脈沖Leslie-Gower型捕食者-食餌系統(tǒng)的概周期解

鐘 麗 華

(北華大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 吉林 132013)

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脈沖Leslie-Gower型捕食者-食餌系統(tǒng)的概周期解

鐘 麗 華

(北華大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 吉林 132013)

考慮了食餌具避難效應的脈沖Leslie-Gower型生物系統(tǒng).利用相應的常微分方程系統(tǒng)解和脈腫系統(tǒng)解的關系，得到脈沖生物系統(tǒng)的持久性及唯一概周期解的存在性.

脈沖系統(tǒng)；Leslie-Gower型捕食者-食餌模型；概周期解；持久性

近年來脈沖微分方程由于其精準描述系統(tǒng)發(fā)展遭遇擾動的特征而得到眾多學者的廣泛研究，其相關基本概念及有關脈沖生物模型的研究成果可參見文獻[1-6].

另一方面，現(xiàn)實世界概周期環(huán)境因素的存在也值得關注，文獻[4-5]研究了周期和概周期競爭生物系統(tǒng)模型.受此啟發(fā)，本文研究一個重要的食餌具有避難效應的脈沖Leslie-Gower型系統(tǒng)

(1)

文獻[4，7-8]討論了這個模型周期解的存在性和分支問題.本文主旨是利用相應常微分方程系統(tǒng)的解和脈沖系統(tǒng)的解的關系，考慮脈沖系統(tǒng)(1)概周期解的存在性問題.

1　模型分析

定義1.2[6]函數(shù)φ∈PC(R，R)稱為概周期的，如果它滿足下面的條件：

(2) 對于任意的ε>0，存在實數(shù)δ>0，當t′-t″<δ時，φ(t′)-φ(t″)<ε.

(3) 對ε>0，存在一個相對稠密集合T，如果對τ∈T，當φ(t+τ)-φ(t)<ε時，有t-τk>ε，k∈Z.

考慮系統(tǒng)：

(1.1)

引理1.1yi(0)>0，令(yi(t),y2(t))T是系統(tǒng)(1.1)的解，則對于所有t≥0，滿足yi(t)>0(i=1，2).

引理1.2系統(tǒng)(1)和(1.1)滿足下列關系：

(1) 如果(y1(t)，y2(t))T是系統(tǒng)(1.1)的解，則

是(1)的解；

(2) 如果(x1(t),x2(t))T是(1)的解，則

是(1.1)的解.

當t=τk,k=1,2,…,有

(1.2)

所以方程(1)最后兩個等式也成立.因此(x1(t)，x2(t))T是方程(1)的解.

所以yi(t)在區(qū)間[0，+∞)是連續(xù)的.易知(y1(t)，y2(t))T滿足系統(tǒng)(1.1).

引理1.3假設：

(H1) 存在正常數(shù)mi和Mi，當t>0和1+hik>0(i=1，2)時，

則方程(1.1)的解滿足

其中

證明令(y1(t),y2(t))T是方程(1.1)的解.由假設條件知

利用比較原理，

從而對于任意的正數(shù)ε，存在T1>0，當t>T1時，

y1(t)<β1+ε.

(1.3)

再由(1.1)式的第二個方程和(1.3)式，當t>T1時有

即對于任意的正數(shù)ε，存在T2>T1，當t>T2時，

y2(t)<β2+ε.

(1.4)

另一方面，由(1.1)式的第一個方程和(1.4)式，當t>T2時，

令ε→0，可以得到

即對于任意的正數(shù)ε，存在T3>T2滿足當t>T3，有

y1(t)>α1-ε.

類似地，對于足夠大的t，

令ε→0，可以推出

引理證明完成.

注1.1在引理1.3的條件下，集合

Ω={(y1，y2)T∈R2|0<αi≤yi≤βi，i=1，2}

是系統(tǒng)(1.1)的不變集，從而系統(tǒng)是持久的.

引理1.4假設(H1)和(H2)成立.則系統(tǒng)(1.1)的解(x1(t),x2(t))T滿足

(1.5)

證明由引理1.2，(x1(t)，x2(t))T是系統(tǒng)(1)的解，則

是系統(tǒng)(1.1)的解.由引理1.3得

(1.5)式成立意味著系統(tǒng)(1)是持久的.

引理1.5假設(H1)和(H2)成立，那么集合Ω≠?.

證明利用概周期函數(shù)的性質，存在序列{tn}，當n→∞時tn→∞，且n→∞時，

ri(t+tn)→ri(t)，Ai(t+tn)→Ai(t)，B1(t+tn)→Bi(t)，i=1，2

在R一致成立.

