探究一道輪換不等式自主招生題及變式題的多種證法

◇　浙江　甘大旺(特級教師)

(作者單位：浙江省寧波市北侖明港中學(xué))

?

探究一道輪換不等式自主招生題及變式題的多種證法

◇浙江甘大旺(特級教師)

輪換不等式中任意2個字母對換后稍作整理仍與原不等式同形,2014年哈爾濱工程大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷的最末一題就是輪換不等式證明題.

本文以此題及變式題為例,介紹證明輪換不等式的4種常用方法．

證法1由于a+b+c=1且a、b、c∈R+,則3次運用均值不等式得

證法2由于a+b+c=1且a、b、c∈R+,則運用柯西不等式得到

所以,原不等式正確．

變式已知3個正數(shù)a、b、c的和等于1.證明:

1) 若f(x)在區(qū)間D內(nèi)是上凹函數(shù)(即二階導(dǎo)數(shù)f″(x)>0),則對任意的n個實數(shù)x1、x2、…、xn∈D,其中正整數(shù)n≥2,則恒有不等式

(其中“≥”當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時取“=”);

2) 若f(x)在D內(nèi)是下凹函數(shù),則就把1)中不等式的“≥”替換成“≤”即可．

所以,原不等式正確．

鏈接練習(xí)

1. 若n(≥2)個正數(shù)a1、a2、…、an的和等于定值A(chǔ),求證:

2. 已知△ABC為銳角三角形,證明

3. 已知n(≥2)個正實數(shù)a1、a2、…、an滿足a1+a2+…+an=1,求證:

鏈接練習(xí)解法提示

1. 用4種方法都可證明．

2. 宜用琴生不等式．

3. 用均值不等式或柯西不等式．

4. 綜合用切比雪夫不等式和均值不等式．

(作者單位：浙江省寧波市北侖明港中學(xué))