“圓”中難點十一問

王云峰

在圓的章節(jié)學習中，我們會學到很多重要的知識和方法，也會提出一些很有分量的思考問題，下面的問題你會答嗎？

1. 如何證明幾個點在同一個圓上？

答：根據(jù)圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”，將問題轉(zhuǎn)化為證明這幾個點到同一個點（即圓心）的距離相等.如圖1，兩個直角三角形有相同的斜邊，那么兩個直角頂點以及斜邊的兩個端點在同一個圓上（圓心是斜邊的中點）.

2. 長度相等的弧是等弧嗎？

答：能夠互相重合的弧叫做等弧，由定義可知等弧的長度相等，但長度相等的弧不一定能互相重合，所以長度相等的弧不一定是等弧.

3. 垂徑定理有哪些應用？

答：垂徑定理是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等問題的重要依據(jù)，同時也為圓中的計算與作圖提供了依據(jù)和方法.

在解決與弦有關(guān)的問題時，常構(gòu)造出如圖2所示的直角三角形，這是圓中常用的基本圖形.

如圖3，☉O中，半徑OD⊥弦AB于點C，與弦有關(guān)的計算問題?；瘹w到Rt△OAC中求解.若用r表示半徑，a表示弦AB的長，d表示圓心O到弦AB的距離，h表示劣弧AB的最高點到弦AB的距離，則r、a、d、h之間滿足r2=d2+

2及d+h=r，可知在r、a、d、h中，知道其中任意兩個量，就可求出其余兩個量，即“知二求二”.

4. 與圓有關(guān)的角有哪些？

答：圓心角與圓周角，定理“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”是“圓心角的度數(shù)”與“弧的度數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)；圓周角定理體現(xiàn)了圓周角與圓心角之間的關(guān)系，是“弧相等”與“角相等”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù).

5. 一條弦所對的圓周角有什么關(guān)系？

答：由“同弧或等弧所對的圓周角相等”及“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”知，一條弦所對的圓周角相等或互補.

6. 三角形的外心與內(nèi)心有什么不同？

答：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部.

三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部.

【說明】三邊長分別為a、b、c（∠C=90°）的直角三角形的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑是.

7. 如何證明一條直線是圓的切線？

答：如果直線與圓有公共點，那么利用切線的判定定理即“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”進行證明；如果直線與圓不能確定公共點，那么利用“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”進行證明，即作出圓心到直線的垂線段，證明垂線段與圓的半徑相等.

8. 如何求正多邊形的面積？

答：如圖4，正n邊形的半徑為R，邊AB=a，圓心O到邊AB的垂線段OM=d，則正多邊形的面積為nS△AOB=2nS△AOM=nad，即將關(guān)于正n邊形的計算轉(zhuǎn)化到Rt△AOM中進行.

9. 弧長公式、扇形面積公式、圓錐側(cè)面積公式分別是什么？

答：n°的圓心角所對的弧長為l弧=；圓心角為n°的扇形面積是S扇形=；弧長為l弧的扇形面積公式是S扇形=l弧R；母線長為l母，底面圓半徑為r的圓錐側(cè)面積是S側(cè)=πrl母.

【說明】弧長公式、扇形面積公式、圓錐側(cè)面積公式很容易發(fā)生混淆，熟練掌握每個公式的推導過程是避免混淆的有效措施.如：l弧=×2πr；S扇形=×πr2；S側(cè)=×2πr×l母.另外弧長公式與圓錐側(cè)面積公式中都有字母l，兩者表示的意義不相同，為防止混淆，運用公式時可用文字標注出其意義.

10. 如何求不規(guī)則圖形的面積？

答：求不規(guī)則圖形的面積，一般利用“割補法”將不規(guī)則圖形割補成規(guī)則圖形，于是不規(guī)則圖形面積可用規(guī)則圖形面積的和或差表示出來，進而再求面積.如果不規(guī)則圖形中含有弧，一般要連接半徑構(gòu)造出弧所在的扇形再求解.

11. 圓中常用的輔助線有哪些？

答：（1） 連接半徑（以便運用“同圓的半徑相等”，即構(gòu)造出等腰三角形）；（2） 過圓心作弦的垂線（以便運用垂徑定理）；（3） “遇直徑，連直角”（以便運用“直徑所對的圓周角是直角”）；（4） “遇切點，連半徑”（以便運用切線的性質(zhì)定理）.

（作者單位：江蘇省鹽城市葛武初級中學）