基于接觸熱阻的高速精密電主軸熱特性分析

劉志峰，馬澄宇，趙永勝，方 翠

（北京工業(yè)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

基于接觸熱阻的高速精密電主軸熱特性分析

劉志峰，馬澄宇，趙永勝，方 翠

（北京工業(yè)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

主軸系統(tǒng)熱問(wèn)題是高精度機(jī)床必須要考慮的關(guān)鍵問(wèn)題，接觸熱阻的大小影響機(jī)床的傳熱性能，從而影響其加工精度.利用表面接觸的分形理論，計(jì)算接觸面的量綱一的接觸面積，針對(duì)接觸微凸體的熱阻由基體熱阻和收縮熱阻形成接觸對(duì)，建立了一個(gè)考慮接觸界面基體熱阻和收縮熱阻的表面接觸熱阻模型，討論了不同的分形參數(shù)對(duì)接觸熱阻的影響.以立式加工中心電主軸系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析了電機(jī)的損耗發(fā)熱和軸承的摩擦發(fā)熱，運(yùn)用有限元軟件對(duì)電主軸模型在有無(wú)接觸熱阻2種情況下的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)和穩(wěn)態(tài)熱變形進(jìn)行仿真分析.討論了有無(wú)熱阻情況下電主軸溫度和變形變化量，論證了接觸熱阻對(duì)電主軸熱溫度場(chǎng)和熱變形的影響.結(jié)果表明：電主軸考慮接觸電阻時(shí)溫度將升高，變形將增加.

接觸熱阻；電主軸；分形；熱特性

隨著機(jī)械工業(yè)的高速發(fā)展，對(duì)機(jī)床的加工精度要求越來(lái)越高.電主軸雖然對(duì)傳統(tǒng)機(jī)械主軸而言剛度較高、力學(xué)性能較好、彈性變形較小，但電主軸的電機(jī)發(fā)熱和軸承摩擦發(fā)熱對(duì)高速高精密機(jī)床的影響更為突出，因此為了進(jìn)一步改善和提高機(jī)床的加工精度，研究電主軸的熱態(tài)特性具有重要意義.在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中，接觸熱阻是很重要參數(shù)之一，其取值是否精確直接關(guān)系到機(jī)械結(jié)構(gòu)的內(nèi)部傳熱的效率.因此，通過(guò)研究粗糙表面的接觸熱阻對(duì)電主軸系統(tǒng)熱特性的分析從而保證機(jī)床精度具有實(shí)際意義.

2009年，Chang等［1］提出了一種比熱結(jié)構(gòu)耦合模型更為直接的位移測(cè)量系統(tǒng)，可更精確地監(jiān)控和補(bǔ)償高速電主軸系統(tǒng)的熱增長(zhǎng).2010年，Holkup等［2］對(duì)滾動(dòng)軸承提出了基于有限元方法的熱結(jié)構(gòu)耦合模型，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了熱結(jié)構(gòu)主軸模型的溫度分布和熱變形，以及在制定工作環(huán)境下的軸承的剛度和接觸載荷.2012年，Uhlmann等［3］考慮高速電主軸各部件間的熱源、接觸、對(duì)流等復(fù)雜的熱邊界條件，提出了三維有限元模型來(lái)預(yù)測(cè)高速電主軸的熱行為，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.分形接觸熱阻模型方面，Xu等［4］結(jié)合分形接觸理論和經(jīng)典熱傳遞理論，基于W-M函數(shù)的改進(jìn)M-B分形接觸模型，建立了一定假設(shè)條件下的結(jié)合面接觸熱阻模型，并推導(dǎo)出具有尺度獨(dú)立性的接觸熱阻理論解析公式.姬翠翠等［5-6［7-8］基于分形理論建立了一個(gè)計(jì)算接觸表面間接觸熱導(dǎo)的隨機(jī)模型.

本文考慮了微凸體間的基體傳熱和收縮傳熱2種傳熱途徑，建立接觸熱阻分形模型，計(jì)算了主軸軸承系統(tǒng)的熱邊界條件，運(yùn)用有限元分析軟件對(duì)立式加工中心電主軸在有無(wú)接觸熱阻的條件下分別進(jìn)行了溫度場(chǎng)和熱變形分析與驗(yàn)證.

