一類具阻尼項(xiàng)和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型微分方程的振動(dòng)性

林 文 賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041)

?

一類具阻尼項(xiàng)和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型微分方程的振動(dòng)性

林 文 賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041)

通過利用Riccati變換和Young不等式，獲得了具阻尼項(xiàng)和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型泛函微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則，推廣和改進(jìn)了最近文獻(xiàn)的結(jié)果.

廣義Emden-Fowler型微分方程；振動(dòng)準(zhǔn)則；阻尼項(xiàng)

1　預(yù)備知識(shí)

在核能物理、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)、氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等方面有著眾多應(yīng)用的Emden-Fowler方程x″(t)+λ(t)|x(t)|α-1x(t)=0(α>1)是一個(gè)半線性微分方程，基于其廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，吸引了很多學(xué)者的研究興趣.[1-8]本文將討論一類具阻尼項(xiàng)和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型泛函微分方程

(1)

其中y(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ(s)=|s|α-1s，α是常數(shù)，n(≥2)是一個(gè)偶數(shù).假設(shè)下列條件成立：

(H1)p(t)，q1(t)，q2(t)∈C(I，[0，∞))，I=[t0，∞)，0≤p(t)≤p<1；

(H2)βn>βn-2>…>β2>α>βn-1>βn-3>…>β1>0均為常數(shù)；

當(dāng)m(t)=0，n=2時(shí)，方程(1)就是文獻(xiàn)[6]所研究的方程.本文的目的是建立方程(1)的若干振動(dòng)準(zhǔn)則，從而文獻(xiàn)[6]結(jié)論為本文結(jié)果的特例，并推廣了文獻(xiàn)[7-8]的相應(yīng)結(jié)果.關(guān)于本文中的函數(shù)不等式，如果沒有特別說明，都是對(duì)一切充分大的t成立.

2　主要結(jié)果

引理1設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，則存在t1≥t0，使得y(t)>0，y′(t)>0，y″(t)≤0，t≥t1.

證明設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，由條件(H1)和(H4)，

下證y′(t)>0. 事實(shí)上，若存在t1≥t0，使y′(t1)<0，注意到

是t的減函數(shù)，有

從t1到t積分得

注意到r′(t)>0，可得y″(t)≤0，t≥t1.

引理2設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，且存在某個(gè)i0∈{1，2，…，n}，使得

(2)

證明設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，由引理1知y′(t)>0， 從而x(t)>(1-p)y(t). 再由方程(1)得

(3)

定義函數(shù)φ(t)=y(t)-ty′(t)，則φ′(t)=-ty″(t)>0，故φ(t)單調(diào)增加且最終定號(hào).

(4)

聯(lián)合(3)—(4)式，

即

對(duì)上式積分，有

上式中令t→∞，這與(2)式矛盾，因此φ(t)>0成立.

證明設(shè)f(x)=lnx，因f″(x)<0，故f(x)是當(dāng)x>0時(shí)的嚴(yán)格凹函數(shù)，所以

定理1設(shè)存在某個(gè)i0∈{1，2，…，n}，使得(2)式成立，且存在函數(shù)ρ(t)∈C1(I，(0，∞))，使得

(5)

其中

(6)

(7)

則方程(1)是振動(dòng)的.

證明設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，不失一般性，可設(shè)x(t)>0，t≥t0.由引理1，y(t)>0，y′(t)>0，t≥t1.令

(8)

則

利用(3)和(8)式，

(9)

由引理3，可得

其中σ(t)≤min{σ1(t)，σ2(t)，…，σn(t)}，ki(i=1，2，…n)由(7)所定義.

因此(9)式化為

(10)

(11)

聯(lián)合(7)，(10)—(11)式，

(12)

再由引理4，

(13)

對(duì)上式積分得

令t→∞，注意到(5)式，有W(t)→-∞，這與W(t)>0矛盾. 因此方程(1)沒有最終正解，故方程(1)振動(dòng).

推論1設(shè)存在某個(gè)i0∈{1，2，…，n}，使得(2)式成立，且

(14)

則方程(1)是振動(dòng)的.

