三大利斧突破動(dòng)態(tài)立體幾何

湖北省襄陽(yáng)市襄州一中 莊慧勤

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三大利斧突破動(dòng)態(tài)立體幾何

湖北省襄陽(yáng)市襄州一中 莊慧勤

近幾年，高考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題，這類試題新穎別致，構(gòu)思精妙，使立體幾何“活”了起來(lái)，使立體幾何的題意更新穎、題目更靈活、考查更全面、思維更廣闊，給人耳目一新的感覺(jué)，加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生空間想象能力的考查。解決立體幾何“動(dòng)態(tài)”型問(wèn)題時(shí)，一些學(xué)生思路不暢通。一些學(xué)生不能認(rèn)識(shí)“動(dòng)”的本質(zhì)，不會(huì)利用數(shù)學(xué)思想解決立體幾何里的動(dòng)靜矛盾。本文利用數(shù)學(xué)思想探尋“動(dòng)態(tài)”型問(wèn)題的切入點(diǎn)和解決策略。

高考 數(shù)學(xué) 立體幾何

一、轉(zhuǎn)化與化歸

轉(zhuǎn)化與化歸思想是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用的某種手段，是人們將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化劃歸為已有知識(shí)范圍內(nèi)可以解決的一種方法、策略。這種方法可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題、將較難問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解問(wèn)題，將未解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決問(wèn)題。轉(zhuǎn)化與化歸思想也是數(shù)學(xué)思想方法的核心。

例1：如圖，在三棱錐中P—ABC，PA=PB=PC=AC=4，

（1）求證：平面ABC⊥平面APC ；

（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

（3）若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角M—PA—C的余弦值為，求BM的最小值。

解析：（1）略；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由已知得所以設(shè)平面PBC的法向量由得方程組取因?yàn)樗灾本€PA與平面PBC所成角的正弦值為

例2：如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1。

（1）求證：AB⊥BC；

（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1—BC—A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明。

解析：（1）略 ；（2） 由（1）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則。

設(shè)平面A1BC的法向量為，則由得可取于是與n的夾角β為銳角，則β與θ互為余角。因?yàn)?--→---→，所以。于是由c＜b，得，即sinθ＜sinφ，又，所以 θ〈φ。

二、函數(shù)思想

函數(shù)思想是人們用列函數(shù)關(guān)系式的方法或用函數(shù)相關(guān)知識(shí)通過(guò)建模解決實(shí)際問(wèn)題與幾何問(wèn)題，即用函數(shù)解題。動(dòng)態(tài)立體幾何求最值和范圍問(wèn)題時(shí)常常構(gòu)造函數(shù)，可以利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決幾何問(wèn)題。

例3：直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）ABC—A1B1C1中，AB= AC=1，∠BAC=90°。

（1）若異面直線A1B與B1C1所成的角為60°，求棱柱的高；

（2）設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，DC1與平面A1BC1所成的角為θ ，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求sinθ的最大值.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AA1=h（h ＞0），則有B（1，0，0）、B1（1，0，h）、C1（0，1，h）、A1（0，0，h），、

（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；

解析：（1）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB、OA所在的直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則。設(shè)為平面COD的一個(gè)法向量，由得

二面角C—OD—B的余弦值的取值范圍為［-α，0］。

三、方程思想

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)一些形式上非方程的問(wèn)題，學(xué)生可以通過(guò)一定的數(shù)學(xué)變換或構(gòu)造，使非方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程（組）的形式，運(yùn)用方程（組）的有關(guān)性質(zhì)處理這一問(wèn)題，進(jìn)而使原數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決，這一思想方法稱為“方程的思想”。 動(dòng)態(tài)立體幾何探求存在性問(wèn)題時(shí)常常構(gòu)造方程，利用方程相關(guān)知識(shí)解決幾何問(wèn)題。

例5：如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA =45°。

（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（2）設(shè)AB=AP。①若直線PB與平面PCD所成的角為 ，求線段AB的長(zhǎng)；②在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等？說(shuō)明理由。

解析：（1）略。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點(diǎn)E，則CE⊥AD。在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°=1，CE= CD ·sin45°=1，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0）、P（0，0，t）。由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E（0，3-t，0）、C（1， 3-t，0）、D（0，4-t，0）、

取x=t，得平面PCD的一個(gè)法向量n=（t，t，4-t），又故直線PB與平面PCD所成的角為-→ 30°，得，即。解得或t=4（舍去，因?yàn)锳D=4-t＞0），所以

②假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、 D的距離都相等，設(shè)則由消去t，化簡(jiǎn)得此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G使點(diǎn)G到點(diǎn)P、C、D的距離相等。從而，線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等。