取(y1(t)，y2(t))T作為(1.1)的解，滿足對于充分大的正常數(shù)T*和i=1，2，αi≤yi(t)≤βi，且序列{y(t+tn)}在R的有界子集上是一致有界且等度連續(xù)的.由Ascoli定理，當k→∞時，存在子列{y(t+tnk)}，其在R的有界子集一致地收斂到連續(xù)函數(shù)族zi(t)，從而對于給定的Ti∈R，假設對所有的nk，tnk+T1≥T*.考慮下列系統(tǒng)：

B1(s+tnk)y1(s+tnk)-A1(s+tnk)(1-m)y2(s+tnk)]}ds，

y2(t+tnk+T1)=y2(tnk+T1)+

由Lebesgue控制收斂定理，令k→∞，對于t≥0，

(1.6)

因為T1是任意的，(z1(t)，z2(t))T是(1.1)的解.顯然，對于t∈R和i=1，2，有αi≤zi(t)≤βi，所以(z1(t)，z2(t))T∈Ω.

2　主要結果

考慮常微分方程

(2.1)

其中D是Rn中的開集，f(t,X)對于X∈D關于t是一致概周期的.為討論(2.1)概周期解的存在性，考慮方程(2.1)的積系統(tǒng)

引理2.1[6]假設存在一個定義在[0，+∞)∈D×D的Liapunov函數(shù)V(t，X，Y)，滿足下列條件：

(1)α(‖X-Y‖)≤V(t,X,Y)≤β(‖X-Y‖)，其中α(γ)和β(γ)是連續(xù)遞增的正定函數(shù)；

(2) |V(t,X1,Y1)-V(t,X2,Y2)|≤K{‖X1-Y2‖+‖Y1-Y2‖}，其中K>0是一個常數(shù)；

(3)V(t,X,Y)≤-μV(t,X,Y)，其中μ>0是一個常數(shù).

且對于所有t≥0，t0≥0，在緊集Ω?D?R2中方程(2.1)有解.則方程(2.1)在Ω中有唯一的概周期解，其在D中是一致漸近穩(wěn)定的.

定理2.1假設引理1.3的條件(H1)和(H2)滿足，同時下列條件成立：

(H5) 存在正常數(shù)ρ1，ρ2，θ滿足

則系統(tǒng)(1)存在唯一概周期解.

證明首先證明方程(1.1)有唯一的概周期解.

(2.3)

所以系統(tǒng)(1.1)的概周期解的存在性等價于系統(tǒng)(2.3)在Ω1={(z1,z2)T∈R2|lnαi≤zi≤lnβi，i=1，2}有唯一的概周期解，并且Ω1關于系統(tǒng)(2.3)是不變的.

(2.4)

顯然有

min{ρ1,ρ2}‖Z(t)-Z*(t)‖≤V(t,Z(t),Z*(t))≤max{ρ1,ρ2}‖Z(t)-Z*(t)‖，

所以引理2.1的條件(1)滿足.注意到

從而引理2.1的條件(2)也滿足.

利用方程(2.4)的解計算右導數(shù)D+V(t)，有

D+V(t)=

其中用到了中值定理和條件(H1).進而

假設系統(tǒng)(1)中hik≡0，i=1，2；k=0，1，2，….考慮系統(tǒng)特殊的非脈沖點的常微分方程：

(2.5)

推論2.1假設下面條件成立：

其中

則系統(tǒng)(2.5)有唯一的概周期解.

[1]SAMOILENKO A M，PERESTYUK N A.Impulsive differential equations[M].Singapore：World Scientific，1995：1-270.

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(責任編輯：李亞軍)

Almost periodic solutions of an impulsive Leslie-Gower prey-predator system

ZHONG Li-hua

(School of Mathematics and Statistics，Beihua University，Jilin 132013，China)

Impulsive Leslie-Gower predator-prey model incorporating a prey refuge is considered.Using the relation between the solutions of impulsive system and the corresponding non-impulsive system，sufficient conditions ensuring the permanence of non-impulsive system and the existence of a unique almost periodic solution are obtained.

impulsive system；Leslic-Gower prey-predator model；almost periodicity；permanence

1000-1832(2016)03-0048-06

2015-05-13

國家自然科學基金資助項目(11271157；11371169).

鐘麗華(1973—)，女，講師，主要從事微分方程研究.

O 211.63[學科代碼]110·44

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.010