五度律七聲音階、調(diào)式、音程的數(shù)字關(guān)系與和諧性

黃力民（中國計量大學 理學院，浙江 杭州 310018）

五度律七聲音階、調(diào)式、音程的數(shù)字關(guān)系與和諧性

黃力民（中國計量大學 理學院，浙江 杭州 310018）

分析五度連環(huán)構(gòu)成的各種音階的數(shù)字關(guān)系；連續(xù)七音組構(gòu)成的音階由五全音、兩半音構(gòu)成，且兩個半音被三全音或兩全音所隔開；非連續(xù)七音組構(gòu)成的音階不具有此規(guī)律，例舉幾種非正規(guī)音階與調(diào)式；提出轉(zhuǎn)調(diào)的幾種類型及和諧性變化；依據(jù)五度律、純律及連分數(shù)逼近方法綜合評判音程和諧性。

五度連環(huán)；音階；調(diào)式；轉(zhuǎn)調(diào)關(guān)系；音程和諧性

兩音關(guān)系以頻率2比1、即八度最為和諧，但僅有八度的音階過于簡單。和諧性次于八度的是頻率3比2關(guān)系，從某音（其頻率用1表示）出發(fā)，按頻率3比2迭次上行、下行產(chǎn)生音列：

將（1）中作為基準的“某音”記為C（中央C音），頻率定為261.6赫茲。因七聲音階使用廣泛，確定用7個字母A～G，其他各音在A～G上附加升降號，就得音列（1）的音名表示：該丘斯稱之為“五度連環(huán)”［1］ 10，理論上其兩端可以繼續(xù)發(fā)展，但多于6個升降號的作品極為罕見。

一、音階音數(shù)的確定

消除八度差別后音列（2）每個音都互不相同，此即數(shù)學上容易證明不可能有自然數(shù)m、n使下式成立：

應當從（2）取幾個音作為音樂作品的元素？文［2］提出依據(jù)上式的近似關(guān)系來確定。如果（3/2）m=2n可以成立，消除八度差別后音列（2）就只含有m個音，實際情況是等式不可能成立，因而（2）沒有相同音。如果考慮（3/2）m近似等于2n呢？新產(chǎn)生音將近似為原有音，也就是五度連環(huán)（2）中的幾個音被挑選出來。

例如（3/2）5=7.594約等于23=8，從c音出發(fā)按頻率比3比2產(chǎn)生4個音：

便不再產(chǎn)生第5個音（3/2）5了，因為它近似于23即高三個八度的C3音，不視作新的音，或者說具頻率比（3/2）5的音與C音算作同一音。同樣，（3/2）6與（3/2）之比、（3/2）7與（3/2）2之比也近似于23即高三個八度關(guān)系等等都算作是同一音?，F(xiàn)在，在“八度相同”的意義上說總共只有5個音C、G、D、A、E，納入八度之內(nèi)按頻率自低到高排列：

表1.五音組①“頻率比”指與首音頻率之比，下同。

據(jù)此得以從無數(shù)多音的五度連環(huán)（2）篩選出連續(xù)5個音作為音樂的元素。

類似地，由（3/2）7=17.09約等于24=16即高四個八度的C音，可取連續(xù)七音組成音階。

將音列的近似封閉規(guī)則用到更多的近似等式，結(jié)果匯總?cè)缦卤怼?/p>

表2.五度律的11種音階

這11種音組包含音樂中常用的五聲、七聲、十二聲音階，其余的在音樂史上亦有記載。

表二列出各音組相鄰兩音頻率比關(guān)系，除二十四聲、三十六聲、四十八聲有三種相鄰兩音關(guān)系外，其他都只有兩種相鄰兩音關(guān)系，由此啟發(fā)亦可通過考察各種音組產(chǎn)生的相鄰兩音頻率關(guān)系，來決定應當從五度連環(huán)（2）取幾個音作為音樂作品的元素。

