平穩(wěn)中凸顯變化 變化中體現(xiàn)創(chuàng)新
——2016年浙江省高考數(shù)學理科解析幾何題評析

張艷宗　盧　明

(浙江省海鹽縣元濟高級中學，314300)

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○高考之窗○

平穩(wěn)中凸顯變化 變化中體現(xiàn)創(chuàng)新
——2016年浙江省高考數(shù)學理科解析幾何題評析

張艷宗盧明

(浙江省海鹽縣元濟高級中學，314300)

2016年,是浙江省“老高考”模式的收官之年,試卷的命題走向、難易程度等頗受廣大教研員和一線教師的關(guān)注.今年的數(shù)學試題,不乏許多立意高、角度寬、視點多等積極的評價,且注重考查學生數(shù)學思想方法和數(shù)學素養(yǎng).對于理科數(shù)學第19題,全省平均為7.01分,雖然平均分略高于往年,但廣大教師對其評價褒貶不一.

一道試題,為什么會引起這么大的爭議呢?本文試圖分析此題的特點,探討試題的解題思路及方法,挖掘試題背景,研究試題帶給我們的啟迪和反思.

一、試題呈現(xiàn)

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(用a,k表示);

(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點,求橢圓的離心率的取值范圍.

聯(lián)立可得2lnx0+x0-1=0.

又m(1)=0,x0=1,即

(3)不妨令1≤x1

因為0

由(1)得f(x1)

∵|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|,

∴f(x2)-f(x1)>g(x2)-g(x1),

∴f(x2)-g(x2)>f(x1)-g(x2).

∴h(x)=f(x)-g(x)=x2-2alnx-2ax在[1,2]上遞增,

本題表述簡潔明了,一題兩問,由淺入深,起點低、落點高.第(1)問考查直線與橢圓的位置關(guān)系,弦長公式等基礎知識;第(2)問一改以往求三角形面積的套路,變成研究圓與橢圓的位置關(guān)系,體現(xiàn)了命題人穩(wěn)中求變、推陳出新的用心.這種新變化出乎廣大師生意料,對圓與橢圓的性質(zhì)等知識提出了較高要求,對考生的直覺判斷、探究思辨、轉(zhuǎn)化化歸、代數(shù)運算等方面提出新的挑戰(zhàn).另外,此題還突出考查解析幾何的基本思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

二、解法探討

本題第(1)問設問常規(guī),思路清晰,考生容易上手;第(2)問幾何背景豐富,解法靈活,大部分考生在短時間內(nèi)難以解決.

解(1) 直線y=kx+1過定點A(0,1),設此直線被橢圓所截的線段為AP,聯(lián)立

得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,

(2)分析點A(0,1)是橢圓的上頂點,以A(0,1)為圓心的圓與橢圓的交點個數(shù)可能是2個、3個、4個或0個.于是,要求滿足“圓與橢圓至多有3個公共點”的參數(shù)a的取值范圍,可以通過求滿足“圓與橢圓有4個公共點”的參數(shù)a的取值范圍的“補集”來解決.

解法1假設圓與橢圓的公共點有4個.

以點A(0,1)為圓心,半徑為r(r>0)的圓的方程為x2+(y-1)2=r2.聯(lián)立

得(a2-1)y2+2y+r2-a2-1=0.

令f(y)=(a2-1)y2+2y+r2-a2-1,存在正實數(shù)r,使得f(y)=0在y∈[-1,0]時有2個實數(shù)根,從而

評注關(guān)于曲線的交點問題,一般的處理方法是聯(lián)立曲線方程,通過對方程根的個數(shù)的研究來討論曲線的交點個數(shù),即用代數(shù)的方法來研究幾何問題,這也是解析幾何最本質(zhì)的思想.與之對應的數(shù)學思想有等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.本題的難點在于直接求滿足“圓與橢圓至多有三個公共點”的參數(shù)a的取值范圍比較困難,需要將問題轉(zhuǎn)化,用求“補集”的思想來確定a的取值范圍.本題的亮點:離心率的范圍是通過求函數(shù)的值域來獲得的,平時比較少見.本題的爭議點是以往對“求兩個二次曲線的交點問題”要求不太高,近年來的高考試題中也從未出現(xiàn)過,因此一些老師認為此題涉嫌“超綱”.

真的是“超綱”嗎?為了慎重起見,筆者查考了2014版《浙江省普通高中數(shù)學學科教學指導意見》,“發(fā)展要求:掌握利用曲線的方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法.” 由此可見并沒有限制不能出現(xiàn)“兩個二次曲線”背景,故認為本題“超綱”有點牽強.