1　粗糙表面的分形熱阻模型

1.1分形表征

具有分形特征的粗糙表面的輪廓曲線可用能夠生成分形曲線和曲面的著名的 Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)W-M函數(shù)）來(lái)模擬生成.試樣長(zhǎng)度L必須小于一個(gè)臨界值Lu，這樣才能反映出微凸體高度的微觀特征，所以對(duì)于小區(qū)域長(zhǎng)度Lu，W-M函數(shù)可寫(xiě)為

式中：z（x）為粗糙表面輪廓的高度；x為粗糙表面輪廓的位移坐標(biāo)；G為分形粗糙度參數(shù)，反映z（x）幅值的大?。籇為輪廓分形維數(shù)，定性反映表面輪廓在所有尺度上的不規(guī)則性；γ為大于1的常數(shù)，對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)表面，γ=1.5較符合高頻譜密度和相位隨機(jī)的情況；n為空間頻率序數(shù)；γn為輪廓曲線的空間頻率，對(duì)應(yīng)于粗糙表面波長(zhǎng) λn的倒數(shù)（γn=1/λn）；nL是與曲線結(jié)構(gòu)的最低截止頻率相對(duì)應(yīng)的序數(shù)，nL依賴(lài)于取樣長(zhǎng)度L，可由γnL=1/L確定.

當(dāng)粗糙表面與剛性光滑表面接觸時(shí)，界面上存在無(wú)數(shù)大小不等的接觸點(diǎn)并且接觸點(diǎn)尺寸越小其數(shù)量就越多.結(jié)合面接觸示意圖如圖1所示.

由W-M函數(shù)可得微凸峰截面積的分布函數(shù)為

式中：a＇為微凸峰變形后的截面積；ψ為微觀接觸的域擴(kuò)張系數(shù)；a＇L為最大微凸峰截面積.

根據(jù)文獻(xiàn)［9-10］，微觀接觸的域擴(kuò)張系數(shù)為

則小區(qū)域內(nèi)實(shí)際接觸面積Arf可得

根據(jù)彈性力學(xué)可知，最大微凸峰截面積a＇L和接觸面積之間存在關(guān)系式a＇L=2aL.

由分形模型，臨界微凸體接觸面積可給出

根據(jù)接觸理論，當(dāng)最大微凸體接觸面積aL＜ac時(shí)，所有微凸體都是塑性變形；當(dāng)aL＞ac時(shí)，有的微凸體發(fā)生塑性變形，有的微凸體發(fā)生彈性變形.

對(duì)于小區(qū)域長(zhǎng)度Lu上的量綱一接觸面積Ar，即實(shí)際接觸面積Arf與名義接觸面積A的比，可給出：

當(dāng)aL＜ac時(shí)，

當(dāng)aL＞ac時(shí)，

其中

最大微凸峰截面積a＇L為

1.2接觸熱阻模型

如圖1中所示，熱流通過(guò)接觸界面?zhèn)鬟f時(shí)只通過(guò)這些離散的接觸點(diǎn)，接觸界面之間充滿(mǎn)流體介質(zhì).因此熱流流過(guò)粗糙接觸表面時(shí)熱流線會(huì)發(fā)生收縮，即收縮熱阻；當(dāng)接觸面較粗糙時(shí)，熱流通過(guò)微凸體自身會(huì)產(chǎn)生基體熱阻.則兩粗糙表面接觸熱阻網(wǎng)絡(luò)如圖2所示.

整個(gè)平面的熱流可看作由相互平行的通過(guò)離散接觸點(diǎn)的小熱流通道并聯(lián)而成.根據(jù)粗糙表面接觸熱阻網(wǎng)絡(luò)，總的接觸熱阻R包括基體熱阻Rb和收縮熱阻Rc的串聯(lián)：

1.3接觸點(diǎn)的基體熱阻

由分形接觸模型可知，對(duì)于接觸面積a的微凸體，在接觸高度d＇范圍內(nèi)的基體熱阻可表達(dá)為

各個(gè)微凸體間基體熱阻間為并聯(lián)關(guān)系，根據(jù)式（2）及a＇L=2aL，可得所有微凸體的基體熱阻為

對(duì)于相互接觸的2個(gè)平面，接觸高度d＇可寫(xiě)為

式中z＇max為最大微凸體高度，由 W-M可知，z＇max= |zmax|+|zmin|.根據(jù)彈性理論，微凸體最大變形量為

1.4接觸點(diǎn)的收縮熱阻

對(duì)于接觸面積a的微凸體，相應(yīng)的收縮熱阻［5］為

由圖2可知，各個(gè)微凸體間收縮熱阻也為并聯(lián)關(guān)系，則

將式（12）（16）帶入式（10），可得接觸界面總熱阻

1.5分形參數(shù)對(duì)接觸熱阻影響

下面討論分形參數(shù)對(duì)接觸熱阻的影響.由式（1）生成二維分形表面，以不銹鋼與不銹鋼的接觸為研究對(duì)象，彈性模量E=2.00×105MPa，泊松比ν=0.29，導(dǎo)熱系數(shù)k=16.2 W/（m·℃），分別控制分形維數(shù)D和粗糙度參數(shù)G的變化，討論其對(duì)接觸熱阻的影響.為了使結(jié)果更具對(duì)比性和一般性，對(duì)下列參量進(jìn)行量綱一化