例6：已知幾何體A—BCED的三視圖，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形。

（1）求此幾何體的體積V的大小；

（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（3）試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ并說(shuō)明理由。

（3）以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。

3.高校思想政治教育推行對(duì)話式教育。當(dāng)前，部分高校思想政治教育的主要模式是“灌輸式”講授，教師和學(xué)生之間處于不平等狀態(tài)，學(xué)生沒(méi)有表達(dá)真實(shí)意愿的機(jī)會(huì)?！皩捜荨焙魡緦?duì)話式的教育模式，即學(xué)生和教師以相互尊重、相互信任、相互理解為基礎(chǔ)，以尋求真知、創(chuàng)造意義和建構(gòu)完滿的精神世界為目標(biāo)，教育主體之間進(jìn)行平等交流、相互溝通的過(guò)程。 對(duì)話式的教育模式可以在思想政治課堂上推行，可以通過(guò)講座、交流會(huì)、見(jiàn)面會(huì)、辯論會(huì)等方式展開(kāi)。例如，筆者所在學(xué)校定期召開(kāi)“寬容”論壇，邀請(qǐng)校內(nèi)外專家學(xué)者與學(xué)生共同探討“寬容”話題；定期召開(kāi)“寬容與構(gòu)建和諧社會(huì)”學(xué)術(shù)研討會(huì)，邀請(qǐng)學(xué)術(shù)界知名學(xué)者交流探討，推動(dòng)“寬容”為本的校園精神；在校園網(wǎng)設(shè)立校長(zhǎng)信箱，定期召開(kāi)校長(zhǎng)見(jiàn)面會(huì)，校長(zhǎng)與學(xué)生近距離接觸、平等對(duì)話。學(xué)生在對(duì)話式的教學(xué)過(guò)程中，享有話語(yǔ)權(quán)，體驗(yàn)思想的碰撞，充分體驗(yàn)自己的觀點(diǎn)和選擇被尊重、被接納，從而增強(qiáng)自我價(jià)值感，提升自信度，從而對(duì)高校培養(yǎng)自主性、創(chuàng)新性人才有重要意義。

4.高校思想政治教育中倡導(dǎo)發(fā)展性學(xué)生評(píng)價(jià)。高校思想政治教育中的“寬容”要求教師以生成性的思維教育學(xué)生，不贊同以表現(xiàn)好壞、成績(jī)高低、品德優(yōu)劣等簡(jiǎn)單模式評(píng)價(jià)學(xué)生。教師要正視和照顧學(xué)生的差異性?！皩捜荨背珜?dǎo)高校思想政治教育運(yùn)用發(fā)展型學(xué)生評(píng)價(jià)方式，即評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)多元化、評(píng)價(jià)主體多元化、評(píng)價(jià)時(shí)間長(zhǎng)期化的學(xué)生評(píng)價(jià)方式。這與傳統(tǒng)思想政治教育以教師為主導(dǎo)、以成績(jī)?yōu)橹饕獦?biāo)準(zhǔn)、短期片面的評(píng)價(jià)相對(duì)立。

當(dāng)前正在推行的大學(xué)生綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)體系是實(shí)現(xiàn)發(fā)展性學(xué)生評(píng)價(jià)的重要方式之一。它取代了以往以成績(jī)作為唯一評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的做法，主張確立德智體等基本素質(zhì)和創(chuàng)新、實(shí)踐能力等拓展素質(zhì)為綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，確立由本人、同學(xué)、班主任、輔導(dǎo)員、社區(qū)、社團(tuán)等多元評(píng)價(jià)主體。通過(guò)長(zhǎng)期多次的評(píng)價(jià)，學(xué)生充分發(fā)揮自身潛能，在參與評(píng)價(jià)的過(guò)程中學(xué)會(huì)自我反思、自我認(rèn)識(shí)、自我評(píng)價(jià)、自我激勵(lì)，以及自我謀劃個(gè)人發(fā)展方向，使學(xué)生形成內(nèi)在的強(qiáng)有力的發(fā)展動(dòng)力，實(shí)實(shí)在在地促進(jìn)自身發(fā)展，以此使“寬容”教育逐步落實(shí)到實(shí)踐中。

［1］楊 楹.寬容：馬克思主義生活哲學(xué)研究的重要領(lǐng)域［A］.第二屆“寬容與構(gòu)建和諧社會(huì)”研討會(huì)論文集［C］.2008.10

［2］周元明.從寬恕到寬容：現(xiàn)代高校德育的理念轉(zhuǎn)換［J］.湖湘論壇，2007.03

［3］張?zhí)鞂?走向交往實(shí)踐的主體性教育［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2005

ISSN2095-6711/Z01-2016-09-0273

吳楠（1984— ），女，河南汝南人，華僑大學(xué)思政教師，講師，從事高校思想政治教育研究