例如C、G、D、A四音組有三種相鄰兩音頻率關(guān)系：

表3.四音組

其中C-D、G-A是9/8，D-G是4/3，A-C1是32/27。

事實上，六音組、八音組、九音組、十音組、十一音組都有三種相鄰兩音頻率關(guān)系。

音階若有較多相鄰兩音頻率比類型，雖有創(chuàng)作手段豐富的好處，但同時也有識別、理解的困難。因此，確定音階音數(shù)的另一規(guī)則是，相鄰兩音頻率之比種類足夠少（顯然至少有兩種）。以上兩種規(guī)則對于確定音階音數(shù)問題所得結(jié)果基本一致。

二、五度連環(huán)連續(xù)七音組

五度連環(huán)（2）任意連續(xù)的七音組都可以作為音樂元素，如果在其中規(guī)定主音，一般意義上的音樂元素就構(gòu)成了七聲音階，而音階導向各種調(diào)式。

以F、C、G、D、A、E、B音組為例，若確定C為主音，則7個音的位置可稱為“上五下一”，依頻率自低到高排列成音階：

表4.C大調(diào)

相鄰兩音關(guān)系是“全-全-半-全-全-全-半”，稱為大調(diào)式或do調(diào)式。

若以A位置為基準，F(xiàn)、C、G、D、A、E、B七音位置為“上二下四”，排列成音階：

表5.a小調(diào)

相鄰兩音關(guān)系：“全-半-全-全-半-全-全”，稱為小調(diào)式或la調(diào)式。

從五度連環(huán)（2）共可獲取13種連續(xù)七音組，依上述模式產(chǎn)生26種大小調(diào)，對應于C大調(diào)譜表與1～6個升降號譜表。若認為bG大調(diào)與#F大調(diào)相同、be小調(diào)與#d小調(diào)相同，則是24種大小調(diào)（精確計算應有bg～588.3音分低于#f～611.7音分，be～294.1音分低于#d～317.6音分），正是古今中外音樂作品所廣泛使用。

非大小調(diào)音階的構(gòu)成舉例——F、C、G、D、A、E、B七音組以D位置為基準，7個音為“上三下三”，排列成音階：

表6.d主音re調(diào)式

相鄰兩音關(guān)系是“全-半-全-全-全-半-全”，稱為d主音re調(diào)式。

歸納經(jīng)典的五度律七聲音階、調(diào)式構(gòu)成規(guī)則如下：

五度連環(huán)（2）的任一連續(xù)七音組用唱名標記為fa-do-sol-re-la-mi-si，其相鄰頻率比為3/2，因而都具有最和諧關(guān)系。連續(xù)七音組選定主音后構(gòu)成音階，無論構(gòu)成哪種音階，相鄰兩音都含5個全音、2個半音，且2個半音被三全音、兩全音隔開。七音組的位置決定作品的音高區(qū)段，同一個七音組中選取不同音作為主音則決定音階與作品的色彩、風格，即調(diào)式。

所謂X主音Y調(diào)式，其中X是七音組中的一個音名，Y是該音名對應的唱名。例如G主音do調(diào)式，即唱名do對應音名G，則五度連環(huán)七音組應是C、G、D、A、E、B、#F，排成音階為G、A、B、C1、D1、E1、#F1、G1，通稱G大調(diào)。

三、非連續(xù)七音組構(gòu)成的音階、調(diào)式

音樂作品中出現(xiàn)形形色色不符合上述規(guī)則的五度律音階與調(diào)式，本節(jié)例舉幾種。

1、如果在連續(xù)七音組bE、bB、F、C、G、D、A以B取代bB，則變成間斷的七音組bE、（缺bB）、F、C、G、D、A、B，以C為主音排列成音階：

表7.曲調(diào)小音階

相鄰兩音關(guān)系是“全-半-全-全-全-全-半”，仍包含五全音、兩半音，但出現(xiàn)4個全音相連，不符合“2個半音被三全音或兩全音隔開”的規(guī)律。實際作品的運作是g小調(diào)（bB大調(diào)）譜表上將bB音還原，并以C為主音，可能發(fā)生怪誕效果，［1］57-58稱其為曲調(diào)小音階，并指出音樂實踐中曲調(diào)小音階下行時按正規(guī)小音階規(guī)則。