分形維數(shù)D和載荷一定時(shí)，不同的粗糙度參數(shù)G下量綱一的接觸熱阻隨載荷的變化分別如圖3所示，粗糙度參數(shù)G值越大說(shuō)明表面輪廓幅值越大，接觸表面就越粗糙，導(dǎo)致實(shí)際接觸面積越小，量綱一的接觸熱阻也就越大.

粗糙度參數(shù)G和載荷一定時(shí)，不同的分形維數(shù)D下量綱一的接觸熱阻隨載荷的變化分別如圖4所示，分形維數(shù)D越大，接觸表面微凸體越平坦，接觸表面就越光滑，實(shí)際接觸面積就越大，量綱一的接觸熱阻也隨之越大.

2　電主軸熱源分析與計(jì)算

機(jī)床主軸在工作時(shí)存在2個(gè)主要熱源：電機(jī)的功率損耗和軸承的摩擦生熱（即滾動(dòng)體與軸承內(nèi)外圈的接觸摩擦發(fā)熱）.

電主軸的電機(jī)損耗發(fā)熱由機(jī)械損耗Pn、電損耗Pe、磁滯損耗Pt組成［11-12］.

式中：Pn為機(jī)械損耗；C1為摩擦系數(shù)（通常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定）；r為轉(zhuǎn)子的外半徑，m；L1為轉(zhuǎn)子的長(zhǎng)度，m；ω為電機(jī)角速度，rad/s；ρ1為空氣密度，kg/ m3；Pe為電損耗；I為電流，A；R為導(dǎo)體的電阻，Ω；ρ為導(dǎo)體的電阻率；L為導(dǎo)體的長(zhǎng)度，m；S為導(dǎo)體的截面積，m2；Pt為磁滯損耗；C為與電工鋼牌號(hào)有關(guān)的常數(shù)；f為磁化頻率，Hz；Bmax為磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值，T.

摩擦力矩是引起軸承發(fā)熱的主要原因，軸承的發(fā)熱量［13］為

式中：Hf為軸承摩擦發(fā)熱量，W；M為軸承摩擦總力矩，N·mm；軸承摩擦力矩M包括外加載荷而引起的摩擦力矩ML和潤(rùn)滑劑的黏性摩擦而產(chǎn)生的力矩Mv，即

式中：f1為與軸承類(lèi)型與外加載荷有關(guān)的參數(shù)；Fβ為軸承所受的動(dòng)態(tài)當(dāng)量載荷，N；dm為軸承中徑，為軸承內(nèi)圈與外圈和的平均值，mm；v0為工作溫度下的潤(rùn)滑劑運(yùn)動(dòng)黏度，mm2/s；f0為與軸承設(shè)計(jì)和潤(rùn)滑方式有關(guān)的系數(shù)，角接觸球軸承f0=1.

3　電主軸系統(tǒng)溫度場(chǎng)分析

將電主軸三維實(shí)體模型導(dǎo)入到ANSYS有限元分析軟件中，采用自動(dòng)網(wǎng)格劃分方法，共生成108 238個(gè)單元和271 485個(gè)節(jié)點(diǎn).然后設(shè)置電主軸系統(tǒng)的材料參數(shù)，如表1所示，施加熱載荷和熱邊界條件.設(shè)定分析條件為：外界環(huán)境溫度為22℃；軸承油-氣潤(rùn)滑系統(tǒng)的氣體壓力為0.4 MPa；油-水熱交換冷卻系統(tǒng)的冷卻油流量為0.25 L/min，壓力為2.0 MPa，入口溫度為22℃，主軸轉(zhuǎn)速為15 000 r/ min，電主軸初始溫度為22℃.分別對(duì)電主軸系統(tǒng)進(jìn)行有接觸熱阻（根據(jù)上述理論計(jì)算接觸熱導(dǎo)值如表2所示）和無(wú)接觸熱阻的溫度場(chǎng)分析，主軸關(guān)鍵結(jié)合面接觸熱導(dǎo)分布如圖所示5，待熱平衡后，有接觸熱阻與無(wú)接觸熱阻的電主軸溫度場(chǎng)分析結(jié)果如圖6、7所示.

