Harries bearing dynamic model，the bearing dynamic model was established with consideration of the interference fit，and based on the Timoshenko theory，a finite element model of machine tool spindle system was established.Conferred on the self-built spindle system in laboratory，the effect of interference fit impact on the dynamic characteristics of spindle was analyzed.The results show that the bearing inner and outer ring initial interference amount increases，and the original contact angle linear decreases；the initial interference fit amount under the influence factors of temperature and centrifugal force increases；the initial interference quantity and inner ring centrifugal expansion and thermal expansion leads to the bearing stiffness increase，and the increase of bearing stiffness leads to the increase of natural frequency of spindle system，and compared with the first and second order natural frequency，the degree of three and four order natural frequency affected by the factors is larger.

interference fit amount；finite element；natural frequency

TH 113

A

0254-0037（2016）01-0051-09

10.11936/bjutxb2015060037

2015-06-11

國家科技重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目（2014ZX04001171）

郭鐵能（1975—），男，講師，主要從事機(jī)床動力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、振動檢測與分析、結(jié)構(gòu)控制與振動方面的研究，E-mail：gtn@bjut.edu.cn