證明只需在定理1中取ρ(t)=1即可.

下面給出方程(1)的Kamenev型振動(dòng)準(zhǔn)則.

定理2設(shè)除(5)式外定理1的全部假設(shè)都成立.若當(dāng)n>1時(shí)，

(15)

其中Q(t)由(7)式定義，則方程(1)是振動(dòng)的.

證明如同定理1的證明，設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，不失一般性，設(shè)x(t)>0，x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0，x(σ2(t))>0，t≥t1，故有y(t)>0. 令W(t)的定義同(8)式，則W(t)>0，t≥t1，且(13)式成立，從而

注意到

有

因此

上式與條件(15)矛盾. 定理2證畢.

下面利用Philos型的積分平均技巧[10]，得出方程(1)新的振動(dòng)定理.為此引進(jìn)如下一類函數(shù)C. 令D={(t，s)|t≥s≥t0}，D0={(t，s)|t>s≥t0}.函數(shù)H(t，s)∈C(D，R)稱為屬于C類，記作H∈C，如果：

(ⅰ)H(t，t)=0，t≥t0;H(t，s)>0，(t，s)∈D0.

(16)

定理3設(shè)存在某個(gè)i0∈{1，2，…，n}，使得(2)式成立，且存在函數(shù)ρ(t)∈C1(I，(0，∞))和H∈C，使得

(17)

其中h(t，s)由(16)式定義.則方程(1)是振動(dòng)的.

證明設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，不妨設(shè)x(t)>0，x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0，x(σ2(t))>0，t≥t1，故有y(t)>0. 令W(t)的定義同(8)式，則W(t)>0，t≥t1，且(12)式成立. 記

則由(12)式得到

對(duì)上式利用引理4且注意到A(s)的定義，有

因此

上式與條件(17)矛盾. 定理3證畢.

[1]ELBERT A. A half-linear second order differential equation[J]. Acta Mathematica Hungarica，1987，49:487-508.

[2]HORNG JAAN LI，CHEH CHIH YEH. Oscillations of half-linear second order differential equations[J]. Hiroshina Math J，1995，25：585-594.

[3]RAVI P，GRACE R P，AGARWAL S R. On the oscillation of certain second order differential equations[J]. Georgian Mathematical Journal，2000，7(2)：201-213.

[4]朱剛，任洪善，俞元洪.具有連續(xù)分布時(shí)滯的非線性中立型雙曲微分方程解的振動(dòng)性[J]. 東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，39(2):6-10.

[5]林文賢. 具有阻尼項(xiàng)的中立型Emden-Fowler方程的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32(6)：8-11.

[6]林丹玲. 半線性中立型二階時(shí)滯微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，39(1)：15-20.

[7]ERBE L，HASSAN T S，PETERSON A. Oscillation of second order neutral delay differential equations[J]. Adv Dynamical Systems Appl，2008，3(1)：53-71.

[8]LIU H，MENG F，LIU P. Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equations[J].Appl Math Comput，2012，219(5):2739-2748.

[9]HARDY G H，LITTERWOOD J E，POLYA G.Inequalities[M]. Cambridge：Cambridge University Press，1952：66.

[10]PHILOS CH G. Oscillation theorems for linear differential equation of second order[J]. Arch Math，1989，53(3)：483-492.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Oscillation for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple delays

LIN Wen-xian

(College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou 521041，China)

By using Riccati transformation method and Young’s inequality，some new interval oscillatory criterion for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple de1ays are obtained. The results generalize and improve some known results.

generalized Emden-Fowler functional differential equations；oscillation criteria；damping terms

1000-1832(2016)03-0025-05

2015-04-10

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2013010013372)；廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(GDJG20142396)；廣東省高等學(xué)校特色創(chuàng)新項(xiàng)目(2014GXJK125).

林文賢(1966—)，男，教授，主要從事泛函微分方程理論及其應(yīng)用研究.

O 175.13[學(xué)科代碼]110·51

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.006