表1　主軸零部件材料屬性Table 1 Spindle parts material properties

表2　關(guān)鍵結(jié)合面接觸熱導(dǎo)值Table 2 Key interface thermal contact conductivity

從圖6所示的電主軸系統(tǒng)溫度場(chǎng)分析結(jié)果可以看出，有接觸熱阻的條件下，最高溫度為70.494℃，發(fā)生在轉(zhuǎn)子處，定子芯部最高為56.160℃，這是由于電機(jī)轉(zhuǎn)子的生熱率幾乎是定子的2倍，加上電主軸系統(tǒng)是個(gè)相對(duì)封閉的系統(tǒng)，散熱條件差，轉(zhuǎn)子的熱量只有通過(guò)主軸兩端和定子進(jìn)行散熱，而定子有冷卻套中的冷卻油進(jìn)行冷卻可以帶走大量的熱，使得定子溫度相對(duì)較低，殼體中部溫升較小.同時(shí)電主軸系統(tǒng)前后軸承溫度大概分別為61℃和56℃.無(wú)接觸熱阻的條件下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，最高溫度為66.975℃，發(fā)生在轉(zhuǎn)子處，定子芯部最高為55.398℃，前后軸承溫度大概分別為56℃和52℃.由此對(duì)比可以看出，在考慮熱阻時(shí)電主軸系統(tǒng)的溫度整體有所上升，這是因?yàn)殡娭鬏S系統(tǒng)中考慮接觸熱阻時(shí)，阻礙了熱源熱量的散發(fā)，導(dǎo)致電主軸系統(tǒng)溫度的相對(duì)上升；而沒(méi)有考慮熱阻時(shí)，熱阻熱傳導(dǎo)無(wú)窮大，電主軸系統(tǒng)的熱源產(chǎn)生的熱量散熱相對(duì)較快，整體的溫度相對(duì)較低.由各部分溫度變化可以看出，中間部分溫度變化較小，主軸兩端特別是軸承部分溫度變化較大，這是由于主軸中間部分材質(zhì)基本均勻，熱導(dǎo)較大，傳熱較好；相反兩端溫度變化較大，這是由于兩端軸承處的熱導(dǎo)較小，傳熱較差.因此電主軸熱態(tài)分析不能忽視接觸熱阻的影響.

4　電主軸的熱變形分析

電主軸系統(tǒng)中各部件的溫升和溫度場(chǎng)分布不均將會(huì)導(dǎo)致熱變形.熱變形越大，電主軸系統(tǒng)熱態(tài)特性就越差.因此，在高速電主軸穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分析的基礎(chǔ)上，以此作為熱載荷，綜合電主軸系統(tǒng)受力情況，以主軸箱體底部作為約束條件，考察其熱變形情況，對(duì)此做出電主軸系統(tǒng)的熱結(jié)構(gòu)分析，有無(wú)接觸熱阻電主軸系統(tǒng)的熱變形云圖如圖8、9所示.

從圖8可知，加接觸熱阻電主軸系統(tǒng)綜合熱變形量最大為0.089 603 mm，主軸在x、y、z方向的最大變 形 量分 別 為 0.009 317 6、0.081 287、 -0.010 281 mm.從圖9可知，不加接觸熱阻電主軸系統(tǒng)綜合熱變形量最大為0.081 632 mm，主軸在x、y、z方向的最大變形量分別為0.008 768 8、0.077 767、-0.010 116 mm.通過(guò)比較可知，電主軸系統(tǒng)的綜合熱變形量提高了10%，在主軸徑向x、y方向的最大變形量分別提高了大約6.3%和4.5%，z方向變形量基本相同.由此可見(jiàn)，在考慮熱阻的情況下，電主軸系統(tǒng)主要部件的整體的熱變形量不僅受到了熱態(tài)特性的影響，而且很大程度上受到了熱阻的影響，尤其是電主軸徑向的熱變形影響較大，從而造成了比不考慮熱阻情況下電主軸系統(tǒng)的熱變形更為嚴(yán)重的情形，由此立式加工中心的加工精度將會(huì)降低.因此，在實(shí)際工況下，需要考慮接觸熱阻的影響，以符合實(shí)際情形，提高機(jī)床的加工精度.

5　結(jié)論

1）分析接觸粗糙界面間熱阻對(duì)電主軸系統(tǒng)的熱影響，利用分形的方法來(lái)模擬實(shí)際的粗糙界面.