2、在連續(xù)七音組bA、bE、bB、F、C、G、D以B取代bB，變成間斷的七音組bA、bE、（缺bB）、F、C、G、D、（缺A、E）、B，以C為主音排列成音階：

表8.和聲小音階

相鄰兩音關(guān)系是“全-半-全-全-半-增二-半”，包含3個全音3個半音以及不和諧的增二度。［1］57稱為和聲小音階，實際操作系將大調(diào)第3、6音降半音（以C大調(diào)為例）。其實不如說是c小調(diào)譜表將bB還原。

以上由不連續(xù)的七音組產(chǎn)生的音階、調(diào)式，相當于在譜表上不依正常次序增減升降號（如第一例音組bE、bB、F、C、G、D、A，跳過bE還原了bB），按效果可稱為不完全協(xié)和音階、不完全協(xié)和調(diào)式。其中保持五全音兩半音關(guān)系的和諧度較高。

3、連續(xù)的七音組若有缺失，例如F、C、G、D、A、E、B，假定實際作品中不出現(xiàn)F，以C為主音排列成音階：

表9.一種六聲音階

有3種相鄰兩音關(guān)系：“全-全-小三-全-全-半”。

4、連續(xù)的八音組，例如取bB、F、C、G、D、A、E、B，以C為主音排列成音階：

表10.bB、B同時出現(xiàn)的音階

出現(xiàn)變化半音的兩音關(guān)系：“全-全-半-全-全-半-變化半-半”，也可相當于十二聲音階有6個音缺失。實際操作是在F大調(diào)譜表中依據(jù)旋律發(fā)展對bB音間或還原。

5、全音音階，如下表：

表11.全音音階

全音音階的六聲取自五度連環(huán)（2）的不連續(xù)音組：C、（缺G）、D、（缺A）、E，（缺B）、#F、（缺#C）、#G、（缺#D）、#A，恰好隔一個取一個，彼此頻率比是（3/2）2。

實際操作可在B大調(diào)譜表將#C、#D音還原，C為主音，B音不使用。相鄰兩音關(guān)系是“全-全-全-全-全-減三”。#A-C頻率比等于兩個自然半音，小于全音，相當于減三度。全音音階音程關(guān)系極復雜，尤其是喪失了最和諧的純五度、純四度，出現(xiàn)不和諧的減三度、增五度、增六度，全音音階作品據(jù)說有“虛無縹緲的神秘感”。在十二平均律規(guī)則下，這就是六平均音階，［3］295指出德彪西的全音音階作品就要求用十二平均律演奏。十二平均律是對協(xié)和的五度律十二聲音階的近似修正［2］，而對不協(xié)和的全音音階修正為六平均音階就有生造之嫌了。

總之，音階是規(guī)定了主音的音的高低排列，調(diào)式體現(xiàn)于音階，其本質(zhì)是相鄰兩音頻率比類型及排列方式。該丘斯稱音階（Scale）即調(diào)式（Mode），“一切的曲調(diào)，包括音階在內(nèi)，都發(fā)源于調(diào)（Key）?！{(diào)便是一群互有關(guān)系的音”［1］ 4。

四、音程和諧性評判

五度律的形成實際上有漫長過程。中國學術(shù)界一般認為《管子》記述的五度律形成于公元前7世紀至公元前3世紀，西方最早提出五度律的古希臘畢達哥拉斯學派也有公元前585-400年的跨度。畢達哥拉斯學派歷史記載確有do-sol，fa-do頻率比是3比2，但也有do-mi頻率比是5比4，不符合五度律。

表12.嚴格的五度律與歷史上的“五度律”