下面介紹命題組提供的解法.

解法2假設圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P,Q滿足|AP|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2，且k1,k2>0,k1≠k2.

由k1,k2>0,k1≠k2,得

評注上述解法主要應用了圓與橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式等基礎知識,通過代數(shù)變形,利用“非負性”構(gòu)造出關(guān)于a的不等式求解,所涉及到的知識、方法并不超綱.高考結(jié)束后,筆者了解相關(guān)情況,很少有學生采用了此法,且此法的計算量以及代數(shù)變形技巧較強,較難想到.

除以上兩種解法外,還有沒有相對簡單、學生易于理解的解法呢?

解法3若a=a0(a0是某個正常數(shù)),以點A(0,1)為圓心的圓,半徑r從0開始增大,圓與橢圓開始時有2個公共點.當圓與橢圓恰有3個公共點時,如圖2.r繼續(xù)增大,圓與橢圓可有4個、2個、0個公共點,不符合題意.若a>a0,變化情況相同.

若a

設P(x0,y0)是橢圓上任意一點,則

評注先對圓與橢圓的交點個數(shù)進行分析,討論兩者的位置關(guān)系,再利用代數(shù)方法求解,計算量大大減少.在以上分析中發(fā)現(xiàn),任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓相交,存在有0個、2個公共點的情形,因此原題中“至多有三個公共點”可改為“至多有兩個公共點”.命題人之所以采用“至多有三個公共點”設問,或在于降低問題的難度,也便于“補集思想”的應用.

三、背景探源

在第(2)問圓與橢圓公共點個數(shù)的研究過程中,我們發(fā)現(xiàn)這樣一個幾何問題:即比較橢圓與圓的彎曲程度.事實上,這就是此題的高等數(shù)學背景——曲率及曲率圓.

定義2在曲線AB點M處的法線上,在凹的一側(cè)取一點為圓心,過點M作一個圓,使得這個圓的曲率與曲線AB在此點處的曲率相等,這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓,又叫密切圓.密切圓的圓心叫做曲線在點M處的曲率中心,密切圓的半徑叫做曲線在點M處的曲率半徑.

在點M處的曲率圓與曲線存在如下關(guān)系:一是有公切線;二是凹向一致;三是曲率相同.高等數(shù)學中有如下結(jié)論：

結(jié)論曲率計算公式

由此我們不難得到

由解法3知,以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,即圓與橢圓有0個、2個公共點兩種情形,只要比較橢圓在下頂點B(0,-1)處的曲率與以點A(0,1)為圓心,

四、教學建議

1.把握本質(zhì),注重轉(zhuǎn)化

解析幾何是用代數(shù)的方法來研究幾何問題的一門學科,但其本質(zhì)上還是一個幾何問題,只不過是調(diào)換了一種研究方法而已.因此,在求解過程中,要注意合理運用幾何方法,若能根據(jù)圖象特征,運用平面幾何知識,如中位線、射影定理、圓的有關(guān)性質(zhì)、定理等,可以簡化繁瑣的代數(shù)運算,達到事半功倍的效果.同時,還要注意2個轉(zhuǎn)化:一是將語言轉(zhuǎn)化為式子,實現(xiàn)已知條件的具體化;二是將圖形轉(zhuǎn)化為式子,如圖象的交點問題,可以通過數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換,將交點問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題,體現(xiàn)解析思想.

2.加強運算,提升能力

運算能力是突破解析幾何學習的一道“檻”.解析幾何的學習不僅需要較強的思維能力,也需要較強的數(shù)據(jù)、字母的運算能力.在教學過程中,要重視計算能力的培養(yǎng)與訓練,克服學生中克服“怕繁、怕難”的情緒,或“只重思路、輕視計算”的浮夸學風,努力糾正“眼高手低”的毛病,課堂上教師要多示范,鼓勵、督促學生詳寫演算過程,重視數(shù)學計算所需的數(shù)學能力和心理品質(zhì)的養(yǎng)成,切實提高學生的計算能力.

3. 一題多解,優(yōu)化思維

解析幾何題往往入口比較寬,是訓練學生發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)造靈感的好機會.教師在教學過程中應當重視一題多解與一題多變,引導學生在做中領悟,在做中反思,幫助學生養(yǎng)成“做一題,想一想”的良好習慣,發(fā)展批判性思維、逆向思維,提升思維品質(zhì),促進學生在遇到新的問題情境時能自覺運用所學知識合理地展開聯(lián)想、實現(xiàn)遷移.