2）建立了一個(gè)考慮接觸界面的基體熱阻和收縮熱阻的表面接觸分形模型，分析了分形參數(shù)對(duì)接觸總熱阻的影響.

3）依托建立的接觸熱阻模型，分析了結(jié)合面的接觸熱阻對(duì)電主軸系統(tǒng)溫度場(chǎng)分布和熱變形影響，其中有接觸熱阻的電主軸最高溫度比無(wú)接觸熱阻的高3.52℃，綜合熱變形提高了10%左右，所以在電主軸溫度場(chǎng)分析過(guò)程中必須充分考慮接觸熱阻這一因素.

［1］CHANG CF， CHENJJ.Thermalgrowthcontrol techniques for motorized spindles［J］.Mechatronics，2009，19（8）：1313-1320.

［2］HOLKUP T，CAOH，KOLARP，etal.Thermomechanicalmodelofspindles［J］.CIRPAnnals Manufacturing Technology，2010，59（1）：365-368.

［3］UHLMANN E，HU J.Thermal modelling of a high speed motor spindle［J］.Procedia CIRP，2012（1）：313-318

［4］XU M，JIANG S Y，CAI Y.An improved thermal model for machine tool bearings［J］.International Journal of Machine Tools&Manufacture，2007，47：53-62.

［5］JI C，ZHU H，JIANG W.Fractal prediction model of thermal contact conductance of rough surfaces［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2013，26（1）：128-136.

［6］姬翠翠，朱華.粗糙表面分形接觸模型的研究進(jìn)展［J］.潤(rùn)滑與密封，2011，36（9）：114-119. JI Cui-cui，ZHU Hua.Research progress on M-B fractal contact model［J］.Lubrication Engineering，2011，36 （9）：114-119.（in Chinese）

［7］ZOU M，YU B，CAI J，et al.Fractal model for thermal contact conductance［J］.Journal of Heat Transfer，2008，130（10）：101301.

［8］ZOU M，YU B，F(xiàn)ENG Y，et al.A monte carlo method for simulating fractal surfaces［J］.Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2007，386（1）：176-186.

［9］WANG S，KOMVOPOULOS K.A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime：elastic contact and heat transfer analysis［J］. Journal of Tribology，1994，116（4）：812-822.

［10］WANG S，KOMVOPOULOS K.A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime：multiple domains，elastoplastic contacts and applications［J］.Journal of Tribology，1994，116（4）：824-832.

［11］郭軍.基于熱接觸分析的電主軸熱態(tài)特性研究［D］.廣州：廣東工業(yè)大學(xué)，2005. GUO J.Based on the analysis of the thermal contact motorized spindle thermal characteristic research［D］. Guangzhou：Guangdong University of Technology，2005. （in Chinese）

［12］周亮.電主軸熱動(dòng)態(tài)特性分析與研究［D］.北京：北京工業(yè)大學(xué)，2010. ZHOU L.Thethermalanddynamiccharacteristics research for high-speed spindle［D］.Beijing：Beijing University of Technology，2010.（in Chinese）

［13］李超.高速銑削電主軸動(dòng)態(tài)熱態(tài)特性分析及實(shí)驗(yàn)研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013. LI C.Dynamic and thermal characteristics analysis and experiment research of high speed milling motorized spindles［D］.Harbin：Harbin Institute of Technology，2013.（in Chinese）

（責(zé)任編輯 楊開(kāi)英）

Analysis of High Speed Motorized Spindle Thermal Characteristics Based on Thermal Contact Resistance

LIU Zhifeng，MA Chengyu，ZHAO Yongsheng，F(xiàn)ANG Cui
（Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

The spindle system heat problem is a key problem that must be considered for high precision machine tool.The thermal contact resistance（TCR）affects the heat transfer performance of a machine tool，which affects the machining accuracy.In this paper，a model considerating the bulk resistance and shrink resistance surface of TCR was established by using the fractal theory of the contact surface.Motor heat and bearing friction heat in a vertical machining center motorized spindle system were analyzed.In case of considering TCR and without considering TCR，steady state temperature field and the steady state thermal deformation were analyzed.Results demonstrate the importance of TCR to the problem thermal characteristics of motorized spindle.The temperature will be higher and the deformation will be serious when TCR is considered.

thermal contact resistance（TCR）；motorized spindle；fractal； thermal characteristics

TH 161+.4

A

0254-0037（2016）01-0017-07

10.11936/bjutxb2015050085

2015-05-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51375025）；北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（3132004）

劉志峰（1973—），男，教授，主要從事數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造、制造信息化與信息管理系統(tǒng)方面的研究，E-mail：lzf@ bjut.edu.cn