畢達哥拉斯學派音階與純律七聲音階完全相同，而純律并非僅由頻率比3比2產(chǎn)生。畢達哥拉斯學派追求的是所有音之間頻率之比更顯簡單（事實上是最簡單），因而可能沒有堅守3比2的規(guī)律。該丘斯用五度律來解釋大調(diào)式形成，卻又將純律中E、A、B音頻率用于大調(diào)式音階［1］10。曾侯乙墓編鐘研究表明，五度律在中國的形成過程同樣有純律因素的影響［3］163。

可推測五度律并非一開始就具有嚴格的闡述，而是有很長的演變過程（泰勒的弦振動頻率公式、物理實驗的精密化可能是最后的促成），其間純律的雛形一直附和在其上。當然，純律作為一種嚴格的樂律生成原則——將大三和弦do-mi-sol三音間的頻率之比從1∶81/64∶3/2即64∶81∶96修改成為64∶80∶96 或4∶5∶6或1∶5/4∶3/2——還是歸功于13世紀末葉英國人奧丁湯。

因此，可以認為歷史上五度律音程和諧性評判也摻雜了純律的影響。

音程和諧性問題體現(xiàn)于：do-sol，sol-re，re-la等是八度以外最具親和性的關(guān)系，那么do-re，do-la關(guān)系如何呢？

音程是兩個音的頻率之比，同度與八度音是平凡的、最協(xié)和的。由于全音、半音的存在，二～七度音都有大、小兩種音程。

表13.五度律七聲音階音程及其轉(zhuǎn)位音音程

根據(jù)最簡整數(shù)比和諧原理［2］，通過考察頻率比是否簡單來評判和諧程度。若完全基于五度律，則大二及小七、大六及小三、大三及小六、大七及小二呈現(xiàn)和諧性遞減。但結(jié)合純律考察頻率比的如下結(jié)果是公認的：

同度1/1、八度2/1、純五度3/2、純四度4/3，最簡單——完全協(xié)和音程；

依純律計算頻率比，大三度5/4，小三度6/5，大六度5/3，小六度8/5，較簡單——不完全協(xié)和音程；

依純律計算頻率比：大二度9/8，小二度16/15，大七度15/8，小七度16/9，較前復雜——不協(xié)和音程。

另一種評判依據(jù)是利用連分數(shù)逼近五度律頻率比［4］。

將大七度243/128表達成連分數(shù)形式：

數(shù)學定理指出，所有分母不超過9的分數(shù)中，17/9最接近243/128，兩者相對誤差0.5%，而純律大七度的15/8與243/128有1.2%的相對誤差。

類似計算小二度：

減五度：

增四度：

其他各音程連分數(shù)逼近計算結(jié)果與純律頻率比并無差別。如此則與前述協(xié)和程度評判完全一致，減五度、增四度列為不完全協(xié)和音程較合理。

就五度關(guān)系而言，do-re比do-la要近，但以上結(jié)論卻是do-re不如do-la和諧。

五度律七聲音階因變化音而產(chǎn)生增、減音程，大音程、純音程上方音升高成為增音程，小音程、純音程上方音降低成為減音程，但增四度、減五度非因變化音產(chǎn)生。（見表14）

增、減音程頻率比復雜，特別是有詭異的“僭越”現(xiàn)象（增二度大于小三度等等），其源出于自然半音小于變化半音，增、減音程（除減五度、增四度）注定被列入不協(xié)和類。

表14.增音程、減音程及比較

五、轉(zhuǎn)調(diào)的和諧性變化

設想演唱者認為自己嗓音達不到作品的高度，在有樂器伴奏時，可以降低若干度演唱。如果沒有樂器伴奏，則不一定剛好降低若干度，此時會發(fā)生調(diào)性的改變。如果沒有對比，調(diào)性的改變會使原作品的實際效果發(fā)生變化嗎？問題有不同的回答，有的認為這只是整個作品放在什么音頻高度上演奏、演唱的問題，沒有什么差別。有的認為作曲家確定作品的高度是不可更改的。

