淺析高中數學解題方法的應用

齊勁松

[摘 要]隨著我國的不斷深入，數學作為高中課程中重要性也越來越突出。從歷年的高考題來看，數學填空題已逐漸成為高中數學的基本題型之一?？忌谄綍r的學習中應將數學知識與自身解題能力相結合，在這個過程中就需要考生具備更加完整的知識系統(tǒng)，同時具備構架知識體系運用知識體系的能力。本文著重介紹數學思想的應用與掌握來探析數學解題的策略。以下的實例中涉及到的解題方法大致有數學歸納法、函數與方程法、分類討論法、參數法、待定系數法和配方法等。希望能夠對學生的解題技巧與數學能力的培養(yǎng)有一定的啟發(fā)意義。

[關鍵詞]教育體制；高中數學；知識體系

隨著我國教育體制改革的不斷深入，數學作為高中課程中重要組成部分越來越受到重視。從歷年來的高考題來看，數學更注重對數學思想與技巧的考察，這在填空題中特別明顯。著名的數學家華羅庚曾說過這樣一句話，對于數學的掌握就是要學會解題。我們在對數學題目的解答過程中常常會被固定思維所限制，總想著用比較熟悉的題型來解答。而對題目中所蘊含的數學方法和思想無法得到比較深透的理解和運用。如果說知識是數學學習的基礎的話，那方法就是手段，而思想就是深化。學生對于數學思想方法的認識與運用是提高學生數學素質的核心。

一、換元法

用某個變量來替換數學中的某個式子，從而簡化問題的方法就叫做換元法。換元法的實質就是轉化，等量的代換是其理論依據，設置元與構造元則是其關鍵。換元法的最終目的是將新的研究對象轉移到另一個只是環(huán)境中進行研究和討論，從而簡化問題，使問題得到有效的處理。

例1，已知實數a，b滿足，則的取值范圍是 。

分析：如果本題采用配方法或者是直接求解的話，題目的難度就會比較大，所以我們運用換元法求解。

解：且設，則有Δ=4k2-4≥0所以k≥1或k≤-1.本題的難度就大大簡化了。

靈活運用換元法是數學素質培養(yǎng)的一個重要方面。換元的主要方法有：三角換元、局部換元、均值換元等。引進新變量并把題目中的隱含條件顯現出來，從而讓條件與結論能夠有效的聯系，就是換元法的意義所在。換元法具體的內容有變無理式為有理式、化高次為低次、化分式為整式等。同時換元法在方程、函數、數列、三角等問題中都有著比較廣泛的應用。

二、配方法

運用配方法找到未知和已知之間的聯系，是一種對數學相關式子進行定向變形的技巧，熟練并合理的運用配與湊、添項與裂項的技巧，完成對式子的配方從而將數學問題簡易化。在二次函數、二次方程、二次代數式和二次方程中經常出現配方法的運用，恒等變形就是其中較為常見的方法之一。完全平方式是最為基本的配方依據，靈活運用此公式可以延伸出多種配方形式例如。

相應的結合其他的數學性質與知識背景可以衍生出一些其他的配方形式，例如x2+1x2=（x+1x）2-2=（x-1x）2+2 ……1+sin2α=1+2sinαcosα=（sinα+cosα）2；

例2，現有一長方體十二條棱長綜合為24.且長方體的全面積為11，則長方體的對角線長度為 。

分析已知條件可知，設置長方體的長寬高分別為x、y、z，則有2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24，而長方體的對角線長度公式為x2+y2+z2，根據已知條件可以得出，2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24，我們可以用配湊法將題中已知條件進行轉化，得到x2+y2+z2=（x+y+z）2-2（xy+yz+xz）=62-11=5.將題目中的兩個已知的條件轉化為某個未知的數學表達式是本題的關鍵所在。通過分析和觀察可以比較容易的找到三個數學式子之間的聯系，這就通過配方法將已知和未知進行了聯系，這也是在配方法方面比較常用的一種模式。

三、數學歸納法

作為遞推論證的一種常見方式，數學歸納法在數學學習中占有著比較重要的地位。它是用來論證自然數相關的一些數學命題的重要方法。遞推論證的主要模式是，首先證明命題在n=1（或n0）時成立，接著我們就可以假設在n=k的條件下命題也是成立的，然后進一步證明當n=k+1的條件下，命題也是成立的。它是從無限與有限之間進行銜接的一種重要手段，這每一步都是非常有必要的，通過這兩個論證可以進一步推到對于所有的自然數命題都是成立的。

例3，已知34n+2+52n+1（n∈N）能被14整除，當n=k+1時對于式子34（k+1）+2+52（k+1）+1應變形為 。

解 （34k+2+52k+1）34+52k+1（52-34），該例題主要考察對數學歸納法的直接應用，無解析。

數學歸納法的關鍵在于n=k+1時命題成立的推證。作為這一步的證明比較關鍵的是要具有一定的目標意識，通過對目標與最終目的進行分析找出其中的聯系。這也是確定和控制解題的方向的關鍵。例題是對數學歸納法的直接應用，數學歸納法同時還涉及到對幾何問題、代數不等式、三角不等式、整除性問題等。

四、待定系數法

待定系數法是根據題中所列出的已知條件來確定某些未知系數，通過確定變量間的函數關系來實現的。多項式f（x）≡g（x）的必要條件是相對于任意一個a值都存在f（a）≡g（a），待定系數法的有一個比較重要的理論基礎就是多項恒等式，解答待定系數法題目的基本思路是，首先找出含有待定系數法的解析式問題，其次是在恒等條件下作出一組含有待定系數的方程式，最后是運用消去待定系數的方法或者解方程組的方式來解答問題。 例4，對式子（1-x3）（1+x）10進行展開，則x5的系數是 。

對該例題進行分析：系數C510與（-1）C210組成x5，相加后的x5的系數解 x5的系數為C510+（-1）C210=207。

五、參數法

適當的引入與研究目標相聯系的參數，并以參數為中間橋梁來對問題進行綜合分析從而進一步簡化解題過程就叫做參數法。參數法的典型實例就是換元法，同時常用的問題中是參數方程與參數法解題。

例5，已知實數a、b、c滿足a+b+c=1，則a2+b2+c2的最小值是。

分析 由a+b+c=1想到“均值換元法”，于是引入了新的參數，即設a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，代入a2+b2+c2可求。

解由a+b+c=1，設a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，其中t1+t2+t3=0。

a2+b2+c2=（13+t1）2+（13+t2）2+（13+t3）2=13+23（t1+t2+t3）+t21+t22+t23=13+t21+t22+t23≥13，

所以a2+b2+c2的最小值是13.本題的關鍵是利用均值換元的方式引入參數，將原本負責的代數式問題簡化，從而高效的解答本題。

六、定義法

在數學學習中常見的基礎知識都比較少，基本上都是一些公式、定理與性質等，利用這些基本的定義來解題就是定義法。通過對定義內涵的深刻理解利用公式所蘊含的邏輯方法，在一些題目的解答中能得到事半功倍的效果。

例6，現橢圓上有一點p滿足如下條件，x225+y29=1，且該點到右準線的距離是2.5，則該點到左焦距的距離是多少

分析本題的解答可以從橢圓的第二定義著手，即平面上到定點距離和到定直線距離之比是常數點的集合。

解利用橢圓的第二定義得到|PF左|52=e=45即PF左=2，PF右=2a-PF左=10-2=8.

熟練運用定義法解題是學生基本數學素質的體現。

參考文獻：

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