轉(zhuǎn)調(diào)的效果在于比較，應當研究同一作品中發(fā)生的轉(zhuǎn)調(diào)。以下基于五度連環(huán)數(shù)字關(guān)系來討論上述各種音組產(chǎn)生的音階、調(diào)式之間發(fā)生的轉(zhuǎn)換問題。

情形一：調(diào)式不變，旋律全部上移或下移。

移行音程3比2（即增或減一個升降號）時效果最為親近、協(xié)和，例如C大調(diào)F音升號轉(zhuǎn)到G大調(diào)、或B音降號轉(zhuǎn)到F大調(diào)，這相當于主音與屬音、下屬音的關(guān)系。

情形二：調(diào)式改變。

一種是使用相同七音，但主音改變，例如C大調(diào)轉(zhuǎn)到a小調(diào)。另一種是增或減一個升降號，例如C大調(diào)F音升號轉(zhuǎn)到e小調(diào)、或B音降號轉(zhuǎn)到d小調(diào)，主音當然也改變。

情形三：原音階、調(diào)式由五度連環(huán)（2）的連續(xù)七音組構(gòu)成，轉(zhuǎn)入的仍是五度連環(huán)（2）連續(xù)七音組構(gòu)成的調(diào)式，實際操作是依五度連環(huán)（2）規(guī)定的次序在譜表上增或減超過一個升降號。

例如調(diào)式不變，旋律全部上移或下移超過一個五度，可能產(chǎn)生強烈對比。又如調(diào)式改變但主音未變，［1］52指出將貝多芬第5交響曲開頭數(shù)小節(jié)取消3個降號，從c小調(diào)轉(zhuǎn)到C大調(diào)，其差別猶如在陽光或雨天觀看同一風景。

該丘斯例舉貝多芬作品第13號的等音轉(zhuǎn)調(diào)——bE易為#D［1］127，這是非常遙遠的轉(zhuǎn)調(diào)，因為兩者相距12個五度。依五度律bE低于#D，依十二平均律則兩者相等，最遙遠的關(guān)系反而回歸于本原。

情形四：若原調(diào)本身是第三節(jié)所示各種不協(xié)和或非標準調(diào)式，轉(zhuǎn)入五度連環(huán)（2）連續(xù)七音組構(gòu)成的調(diào)式，則總體上呈現(xiàn)趨向和諧。

情形五：原音階、調(diào)式由五度連環(huán)（2）連續(xù)七音組構(gòu)成，轉(zhuǎn)入的是非連續(xù)七音組構(gòu)成的音階、調(diào)式，或六聲音階、八聲音階，雖難以一一歸類，但必定趨向緊張、反差強烈。

音樂的聽覺效果必與時長有關(guān)（該丘斯指出體現(xiàn)轉(zhuǎn)調(diào)至少須包括主和弦、屬和弦［1］123），轉(zhuǎn)調(diào)過程若未充分展開，則效果可能因人而異，表現(xiàn)手法的定位也可能發(fā)生分歧。例如C大調(diào)作品若有數(shù)小節(jié)缺失F音，可理解為即將就近轉(zhuǎn)入G大調(diào)（e小調(diào)），也可理解為使用了表九的六聲音階。

［1］柏西·該丘斯.音樂的構(gòu)成［M］.繆天瑞，譯.北京：人民音樂出版社，1964.

［2］黃力民.音階與律制的數(shù)學背景［J］.武漢音樂學院學報，2009（1）.

［3］繆天瑞.律學［M］.北京：人民音樂出版社，1996.

［4］黃力民.樂音體系的數(shù)學原理［J］.自然雜志，1989（3）.

（責任編輯：李小戈）

J612.1；J614.1

A

1008-9667（2016）02-0075-06

2015-06-14

黃力民（1945— ），湖南湘鄉(xiāng)人。中國計量大學理學院教授，研究方向：數(shù)理樂律學。